対称空間

$A:=\{q\in M\mid\varphi(q)=\psi(q),\ d\varphi_q=d\psi_q\}$ とおく。$\varphi,\psi$ とその微分 $TM\to TM$ は連続なので、$A$ は閉集合であり、仮定により $p\in A$ である。$q\in A$ とし、$\varepsilon>0$ を、$\exp_q$ が $T_qM$ の半径 $\varepsilon$ の開球 $B$ から $q$ の開近傍 $U$ への微分同相写像になるようにとる（Riemann幾何学 の注意「測地線の性質」）。等長写像は指数写像と可換なので（Riemann幾何学 の命題「等長写像は測地線を測地線に写す」）、$v\in B$ について
$$ \varphi(\exp_qv)=\exp_{\varphi(q)}(d\varphi_qv)=\exp_{\psi(q)}(d\psi_qv)=\psi(\exp_qv) $$
である。よって $U$ 上で $\varphi=\psi$ であり、開集合上で一致する写像は微分も一致するので $U\subset A$ である。したがって $A$ は開集合でもあり、$M$ の連結性から $A=M$ である。$\square$

1．$s,s'$ を $p$ における点対称とすると、$s(p)=s'(p)$、$ds_p=ds'_p=-\mathrm{id}$ なので lem-sym-rigidity により $s=s'$ である。また $s_p\circ s_p$ は $p$ を固定し、微分が $(-\mathrm{id})^2=\mathrm{id}$ の等長写像なので、恒等写像と lem-sym-rigidity を比べて $s_p\circ s_p=\mathrm{id}$ である。
2．$\sigma(t):=s_p(\gamma(-t))$ とおく。等長写像は測地線を測地線に写し、$t\mapsto\gamma(-t)$ も測地線なので、$\sigma$ は測地線であり、$\sigma(0)=p$、$\dot\sigma(0)=ds_p(-\dot\gamma(0))=\dot\gamma(0)$ である。測地線の一意性（Riemann幾何学 の命題「測地線の局所存在と一意性」）により、共通の定義域の上で $\sigma=\gamma$、すなわち $s_p(\gamma(-t))=\gamma(t)$ である。$t$ を $-t$ に替えれば主張を得る。$\gamma=\gamma_v$、$t=1$ とおけば後半になる。
3．$\varphi\circ s_p\circ\varphi^{-1}$ は等長写像で $\varphi(p)$ を固定し、その点での微分は $d\varphi_p\circ(-\mathrm{id})\circ(d\varphi_p)^{-1}=-\mathrm{id}$ である。$\square$

$s_p$ は線形写像で、$s_p(p)=2p-p=p$ である。$x=\lambda p+w$（$b(w,p)=0$）と分けると $b(p,p)=c$ より $s_p(x)=\lambda p-w$ なので、$s_p$ は $\mathbb Rp$ の上で恒等写像、$b$ に関する直交補空間 $p^{\perp}$ の上で $-1$ 倍であり、$b(s_px,s_py)=b(x,y)$ を満たす。よって $s_p$ は $Q$ をそれ自身に移し、$p$ を含む連結成分 $M$ もそれ自身に移す。$M$ の計量は各接空間への $b$ の制限であり、線形写像 $s_p$ の微分は $s_p$ 自身だから、$s_p|_M$ は等長写像である。$T_pM=p^{\perp}$ なので $d(s_p)_p=-\mathrm{id}$ である。Euclid 空間の $x\mapsto2p-x$ は平行移動と $-1$ 倍の合成で、$p$ での微分は $-\mathrm{id}$ である。$\square$

$\iota(x):=x^{-1}$ とおく。$\iota$ の $e$ での微分は $-\mathrm{id}$ である（$t\mapsto\exp(tX)$ が $\exp(-tX)$ に移るから）。任意の $a\in G$ について $(a^{-1}x)^{-1}a^{-1}=x^{-1}$ なので $\iota=R_{a^{-1}}\circ\iota\circ L_{a^{-1}}$ であり、$d\iota_a=d(R_{a^{-1}})_e\circ(-\mathrm{id})\circ d(L_{a^{-1}})_a$ は両側不変性により計量を保つ。よって $\iota$ は等長写像で、$e$ における点対称である。$s_a=L_a\circ\iota\circ L_{a^{-1}}$ なので、prop-sym-basic の 3 により $s_a$ は $a$ における点対称である。最後の主張は、$g\in SO(n)$ について $\operatorname{Ad}_gX=gXg^{\mathsf T}$ であり $\operatorname{tr}((gXg^{\mathsf T})^{\mathsf T}gYg^{\mathsf T})=\operatorname{tr}(X^{\mathsf T}Y)$ となることと、$\operatorname{Ad}$ 不変な内積を左移動で広げた計量が右移動でも不変であること（$R_a=L_a\circ C_{a^{-1}}$、$C_b(x)=bxb^{-1}$ で、$d(C_b)_e=\operatorname{Ad}_b$）による。$\square$

1．$\gamma\colon(a,b)\to M$ を定義域が最大の測地線とし、$b< \infty$ と仮定する。$t_0\in(a,b)$ を $2t_0-a>b$ となるようにとる（$a=-\infty$ なら任意の $t_0$、$a>-\infty$ なら $(a+b)/2< t_0< b$ とする）。$s:=s_{\gamma(t_0)}$ とおき、
$$ \sigma(t):=s\bigl(\gamma(2t_0-t)\bigr)\qquad(2t_0-b< t<2t_0-a) $$
と定める。$t\mapsto\gamma(2t_0-t)$ は測地線で、等長写像は測地線を測地線に写すので、$\sigma$ は測地線である。さらに
$$ \sigma(t_0)=s(\gamma(t_0))=\gamma(t_0),\qquad\dot\sigma(t_0)=ds_{\gamma(t_0)}\bigl(-\dot\gamma(t_0)\bigr)=\dot\gamma(t_0) $$
であるから、測地線の一意性（Riemann幾何学 の命題「測地線の局所存在と一意性」）により $\sigma$ と $\gamma$ は共通の定義域の上で一致する。よって $(a,b)$ 上で $\gamma$、$(2t_0-b,2t_0-a)$ 上で $\sigma$ に等しい曲線は、$b$ より大きい $2t_0-a$ まで定義された測地線であり、$\gamma$ の定義域の最大性に反する。$a>-\infty$ の場合も、向きを逆にした同じ議論で矛盾する。よってすべての測地線は $\mathbb R$ 全体で定義され、$(M,g)$ は測地的に完備である。距離空間としての完備性は Hopf–Rinow の定理（Riemann幾何学 の定理「Hopf–Rinow の定理」）による。
2．$M$ は連結かつ 1 により完備なので、Hopf–Rinow の定理により $p,q$ は測地線 $\gamma\colon[0,1]\to M$、$\gamma(0)=p$、$\gamma(1)=q$ で結ばれる。$m:=\gamma(1/2)$ とし、測地線 $u\mapsto\gamma(1/2+u)$（$-1/2\le u\le1/2$）に prop-sym-basic の 2 を当てると、$s_m(\gamma(1/2+u))=\gamma(1/2-u)$ である。$u=-1/2$ とおいて $s_m(p)=q$ を得る。
3．$\varphi\colon M\to M$ を等長写像とし、ベクトル場の押し出しを $\varphi_*X:=d\varphi\circ X\circ\varphi^{-1}$ と書く。$\varphi_*(\nabla_XY)=\nabla_{\varphi_*X}\varphi_*Y$（Riemann幾何学 の命題「等長写像とリーマン接続の両立」）と $\varphi_*[X,Y]=[\varphi_*X,\varphi_*Y]$ を、$R$ の定義と
$$ (\nabla_WR)(X,Y)Z=\nabla_W(R(X,Y)Z)-R(\nabla_WX,Y)Z-R(X,\nabla_WY)Z-R(X,Y)\nabla_WZ $$
の各項に当てると、$\varphi_*\bigl((\nabla_WR)(X,Y)Z\bigr)=(\nabla_{\varphi_*W}R)(\varphi_*X,\varphi_*Y)\varphi_*Z$ を得る。テンソル場の値は各点でのベクトル場の値だけで決まるので、$\varphi=s_p$、$w,x,y,z\in T_pM$ について
$$ ds_p\bigl((\nabla_wR)(x,y)z\bigr)=(\nabla_{ds_pw}R)(ds_px,ds_py)\,ds_pz $$
である。$ds_p=-\mathrm{id}$ を代入すると、左辺は $-(\nabla_wR)(x,y)z$、右辺は 4 つの引数の多重線形性により $(-1)^4(\nabla_wR)(x,y)z$ である。よって $(\nabla_wR)(x,y)z=0$ であり、$p$ は任意なので $\nabla R=0$ である。$\square$

冪等性：$s_x(x)=x$ である。右からの演算 $x\mapsto x\ast y=s_y(x)$ は、$s_y\circ s_y=\mathrm{id}$（prop-sym-basic の 1）により全単射であり、同じ式から $(x\ast y)\ast y=x$ である。右自己分配律：prop-sym-basic の 3 を $\varphi=s_z$ に当てると $s_{s_z(y)}=s_z\circ s_y\circ s_z$ なので、
$$ (x\ast z)\ast(y\ast z)=s_{s_z(y)}(s_z(x))=s_z\bigl(s_y(s_z(s_z(x)))\bigr)=s_z(s_y(x))=(x\ast y)\ast z $$
である。$\square$