Hellyの選出定理

段 1：$D$ を、$J$ の有理数の点と $J$ に属する端点を合わせた可算集合とする。$D$ は $J$ で稠密である。$(f_n(q))$ は $[-M,M]$ の数列なので、Bolzano–Weierstrassの定理 と 対角線論法 により、部分列 $(f_{n_j})$ で、すべての $q\in D$ について $f_{n_j}(q)$ が収束するものがある。その極限を $\phi(q)$ とおくと、$\phi$ は $D$ の上で単調増加である。
段 2：$J$ の内点 $x$ について
$$ \phi_-(x):=\sup\{\phi(q)\mid q\in D,\ q< x\},\qquad\phi_+(x):=\inf\{\phi(r)\mid r\in D,\ r>x\} $$
とおく。$q< x< r$ なら $f_{n_j}(q)\le f_{n_j}(x)\le f_{n_j}(r)$ なので
$$ \phi(q)\le\liminf_{j\to\infty}f_{n_j}(x)\le\limsup_{j\to\infty}f_{n_j}(x)\le\phi(r) $$
であり、$q,r$ について上限・下限をとると $\phi_-(x)\le\liminf f_{n_j}(x)\le\limsup f_{n_j}(x)\le\phi_+(x)$ である。よって $\phi_-(x)=\phi_+(x)$ となる内点 $x$ では $f_{n_j}(x)$ が収束する。
段 3：$E:=\{x\mid\phi_-(x)< \phi_+(x)\}$ は可算集合である。実際、$x< y$ が $E$ の点なら、間に $D$ の点 $q$ をとって $\phi_+(x)\le\phi(q)\le\phi_-(y)$ なので、開区間 $(\phi_-(x),\phi_+(x))$ と $(\phi_-(y),\phi_+(y))$ は交わらない。互いに交わらない空でない開区間の族は、各区間から有理数を 1 つ選べば単射ができるので、高々可算である。
段 4：$J$ に属する端点は $D$ に入っているので段 1 で収束している。したがって、まだ収束が分かっていないのは $E$ の点だけであり、高々可算個である。これらの点で、もう一度 Bolzano–Weierstrassの定理 と対角線論法を使い、$(f_{n_j})$ の部分列 $(f_{n_k})$ を、これらの点でも収束するようにとる。部分列をとっても収束する点での収束は保たれるので、$(f_{n_k})$ は $J$ のすべての点で収束する。極限 $f$ は単調増加関数の各点極限なので単調増加で、値は $[-M,M]$ に入る。$\square$

$g_n(x):=V_a^x(f_n)$、$h_n:=g_n-f_n$ とおく。有界変動関数 の命題「基本性質」の 5 により $g_n,h_n$ は単調増加で $f_n=g_n-h_n$ である。$0\le g_n\le V_a^b(f_n)\le K$ であり、同じ命題の 2 から $|f_n|\le|f_n(a)|+V_a^b(f_n)\le K$ なので $|h_n|\le2K$ である。
lem-helly-monotone を $(g_n)$ に使って部分列 $(g_{n_j})$ を各点収束させ、同じ補題を $(h_{n_j})$ に使ってさらに部分列 $(h_{n_k})$ を各点収束させる。$(g_{n_k})$ も各点収束するので、$f_{n_k}=g_{n_k}-h_{n_k}$ はすべての点で収束する。その極限を $f$ とおく。
全変動を評価する。$[a,b]$ の分割 $P\colon a=x_0< \dots< x_m=b$ を固定すると、$V(f,P)$ は有限個の点での値で決まるので
$$ V(f,P)=\lim_{k\to\infty}V(f_{n_k},P)\le\liminf_{k\to\infty}V_a^b(f_{n_k}) $$
である。$P$ について上限をとればよい。$\square$

$\|u_n\|_{W^{1,1}}\le K$ とする。まず $I=(a,b)$ が有界な場合を示す。$x\in[a,b]$ と $y\in[a,b]$ について $|\tilde u_n(x)|\le|\tilde u_n(y)|+\int_I|u_n'|$ であり、$y$ について $[a,b]$ 上で平均すると $|\tilde u_n(x)|\le\frac{1}{b-a}\|u_n\|_{L^1}+\|u_n'\|_{L^1}$ である。また $[a,b]$ の分割 $P$ について $V(\tilde u_n,P)=\sum_k\bigl|\int_{x_{k-1}}^{x_k}u_n'\bigr|\le\|u_n'\|_{L^1}$ なので、$V_a^b(\tilde u_n)\le K$ である。よって $|\tilde u_n(a)|+V_a^b(\tilde u_n)\le(1+\frac1{b-a})K+K$ であり、thm-helly-main を使えばよい。
$I$ が有界でない場合は、$I$ に含まれる有界な開区間 $I_1\subset I_2\subset\cdots$ で $\overline I=\bigcup_m\overline{I_m}$ となるものをとる（たとえば $I\cap(-m,m)$ のうち空でないもの）。$u_n|_{I_m}$ は $W^{1,1}(I_m)$ で $K$ 以下のノルムをもつので、有界な場合を $m=1,2,\dots$ と順に使い、対角線論法 で部分列をとれば、$\overline I$ のすべての点で収束する。$\square$

lem-helly-monotone を $J=\mathbb{R}$ に使うと、部分列 $(F_{n_k})$ と単調増加関数 $f\colon\mathbb{R}\to[0,1]$ で、すべての点で $F_{n_k}\to f$ となるものがある。$G(x):=f(x+)$（右からの極限、単調関数 の定理「単調関数の片側極限」）とおくと、$G$ は単調増加で右連続である。$x$ を $G$ の連続点とする。$y< z< x$ なら $G(y)=f(y+)\le f(z)$ なので $G(x-)\le f(x-)$ であり、$y< x$ なら $f(y)\le f(y+)=G(y)$ なので $f(x-)\le G(x-)$ である。よって $f(x-)=G(x-)=G(x)=f(x+)$ である。$f(x-)\le f(x)\le f(x+)$ から $f(x)=G(x)$ であり、$F_{n_k}(x)\to G(x)$ である。$\square$

$m:=\inf_f\Phi(f)$ とおくと $0\le m\le\Phi(0)=\|g\|_{L^1}$ である。$\Phi(f_n)\to m$ となる有界変動関数の列をとり、$\Phi(f_n)\le m+1=:K_0$ としてよい。$V_a^b(f_n)\le K_0$ であり、有界変動関数 の命題「基本性質」の 2 の証明と同様に $|f_n(a)|\le|f_n(x)|+V_a^b(f_n)$ なので、$x$ について積分すると
$$ (b-a)|f_n(a)|\le\int_a^b|f_n|+(b-a)K_0\le\int_a^b|f_n-g|+\|g\|_{L^1}+(b-a)K_0 $$
は $n$ によらず有界である。thm-helly-main により部分列 $(f_{n_k})$ がすべての点で有界変動関数 $f_\ast$ に収束し、$V_a^b(f_\ast)\le\liminf_kV_a^b(f_{n_k})$ である。$|f_{n_k}|$ は $n$ によらない定数で抑えられるので（基本性質の 2）、$|f_{n_k}-g|\to|f_\ast-g|$ に Lebesgueの優収束定理 を使えて $\int|f_{n_k}-g|\to\int|f_\ast-g|$ である。よって
$$ \Phi(f_\ast)\le\liminf_{k\to\infty}V_a^b(f_{n_k})+\lim_{k\to\infty}\int_a^b|f_{n_k}-g|\le\liminf_{k\to\infty}\Phi(f_{n_k})=m $$
であり、$f_\ast$ は最小値をとる。$\square$