半ノルム

同義語：セミノルムseminorm

概要

前提知識: ベクトル空間, ノルム空間, 位相ベクトル空間

連続関数 $f\colon\mathbb R\to\mathbb R$ の「大きさ」を一つの数で測ろうとすると、$\sup_{t\in\mathbb R}\lvert f(t)\rvert$ は無限大になりうる。そこで有界閉区間ごとに $p_n(f)=\max_{\lvert t\rvert\le n}\lvert f(t)\rvert$ と測ると、どの $p_n$ も有限で、和とスカラー倍に対してノルムと同じ規則に従う。ただし $[-n,n]$ の上で $0$ である関数は $0$ でなくても $p_n(f)=0$ となる。このように、ノルムの条件のうち「$0$ でないものの大きさは正」だけを外したものを 半ノルム（seminorm）という。
一つの半ノルムはベクトルの一部の情報しか測らないが、半ノルムをたくさん集めると全体を測れる。関数解析では、ノルム一つでは記述できない位相（関数の広義一様収束、弱収束など）を半ノルムの族で記述し、そのような空間を局所凸空間として扱う。この記事では、半ノルムの定義と基本性質、凸集合との対応、連続性の判定、半ノルムの族が定める位相と、その上の連続線形写像の判定を述べる。
以下、係数体 $\mathbb K$ は $\mathbb R$ または $\mathbb C$ とし、$V,W$ は $\mathbb K$ 上のベクトル空間とする。位相ベクトル空間は位相ベクトル空間の記事と同じく Hausdorff とする。

定義

半ノルム

関数 $p\colon V\to[0,\infty)$ が 半ノルム であるとは、すべての $x,y\in V$ と $\lambda\in\mathbb K$ について
$$ p(x+y)\le p(x)+p(y),\qquad p(\lambda x)=\lvert\lambda\rvert\,p(x) $$
が成り立つことをいう。さらに「$p(x)=0$ なら $x=0$」が成り立つ半ノルムが ノルム である。

定義から次がすぐに従う。$\lambda=0$ とおくと $p(0)=0$、$\lambda=-1$ とおくと $p(-x)=p(x)$ である。三角不等式を $x=(x-y)+y$ と $y=(y-x)+x$ に使うと
$$ \lvert p(x)-p(y)\rvert\le p(x-y) $$
となる。また $0\le t\le1$ について $p(tx+(1-t)y)\le tp(x)+(1-t)p(y)$ なので、半ノルムは凸関数である。

零になる点の集合と商ノルム

$p$ を $V$ 上の半ノルムとし、$N_p:=\{x\in V\mid p(x)=0\}$ とおく。

$N_p$ は $V$ の線形部分空間である。
$p$ は $N_p$ の各剰余類の上で一定であり、$\|x+N_p\|:=p(x)$ は商空間 $V/N_p$ 上のノルムである。

要点：三角不等式から、$N_p$ の元を足しても $p$ の値は変わらない。

詳しい証明を開く

1：$x,y\in N_p$、$a\in\mathbb K$ なら $0\le p(x+ay)\le p(x)+\lvert a\rvert p(y)=0$ である。$0\in N_p$ もよい。

2：$n\in N_p$ なら $\lvert p(x+n)-p(x)\rvert\le p(n)=0$ なので $p(x+n)=p(x)$ であり、$\|x+N_p\|$ は代表元の選び方によらない。三角不等式と斉次性は $p$ から受け継がれる。$\|x+N_p\|=0$ なら $x\in N_p$、すなわち $x+N_p$ は $V/N_p$ の零元である。$\square$

$p$ がノルムであることは $N_p=\{0\}$ と同じである。半ノルムは「$N_p$ の方向を見ないノルム」と言える。

例

半ノルムの例

線形汎関数の絶対値。 線形汎関数 $\varphi\colon V\to\mathbb K$ について $p(x)=\lvert\varphi(x)\rvert$ は半ノルムで、$N_p=\ker\varphi$ である。有限個の線形汎関数について $\max_{1\le k\le m}\lvert\varphi_k(x)\rvert$ も半ノルムで、零になる点の集合は $\bigcap_k\ker\varphi_k$ である。
区間の上の最大値。 $V=C(\mathbb R)$（$\mathbb R$ 上の $\mathbb K$ 値連続関数全体）、$p_n(f)=\max_{\lvert t\rvert\le n}\lvert f(t)\rvert$ とする。$N_{p_n}$ は $[-n,n]$ の上で $0$ である関数の全体で、$\{0\}$ ではない。
導関数の最大値。 $V=C^1([0,1])$（$[0,1]$ 上の $C^1$ 級関数の全体）、$p(f)=\max_{0\le t\le1}\lvert f'(t)\rvert$ とする。$N_p$ は定数関数の全体である（平均値の定理）。
線形写像の合成。 $T\colon V\to W$ が線形で $q$ が $W$ 上の半ノルムなら、$q\circ T$ は $V$ 上の半ノルムで、$N_{q\circ T}=T^{-1}(N_q)$ である。とくに $W$ がノルム空間なら $x\mapsto\|Tx\|$ は半ノルムで、零になる点の集合は $\ker T$ である。
部分空間からの距離。 ノルム空間 $X$ の線形部分空間 $M$ について $p(x)=\operatorname{dist}(x,M)=\inf_{m\in M}\|x-m\|$ は半ノルムで、$N_p=\overline M$（$M$ の閉包）である。
積分。 測度空間上で $\int\lvert f\rvert^r\,d\mu< \infty$ を満たす可測関数の全体（$1\le r< \infty$）の上で、$p(f)=(\int\lvert f\rvert^r\,d\mu)^{1/r}$ は半ノルムで、$N_p$ はほとんど至るところ $0$ の関数の全体である（三角不等式は Minkowskiの不等式）。この $N_p$ で割った商が Lp空間 $L^r$ である。

5 の $p$ から prop-sn-kernel で作るノルムは、$X/\overline M$ の商ノルムにほかならない。

5 の確かめを開く

$m,m'\in M$ について $\|x+y-(m+m')\|\le\|x-m\|+\|y-m'\|$ なので、下限をとって $p(x+y)\le p(x)+p(y)$ である。$\lambda\ne0$ なら $\lambda M=M$ なので $p(\lambda x)=\inf_{m\in M}\|\lambda x-\lambda m\|=\lvert\lambda\rvert p(x)$、$\lambda=0$ なら両辺 $0$ である。$p(x)=0$ は $\|x-m_n\|\to0$ となる $m_n\in M$ があること、すなわち $x\in\overline M$ と同じである。

内積から作るノルムと同じ仕組みで、半ノルムは「二乗が二次式になる関数」からも作れる。

二次斉次な凸関数の平方根

$h\colon V\to[0,\infty)$ を凸関数で、すべての $x\in V$、$\lambda\in\mathbb K$ について $h(\lambda x)=\lvert\lambda\rvert^2h(x)$ を満たすものとする。このとき $p:=\sqrt h$ は半ノルムである。逆に $p$ が半ノルムなら $p^2$ はこの条件を満たす。

斉次性は $p(\lambda x)=\sqrt{\lvert\lambda\rvert^2h(x)}=\lvert\lambda\rvert p(x)$ である。三角不等式を示す。$0< t< 1$ について $x+y=t\cdot\frac xt+(1-t)\cdot\frac y{1-t}$ と書き、凸性と二次斉次性を使うと
$$ h(x+y)\le t\,h\Bigl(\frac xt\Bigr)+(1-t)\,h\Bigl(\frac y{1-t}\Bigr)=\frac{h(x)}t+\frac{h(y)}{1-t} $$
である。$a:=p(x)$、$b:=p(y)$ とおく。$a,b>0$ なら $t=a/(a+b)$ を入れて $h(x+y)\le a(a+b)+b(a+b)=(a+b)^2$ となる。$a=0$ なら右辺は $h(y)/(1-t)$ で、$t\to0$ として $h(x+y)\le b^2$ である。$b=0$ も同様である。いずれの場合も $p(x+y)\le a+b$ である。
逆：$p^2(\lambda x)=\lvert\lambda\rvert^2p^2(x)$ は明らかである。$p$ は凸で $0$ 以上、$s\mapsto s^2$ は $[0,\infty)$ で増加かつ凸なので、$p^2(tx+(1-t)y)\le\bigl(tp(x)+(1-t)p(y)\bigr)^2\le tp(x)^2+(1-t)p(y)^2$ である。$\square$

半正定値な形式から作る半ノルム

$B\colon V\times V\to\mathbb K$ を、第 1 変数について線形、$B(y,x)=\overline{B(x,y)}$、$B(x,x)\ge0$ を満たす形式（半正定値な Hermite 形式。$\mathbb K=\mathbb R$ なら対称双線形形式）とし、$h(x):=B(x,x)$ とおく。展開すると、$0\le t\le1$ について
$$ t\,h(x)+(1-t)\,h(y)-h\bigl(tx+(1-t)y\bigr)=t(1-t)\,h(x-y)\ge0 $$
なので $h$ は凸で、$h(\lambda x)=\lvert\lambda\rvert^2h(x)$ である。prop-sn-sqrt により $\sqrt{B(x,x)}$ は半ノルムである。たとえば $V=C^1([0,1])$ 上の $B(f,g)=\int_0^1f'(t)\overline{g'(t)}\,dt$ からは $p(f)=\bigl(\int_0^1\lvert f'\rvert^2dt\bigr)^{1/2}$ が得られ、$N_p$ は定数関数の全体である。

単位球と凸集合

集合 $A\subset V$ が均衡であるとは $\lvert\alpha\rvert\le1$ なら $\alpha A\subset A$ となることをいい、吸収的 であるとは各 $x\in V$ についてある $t>0$ で $x\in tA$ となることをいう。凸かつ均衡な集合を 絶対凸 という。

半ノルムの単位球

$p,q$ を $V$ 上の半ノルムとする。

$\{p< 1\}$ と $\{p\le1\}$ は絶対凸かつ吸収的である。
$p$ は $\{p< 1\}$ の Minkowski 汎関数に等しい：$p(x)=\inf\{t>0\mid x\in t\{p< 1\}\}$。
逆に $A\subset V$ が絶対凸かつ吸収的なら、その Minkowski 汎関数 $p_A(x):=\inf\{t>0\mid x\in tA\}$ は半ノルムで、$\{p_A< 1\}\subset A\subset\{p_A\le1\}$ を満たす。
$p\le q$（すべての点で）であることと、$\{q< 1\}\subset\{p< 1\}$ であることは同値である。

要点：1・2・4 は定義を書き換えるだけで、3 の三角不等式は Minkowski 汎関数の一般の性質による。

詳しい証明を開く

1：凸性は $p$ が凸関数であることから、均衡は $p(\alpha x)=\lvert\alpha\rvert p(x)\le p(x)$ から従う。$p(x)< t$ となる $t>0$ をとれば $x\in t\{p< 1\}$ なので吸収的である。$\{p\le1\}$ も同じである。

2：$t>0$ について $x\in t\{p< 1\}$ は $p(x/t)< 1$、すなわち $p(x)< t$ と同値なので、下限は $p(x)$ である。

3：$A$ は吸収的なので $p_A$ は有限値で、$0\in tA$ となる $t>0$ があることから $0\in A$ である。三角不等式と $\{p_A< 1\}\subset A\subset\{p_A\le1\}$ は、$0$ を含む凸集合の Minkowski 汎関数について Minkowski汎関数の命題「凸集合の Minkowski 汎関数の性質」の 2・3 で示されている（同記事は実ベクトル空間で述べるが、$V$ を実ベクトル空間とみて当てればよい）。斉次性を示す。$\lambda=0$ なら $p_A(0)=0$ である。$\lambda\ne0$ とし $\lambda=\lvert\lambda\rvert\alpha$（$\lvert\alpha\rvert=1$）と書く。均衡から $\alpha A\subset A$ と $\alpha^{-1}A\subset A$ なので $\alpha A=A$ である。よって $\lambda x\in tA$ は $\lvert\lambda\rvert x\in tA$、すなわち $x\in(t/\lvert\lambda\rvert)A$ と同値で、$p_A(\lambda x)=\lvert\lambda\rvert p_A(x)$ となる。

4：$p\le q$ なら $q(x)< 1$ から $p(x)< 1$ である。逆に $p(x)>q(x)$ となる $x$ があるとし、$q(x)< t< p(x)$ となる $t$ をとると、$q(x/t)< 1$ だが $p(x/t)>1$ なので包含が破れる。$\square$

4 から、$p\le Cq$（$C>0$）は $\{q< 1\}\subset C\{p< 1\}$ と同じである。半ノルムの大小は単位球の包含の逆向きの関係として読める。

連続性

半ノルムの連続性の判定

$V$ を位相ベクトル空間、$p$ を $V$ 上の半ノルムとする。次は同値である。

$p$ は連続である。
$p$ は $0$ で連続である。
$\{p< 1\}$ は $0$ の近傍である。
$V$ がノルム空間なら、これらはさらに次と同値である。
ある $C\ge0$ について、すべての $x\in V$ で $p(x)\le C\|x\|$ である。

1 ⇒ 2 は明らかである。2 ⇒ 3：$p(0)=0$ なので、$0$ での連続性から $0$ の近傍 $U$ で $p(U)\subset[0,1)$ となるものがあり、$U\subset\{p< 1\}$ である。
3 ⇒ 1：$x\in V$、$\varepsilon>0$ をとる。$c\ne0$ のスカラー倍は同相写像なので $\varepsilon\{p< 1\}=\{p< \varepsilon\}$ も $0$ の近傍であり、平行移動して $x+\{p< \varepsilon\}$ は $x$ の近傍である。この近傍の点 $y$ では $\lvert p(y)-p(x)\rvert\le p(y-x)< \varepsilon$ である。
ノルム空間の場合。4 ⇒ 3：$C=0$ なら $p=0$ である。$C>0$ なら開球 $\{\|x\|< 1/C\}$ が $\{p< 1\}$ に含まれる。3 ⇒ 4：開球 $\{\|x\|< r\}$ が $\{p< 1\}$ に含まれるとする。$x\ne0$ なら $y:=\frac r{2\|x\|}x$ は $\|y\|=r/2< r$ なので $p(y)< 1$、すなわち $p(x)< \frac2r\|x\|$ である。$C:=2/r$ とすればよい。$\square$

連続でない半ノルム

$V=C([0,1])$ にノルム $\|f\|_1=\int_0^1\lvert f\rvert\,dt$ を入れ、$p(f)=\lvert f(0)\rvert$ とする。$p$ は半ノルムだが連続でない。$f_n(t)=\max\{1-nt,0\}$ とすると $\|f_n\|_1=\frac1{2n}\to0$ だが $p(f_n)=1$ なので、thm-sn-continuity の 4 が成り立たない。同じ $p$ は上限ノルム $\|f\|_\infty$ については $p(f)\le\|f\|_\infty$ で連続である。半ノルムの連続性は、空間に入れる位相で決まる。

半ノルムの族が定める位相

一つの半ノルムは $N_p$ の方向を見分けられないが、見分けられない方向が族全体で共通に残らなければ、族として点を見分けられる。$V$ 上の半ノルムの族 $\mathcal P$ が 点を分ける とは、$x\ne0$ ならある $p\in\mathcal P$ で $p(x)>0$ となることをいう。$x\in V$、$p_1,\dots,p_m\in\mathcal P$、$\varepsilon>0$ について
$$ U(x;p_1,\dots,p_m;\varepsilon):=\{y\in V\mid p_k(y-x)< \varepsilon\ (k=1,\dots,m)\} $$
とおく。位相ベクトル空間 $V$ が 局所凸 であるとは、$0$ のどの近傍も $0$ の凸な近傍を含むことをいう。

半ノルムの族が定める位相

$\mathcal P$ を $V$ 上の点を分ける半ノルムの族とする。$O\subset V$ を、各 $x\in O$ についてある $U(x;p_1,\dots,p_m;\varepsilon)$ が $O$ に含まれるとき開と定めると、これは位相であり、$V$ はこの位相で局所凸な位相ベクトル空間になる。各 $U(x;p_1,\dots,p_m;\varepsilon)$ は開かつ凸で、各 $p\in\mathcal P$ は連続である。点列 $(x_n)$ が $x$ に収束することは、すべての $p\in\mathcal P$ で $p(x_n-x)\to0$ となることと同値である。
逆に $V$ が局所凸な位相ベクトル空間なら、$V$ の位相は、$V$ 上の連続な半ノルム全体の族から 1 の方法で作った位相に一致する。

1 の位相を、$\mathcal P$ が 定める位相 という。

1：開集合の合併が開であることは定義から明らかである。$O_1,O_2$ が開で $x\in O_1\cap O_2$ なら、$U(x;p_1,\dots,p_m;\varepsilon)\subset O_1$ と $U(x;q_1,\dots,q_l;\delta)\subset O_2$ をとり、半ノルムを並べた $U(x;p_1,\dots,p_m,q_1,\dots,q_l;\min\{\varepsilon,\delta\})$ が $O_1\cap O_2$ に含まれる。よって位相である。$y\in U(x;p_1,\dots,p_m;\varepsilon)$ なら $\eta:=\varepsilon-\max_kp_k(y-x)>0$ で、三角不等式から $U(y;p_1,\dots,p_m;\eta)\subset U(x;p_1,\dots,p_m;\varepsilon)$ なので、$U(x;\dots)$ は開である。凸性は $U(x;\dots)=x+U(0;\dots)$ と、$p_k$ が凸関数であることから従う。
Hausdorff 性：$x\ne y$ なら $\delta:=p(x-y)>0$ となる $p\in\mathcal P$ があり、$U(x;p;\delta/2)$ と $U(y;p;\delta/2)$ は三角不等式により交わらない。
演算の連続性：和は、$p_k\bigl((x+y)-(x_0+y_0)\bigr)\le p_k(x-x_0)+p_k(y-y_0)$ から $U(x_0;\dots;\varepsilon/2)$ と $U(y_0;\dots;\varepsilon/2)$ の和が $U(x_0+y_0;\dots;\varepsilon)$ に入ることで分かる。スカラー倍は、$0< \delta\le1$ について $\lvert\lambda-\lambda_0\rvert< \delta$、$p_k(x-x_0)< \delta$ なら
$$ p_k(\lambda x-\lambda_0x_0)\le\lvert\lambda\rvert p_k(x-x_0)+\lvert\lambda-\lambda_0\rvert p_k(x_0)< \bigl(\lvert\lambda_0\rvert+1+p_k(x_0)\bigr)\delta $$
で、$\delta$ を小さくすれば右辺を $\varepsilon$ 未満にできることから分かる。$0$ の近傍は $U(0;\dots)$ の形の凸な近傍を含むので、局所凸である。
$p\in\mathcal P$ の連続性は、$\{p< 1\}=U(0;p;1)$ が $0$ の近傍であることと thm-sn-continuity による。収束の言い換えは、「$x$ の各基本近傍に $x_n$ がいずれ入る」ことを有限個の $p_k$ ごとに読めばよい。
2：元の位相を $\tau$、連続な半ノルム全体から作った位相を $\tau'$ とする。$U(x;p_1,\dots,p_m;\varepsilon)$ は連続写像 $y\mapsto p_k(y-x)$ による開集合の逆像の共通部分なので $\tau$ で開であり、$\tau'\subset\tau$ である。
逆に $O$ を $\tau$ で開、$x\in O$ とする。$O-x$ は $0$ の近傍なので、局所凸性から凸な $0$ の近傍 $C\subset O-x$ があり、位相ベクトル空間の補題「均衡な近傍」により均衡な開 $0$ 近傍 $B\subset C$ がある。$A:=\bigcap_{\lvert\alpha\rvert=1}\alpha C$ とおく。$\lvert\alpha\rvert=1$ なら $B=\alpha(\alpha^{-1}B)\subset\alpha B\subset\alpha C$ なので $B\subset A$ である。$A$ は凸集合の共通部分なので凸で、$\lvert\alpha_0\rvert=1$ なら $\alpha_0A=A$、$0\le r\le1$ なら $rA\subset A$（凸で $0\in A$）なので均衡である。$A$ は $0$ の近傍 $B$ を含むので吸収的である（位相ベクトル空間の命題「原点近傍の小さい和」の後半）。prop-sn-ball の 3 により $p_A$ は半ノルムで、$\{p_A< 1\}\subset A$ である。$y\in B$ なら、$B$ は開で $s\mapsto sy$ は連続なので、ある $\delta>0$ で $(1+\delta)y\in B\subset A$ となり、$p_A(y)\le(1+\delta)^{-1}< 1$ である。よって $\{p_A< 1\}$ は $0$ の近傍 $B$ を含み、thm-sn-continuity により $p_A$ は連続である。そして
$$ U(x;p_A;1)=x+\{p_A< 1\}\subset x+A\subset x+C\subset O $$
なので、$O$ は $\tau'$ でも開である。$\square$

ノルム空間はノルム一つからなる族が定める位相をもつ。可算個の半ノルムの族が定める位相は平行移動で不変な距離から得られる（Fréchet空間の定理「可算個の半ノルムと距離」）。$\mathbb K^{\mathbb N}$ の積位相は半ノルム $p_m(x)=\max_{j\le m}\lvert x_j\rvert$ の族が定める位相で、どのノルムからも得られない（位相ベクトル空間の命題「無限直積はノルム化できない」）。半ノルムの族は、一つのノルムよりも広い範囲の位相を記述する。

連続線形写像の判定

ノルム空間の間の線形写像の連続性は $\|Tx\|\le C\|x\|$ で判定できた（有界線形作用素）。半ノルムの族が定める位相では、行き先の半ノルムごとに、有限個の半ノルムで抑えればよい。

連続線形写像の半ノルムによる判定

$V,W$ に、それぞれ点を分ける半ノルムの族 $\mathcal P,\mathcal Q$ が定める位相を入れる。線形写像 $T\colon V\to W$ について次は同値である。

$T$ は連続である。
各 $q\in\mathcal Q$ について、有限個の $p_1,\dots,p_m\in\mathcal P$ と $C\ge0$ があって、すべての $x\in V$ で $q(Tx)\le C\max_{1\le k\le m}p_k(x)$ となる。

1 ⇒ 2：$q\in\mathcal Q$ について $\{q< 1\}$ は $W$ の $0$ の近傍なので、ある $U:=U(0;p_1,\dots,p_m;\varepsilon)$ で $T(U)\subset\{q< 1\}$ となる。$r(x):=\max_kp_k(x)$ とおく。$r(x)>0$ なら $z:=\frac\varepsilon{2r(x)}x$ は $r(z)=\varepsilon/2$ なので $z\in U$、$q(Tz)< 1$ であり、$q(Tx)< \frac2\varepsilon r(x)$ となる。$r(x)=0$ なら、すべての $t>0$ で $tx\in U$ なので $t\,q(Tx)< 1$ となり、$q(Tx)=0$ である。$C:=2/\varepsilon$ とすればよい。
2 ⇒ 1：$W$ の $0$ の基本近傍 $U(0;q_1,\dots,q_l;\varepsilon)$ をとる。各 $q_j$ について 2 の半ノルムと定数 $C_j$ をとり、現れる半ノルムをすべて並べて $p_1,\dots,p_m$ とし、$C:=1+\max_jC_j$ とおく。$\max_kp_k(x)< \varepsilon/C$ なら $q_j(Tx)\le C_j\max_kp_k(x)< \varepsilon$ である。よって $T$ は $0$ で連続であり、位相ベクトル空間の定理「線形写像の原点での判定」により連続である。$\square$

$W=\mathbb K$（半ノルムは絶対値一つ）とすると、線形汎関数 $f$ が連続であることは、有限個の $p_k\in\mathcal P$ と $C$ で $\lvert f(x)\rvert\le C\max_kp_k(x)$ となることと同値である。$\mathcal P$ が増加列 $p_1\le p_2\le\cdots$ のときは 1 つの $p_k$ で抑えればよい（Fréchet空間の命題「連続性の半ノルムによる判定」）。
この判定と Hahn–Banach の定理を合わせると、局所凸な空間には連続線形汎関数が十分に多くあることが分かる。

連続線形汎関数による点の分離

$V$ を局所凸な位相ベクトル空間、$p$ を $V$ 上の連続な半ノルム、$x_0\in V$ とする。$V$ 上の連続線形汎関数 $f$ で、$f(x_0)=p(x_0)$ かつすべての $x$ で $\lvert f(x)\rvert\le p(x)$ となるものがある。とくに $x_0\ne0$ なら $f(x_0)\ne0$ となる連続線形汎関数 $f$ がある。

$G:=\mathbb Kx_0$ 上で $g(\lambda x_0):=\lambda p(x_0)$ とおくと、$g$ は矛盾なく定まる線形汎関数で（$x_0=0$ なら $G=\{0\}$、$g=0$）、$\lvert g(\lambda x_0)\rvert=p(\lambda x_0)$ である。Hahn–Banachの定理の定理「Hahn–Banachの定理（半ノルムで抑える形）」により、$V$ 上の線形汎関数 $f$ で $G$ 上 $f=g$、$V$ 上 $\lvert f\rvert\le p$ となるものがある。thm-sn-topology の 2 により $V$ の位相は連続な半ノルム全体の族が定める。この族は点を分ける（$x\ne0$ なら、$V$ は Hausdorff なので $x$ を含まない $0$ の近傍があり、それが含む基本近傍 $U(0;p_1,\dots,p_m;\varepsilon)$ について、ある $k$ で $p_k(x)\ge\varepsilon$ となる）ので、thm-sn-linear により $f$ は連続である。
$x_0\ne0$ とする。$V$ は Hausdorff なので、$0$ のある近傍が $x_0$ を含まない。thm-sn-topology の 2 により、その近傍は連続な半ノルムによる基本近傍 $U(0;p_1,\dots,p_m;\varepsilon)$ を含むので、ある $k$ で $p_k(x_0)\ge\varepsilon>0$ である。$p=p_k$ として前半を使えば $f(x_0)=p_k(x_0)\ne0$ である。$\square$

ノルム空間 $X$ の弱位相は半ノルムの族 $\{\lvert\varphi(x)\rvert\mid\varphi\in X^*\}$ が定める位相であり（弱位相(関数解析)）、双対空間 $X^*$ の弱スター位相は $\{\lvert\varphi(x)\rvert\mid x\in X\}$ が定める位相である（弱スター位相）。どちらもノルムでは書けない局所凸な位相の代表例で、thm-sn-linear はこれらの位相での連続性を確かめる基本の道具になる。

仮定を外すと成り立たなくなること

外す条件	反例	成り立たなくなること
$p(\lambda x)=\lvert\lambda\rvert p(x)$ を $\lambda>0$ だけにする	$\mathbb R$ 上の $p(x)=\max\{x,0\}$	$\{p< 1\}$ が均衡（prop-sn-ball の 1）
三角不等式	$\mathbb R^2$ 上の $p(x)=\bigl(\sqrt{\lvert x_1\rvert}+\sqrt{\lvert x_2\rvert}\bigr)^2$	$\{p\le1\}$ が凸（prop-sn-ball の 1）
族が点を分ける	$\mathbb R^2$ 上の一つの半ノルム $p(x)=\lvert x_1\rvert$	定める位相が Hausdorff（thm-sn-topology の 1）
局所凸	$L^r(0,1)$（$0< r< 1$）、距離 $d(f,g)=\int_0^1\lvert f-g\rvert^r\,dt$	$x_0\ne0$ なら $f(x_0)\ne0$ となる連続線形汎関数 $f$ がある（cor-sn-separate）

反例の表の確かめ

確かめを開く

1 行目：$p$ は $0$ 以上で、$p(x+y)\le p(x)+p(y)$ と $\lambda>0$ での $p(\lambda x)=\lambda p(x)$ を満たす。$\{p< 1\}=(-\infty,1)$ で、$-1$ 倍すると $(-1,\infty)$ になり、$(-\infty,1)$ に含まれない。

2 行目：$p(\lambda x)=\lvert\lambda\rvert p(x)$ は満たす。$(1,0)$ と $(0,1)$ は $\{p\le1\}$ に属するが、中点 $(\frac12,\frac12)$ では $p=(2\sqrt{1/2})^2=2>1$ である。三角不等式も $p((1,0)+(0,1))=4>2$ で破れる。

3 行目：$(0,0)$ と $(0,1)$ の差では $p$ が $0$ なので、$(0,0)$ のどの基本近傍 $U((0,0);p;\varepsilon)$ も $(0,1)$ を含む。よって 2 点は開集合で分けられない。

4 行目：$L^r(0,1)$ がこの距離で位相ベクトル空間になり、$0$ のどの近傍 $\{d(f,0)< \varepsilon\}$ の凸包も $L^r(0,1)$ 全体になることは、位相ベクトル空間の命題「$0< p<1$ の $L^p$ は局所凸でない」の証明で示されている。$f$ が連続線形汎関数なら $\{\lvert f\rvert< 1\}$ は $0$ の凸な近傍なので、ある $\{d(\cdot,0)< \varepsilon\}$ を含み、凸包をとって $L^r(0,1)$ 全体を含む。すると $\lvert f\rvert< 1$ が全体で成り立ち、線形性から $f=0$ である（$f(g)\ne0$ なら $f(tg)$ はいくらでも大きくなる）。連続線形汎関数は $0$ だけで、点を分けられない。

補足

文献

半ノルムの定義、半ノルムの族が定める局所凸な位相とその近傍の基は Tay18b §3 の (3.1)–(3.2)（p. 13）と (3.8)（p. 15）にある。半ノルムで抑える形の Hahn–Banach の定理は同 §4 の Proposition 4.3（p. 18）、弱スター位相と弱位相を半ノルムの族で定めることは同 (4.11)・(4.13)（p. 19）にある。prop-sn-sqrt は、実ノルム空間の場合が Bre11 Problem 4 の B（p. 441）に問題として述べられている。この記事では複素数の場合も含めて証明した。この記事の命題と定理は、引用した位相ベクトル空間・Minkowski汎関数・Hahn–Banachの定理の箱を除いて、記事の中で証明した。