反復積分

要点：すべて単体 $\{t_1\le\cdots\le t_r\}$ の分割と変数変換である。

段階 1（円板の中では端点だけで決まる）。 $D\subset U$ を開円板、$p\in D$ とする。$G_0=1$ とし、$G_k$ を $D$ 上の正則関数で $G_k'=G_{k-1}g_k$、$G_k(p)=0$ をみたすものとする（円板上の正則関数は原始関数をもつ。Cauchyの積分定理）。$\gamma$ が $D$ の中の $p$ から出る道なら、$I_k(s)=G_k(\gamma(s))$ である。実際 $k$ についての帰納法で、両辺は $s=0$ で $0$、微分はどちらも $I_{k-1}(s)g_k(\gamma(s))\gamma'(s)$ に等しい。よって $D$ の中の道に沿った反復積分は端点だけで決まる。
段階 2（形式的な級数にまとめる）。 文字 $1,\dots,r$ の語 $w=i_1\cdots i_k$ に対し $\omega_w:=\omega_{i_1}\cdots\omega_{i_k}$ とおき、非可換な不定元 $X_1,\dots,X_r$ の形式的冪級数環 $A$ の元
$$ T(\gamma):=\sum_w\Bigl(\int_\gamma\omega_w\Bigr)X_{i_1}\cdots X_{i_k} $$
を考える（空の語の項は $1$）。prop-iter-basic の 2 は $T(\alpha\beta)=T(\alpha)T(\beta)$ を意味する。円板 $D$ の点 $p,q$ について、$D$ の中で $p$ から $q$ へ行く道の $T$ を $T_D(p,q)$ と書く（段階 1 により道によらない）。$p,q$ が二つの円板 $D,D'$ の両方に入るなら、線分 $[p,q]\subset D\cap D'$ を使えば $T_D(p,q)=T_{D'}(p,q)$ である。また $T_D(p,q)T_D(q,p)=T_D(p,p)=1$（一点にとどまる道の反復積分は $r\ge1$ で $0$）。
段階 3（格子）。 $H\colon[0,1]^2\to U$ を $H(\cdot,0)=\gamma_0$、$H(\cdot,1)=\gamma_1$、$H(0,u)=a$、$H(1,u)=b$ をみたすホモトピーとする。$[0,1]^2$ はコンパクトなので（Lebesgue数の補題）、分割 $0=t_0< \cdots< t_n=1$、$0=u_0< \cdots< u_m=1$ をとって、各小正方形 $[t_{j-1},t_j]\times[u_{l-1},u_l]$ の像がある円板 $D_{jl}\subset U$ に入るようにできる。$p_j=H(t_j,u_{l-1})$、$q_j=H(t_j,u_l)$ とおき、
$$ \Theta_l:=\prod_{j=1}^nT_{D_{jl}}(p_{j-1},p_j),\qquad\Theta'_l:=\prod_{j=1}^nT_{D_{jl}}(q_{j-1},q_j) $$
とする（積は $j$ の小さい順）。$D_{jl}$ の中で $T(p_{j-1},p_j)=T(p_{j-1},q_{j-1})T(q_{j-1},q_j)T(q_j,p_j)$ であり、隣り合う因子 $T(q_j,p_j)T(p_j,q_j)$ は $D_{jl}\cap D_{j+1,l}$ の中で計算できて $1$ になる。両端では $p_0=q_0=a$、$p_n=q_n=b$ なので $T(a,a)=T(b,b)=1$ である。よって $\Theta_l=\Theta'_l$ であり、$\Theta'_l=\Theta_{l+1}$（同じ点列を、どちらも両方を含む円板の中で結んでいるので、段階 2 により同じ値）である。
最後に、$\gamma_0$ は区分的に $C^1$ なので、1 と 2 を繰り返し使えば $T(\gamma_0)=\prod_jT(\gamma_0|_{[t_{j-1},t_j]})=\Theta_1$（各部分は $D_{j1}$ の中の道）であり、同様に $T(\gamma_1)=\Theta'_m$ である。以上から $T(\gamma_0)=\Theta_1=\Theta'_1=\Theta_2=\cdots=\Theta'_m=T(\gamma_1)$ となり、$X_1X_2\cdots X_r$ の係数を比べればよい。

prop-iter-basic の 2 により
$$ \int_{\delta\gamma}\omega_1\omega_0=\int_\delta\omega_1\omega_0+\int_\delta\omega_1\int_\gamma\omega_0+\int_\gamma\omega_1\omega_0 $$
である（$\delta=\delta_{z_0}$。$\delta$ の端点 $0$ での広義積分の扱いは、$\delta$ を $\varepsilon$ から始めて $\varepsilon\to0$ とすればよい）。$\omega_0$ は $1$ の近くで正則なので $\int_\gamma\omega_0=0$、$\int_\gamma\omega_1=-2\pi i$ である（留数）。残りは $\int_\gamma\omega_1\omega_0=-2\pi i\log z_0$ を示せばよい。thm-iter-homotopy により、$\gamma$ を $\sigma C\sigma^{-1}$ に取り替えてよい（どの $\varepsilon$ でも値は同じ）。2 を繰り返し使い、$\int_C\omega_0=0$ に注意すると
$$ \int_{\sigma C\sigma^{-1}}\omega_1\omega_0=\int_\sigma\omega_1\omega_0+\int_{\sigma^{-1}}\omega_1\omega_0+\int_\sigma\omega_1\int_{\sigma^{-1}}\omega_0+\int_C\omega_1\omega_0+\int_C\omega_1\int_{\sigma^{-1}}\omega_0 $$
である。3 により $\int_{\sigma^{-1}}\omega_1\omega_0=\int_\sigma\omega_0\omega_1$、$\int_{\sigma^{-1}}\omega_0=-\int_\sigma\omega_0$ であり、4 により $\int_\sigma\omega_1\omega_0+\int_\sigma\omega_0\omega_1=\int_\sigma\omega_1\int_\sigma\omega_0$ なので、最初の 3 項の和は $0$ である。$C$ の上で $|1/(1-z)|=1/\varepsilon$、$|1/z|\le2$（$\varepsilon\le\frac12$ のとき）なので、内側の積分 $I_1$ の絶対値は $2\pi\varepsilon\cdot\frac1\varepsilon=2\pi$ 以下であり、$|\int_C\omega_1\omega_0|\le2\pi\cdot(2\pi\varepsilon\cdot2)\to0$ である。最後の項は $(-2\pi i)\cdot\bigl(-\log(1-\varepsilon)+\log z_0\bigr)$ に等しい。左辺は $\varepsilon$ によらないので、$\varepsilon\to0$ として $\int_\gamma\omega_1\omega_0=-2\pi i\log z_0$ を得る。