Fejérの定理

要点：1 は係数の式を部分和に代入して和と積分を入れ替えたもの、2 は Dirichlet 核の閉じた形を平均して打ち消し合いを使ったもの、3 は $|\sin\frac t2|\ge\frac{|t|}\pi$ による。

1。 $c:=\frac12(f(x+0)+f(x-0))$、$\varphi(t):=f(x+t)+f(x-t)-2c$ とおくと、$t\to+0$ で $\varphi(t)\to0$ である。$\varepsilon>0$ に対し、$0< t<\delta$ で $|\varphi(t)|<\varepsilon$ となる $0<\delta<\pi$ をとる。折り返しの式を $(0,\delta)$ と $[\delta,\pi]$ に分け、前者には $F_N\ge0$ と $\frac1{2\pi}\int_0^\pi F_N=\frac12$ を、後者には lem-fj-kernel の 3 を使うと
$$ |\sigma_N(f;x)-c|\le\frac\varepsilon2+\frac1{2\pi}\cdot\frac{\pi^2}{(N+1)\delta^2}\int_\delta^\pi|\varphi(t)|\,dt $$
である。$\int_\delta^\pi|\varphi|\le2\int_{-\pi}^{\pi}|f|+2\pi|c|<\infty$ なので、右辺の第 2 項は $N\to\infty$ で $0$ に近づく。よって $\limsup_N|\sigma_N(f;x)-c|\le\varepsilon/2$ であり、$\varepsilon$ は任意である。
2。 $f$ は周期的で連続なので有界（$|f|\le M$）かつ一様連続である（$[-2\pi,2\pi]$ に 一様連続 の定理「Heine–Cantorの定理」を使い、周期性で $\mathbb R$ に広げる）。1 の証明で $c=f(x)$ とすると、$\delta$ は $x$ によらずにとれ、$\int_\delta^\pi|\varphi|\le4\pi M$ も $x$ によらない。よって評価は $x$ について一様である。
3。 測度 $\frac1{2\pi}F_N(t)\,dt$ は $[-\pi,\pi]$ 上の確率測度なので、Hölderの不等式 から $\bigl|\frac1{2\pi}\int g(t)F_N(t)\,dt\bigr|^p\le\frac1{2\pi}\int|g(t)|^pF_N(t)\,dt$ である。これを $g(t)=f(x-t)$ と $g(t)=f(x-t)-f(x)$ に使い、$x$ について積分して Tonelliの定理 で順序を入れ替えると
$$ \|\sigma_N(f;\cdot)\|_p^p\le\frac1{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\|f\|_p^pF_N(t)\,dt=\|f\|_p^p,\qquad \|\sigma_N(f;\cdot)-f\|_p^p\le\frac1{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\omega(t)F_N(t)\,dt $$
を得る。ここで $\omega(t):=\frac1{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}|f(x-t)-f(x)|^p\,dx$ で、$\omega\le2^p\|f\|_p^p$ である。$g:=f\,1_{[-2\pi,2\pi]}\in L^p(\mathbb R)$ とおくと、$|t|\le\pi$ では $\omega(t)\le\frac1{2\pi}\|g(\cdot-t)-g\|_{L^p(\mathbb R)}^p$ なので、軟化子 の補題「平行移動の連続性」により $t\to0$ で $\omega(t)\to0$ である。あとは 1 と同じく、積分を $|t|<\delta$ と $\delta\le|t|\le\pi$ に分ければよい。
4。 $\psi(t):=f(x+t)+f(x-t)-2f(x)$、$\Phi(h):=\int_0^h|\psi(t)|\,dt$ とおく。$\Phi(h)\le\int_{-h}^{h}|f(x-t)-f(x)|\,dt$ なので、仮定から $\Phi(h)/h\to0$ である。$\varepsilon>0$ に対し、$0< h\le2\delta$ で $\Phi(h)\le\varepsilon h$ となる $0<\delta\le\pi/2$ をとり、$a:=\frac1{N+1}<\delta$ となる $N$ を考える。折り返しの式の積分を $[0,a]$、$[a,\delta]$、$[\delta,\pi]$ に分ける。

• $[0,a]$：$F_N\le N+1$ から、寄与は $\frac1{2\pi}(N+1)\Phi(a)\le\frac\varepsilon{2\pi}$ 以下。
• $[a,\delta]$：$2^Ka<\delta\le2^{K+1}a$ となる $K$ をとり、$[a,\delta]$ を区間 $[2^ka,2^{k+1}a]$（$k=0,\dots,K$）で覆う。各区間で $F_N(t)\le\frac{\pi^2}{(N+1)(2^ka)^2}$ かつ $\int_{2^ka}^{2^{k+1}a}|\psi|\le\Phi(2^{k+1}a)\le\varepsilon2^{k+1}a$ なので、寄与は $\frac1{2\pi}\sum_{k=0}^{K}\frac{\pi^2\varepsilon2^{k+1}a}{(N+1)2^{2k}a^2}=\frac{\pi\varepsilon}{2}\sum_{k=0}^{K}\frac{2^{1-k}}{(N+1)a}\le2\pi\varepsilon$ 以下。
• $[\delta,\pi]$：1 と同じく、寄与は $N\to\infty$ で $0$ に近づく。
  よって $\limsup_N|\sigma_N(f;x)-f(x)|\le\bigl(\frac1{2\pi}+2\pi\bigr)\varepsilon$ である。後半は、$f$ を $\mathbb R$ 上の局所可積分関数とみると Hardy–Littlewoodの極大関数 の定理「Lebesgue の微分定理」によりほとんどすべての点が Lebesgue 点であることによる。$\square$

$h:=f-g$ の Fourier 係数はすべて $0$ なので、すべての $N$ で $\sigma_N(h;\cdot)=0$ である。thm-fj-main の 3（$p=1$）から $\|h\|_1=\lim_N\|\sigma_N(h;\cdot)-h\|_1=0$ である。連続なら 2 から $h=\lim_N\sigma_N(h;\cdot)=0$ がすべての点で成り立つ。$\square$

収束する数列の平均は同じ極限に収束する（数列の平均の極限 の定理「平均の極限」）。$\sigma_N(f;x)$ は $s_0(f;x),\dots,s_N(f;x)$ の平均なので $S$ に収束する。一方 thm-fj-main の 4 または 1 から $\sigma_N(f;x)$ は $f(x)$ または左右の極限の平均に収束する。極限は一つなので両者は等しい。$\square$

$g(\theta):=f(\cos\theta)$ は $\mathbb R$ 上の連続な $2\pi$ 周期の偶関数である。偶関数なので $\hat g(-n)=\hat g(n)$ であり、$\sigma_N(g;\theta)=\sum_{k=0}^{N}a_k\cos k\theta$（$a_0=\hat g(0)$、$a_k=2(1-\frac k{N+1})\hat g(k)$）と書ける。Chebyshev多項式 の定理「余弦の $n$ 倍角の公式」により $\cos k\theta=T_k(\cos\theta)$ となる $k$ 次多項式 $T_k$ があるので、$p_N(x):=\sum_{k=0}^{N}a_kT_k(x)$ とおくと $p_N(\cos\theta)=\sigma_N(g;\theta)$ である。$x=\cos\theta$ は $\theta\in[0,\pi]$ で $[-1,1]$ 全体を動くので、thm-fj-main の 2 から
$$ \max_{-1\le x\le1}|f(x)-p_N(x)|=\max_{0\le\theta\le\pi}|g(\theta)-\sigma_N(g;\theta)|\to0 $$
である。$\square$