片側シフト作用素

段 1（固有値）。$S^*x=\mu x$ は「すべての $n\ge0$ で $x_{n+1}=\mu x_n$」、すなわち $x=x_0k_\mu$ と同値である。$x_0\neq0$ のとき $x\in\ell^2$ となるのは $|\mu|<1$ のときに限るので、$\sigma_p(S^*)=\mathbb{D}$ で固有空間は $\mathbb{C}k_\mu$ である。$Sx=\lambda x$ とすると、第 $0$ 成分から $\lambda x_0=0$、第 $n+1$ 成分から $x_n=\lambda x_{n+1}$ である。$\lambda=0$ なら $S$ の単射性から $x=0$ である。$\lambda\neq0$ なら $x_0=0$ と $x_{n+1}=x_n/\lambda$ から帰納的に $x=0$ である。よって $\sigma_p(S)=\emptyset$ である。

段 2（スペクトル）。$\|S\|=1$ なので、$|\lambda|>1$ なら $S-\lambda=-\lambda(I-\lambda^{-1}S)$ は Neumann 級数により有界な逆をもち、$\sigma(S)\subset\overline{\mathbb{D}}$ である（スペクトル半径）。$R$ が $T-\lambda$ の有界な逆なら $R^*$ は $T^*-\bar\lambda$ の有界な逆であり、逆も同様なので、$\sigma(S^*)=\{\bar\lambda\mid\lambda\in\sigma(S)\}\subset\overline{\mathbb{D}}$ である。段 1 から $\mathbb{D}\subset\sigma(S^*)$ であり、スペクトルは閉集合なので $\sigma(S^*)=\overline{\mathbb{D}}$、したがって $\sigma(S)=\overline{\mathbb{D}}$ である。

段 3（$|\lambda|<1$）。$\|(S-\lambda)x\|\ge\|Sx\|-|\lambda|\|x\|=(1-|\lambda|)\|x\|$ なので $S-\lambda$ は下に有界である。下に有界な作用素は単射で、像は閉じている（像の Cauchy 列 $(S-\lambda)x^{(k)}$ について $x^{(k)}$ も Cauchy 列で、極限 $x$ について $(S-\lambda)x^{(k)}\to(S-\lambda)x$）。閉じた像は $\ker(S^*-\bar\lambda)$ の直交補空間に等しく（一般に $(\operatorname{ran}T)^\perp=\ker T^*$）、段 1 によりこの核は $\mathbb{C}k_{\bar\lambda}$ である。$S-\lambda$ の像が閉じているので、閉値域定理 により $S^*-\bar\lambda$ の像も閉じていて、$\ker(S-\lambda)^\perp=\ell^2$ に等しい。

段 4（$|\lambda|=1$）。$|\bar\lambda|=1$ は $S^*$ の固有値でないので、段 1 から両方とも単射である。$\operatorname{ran}(S-\lambda)^\perp=\ker(S^*-\bar\lambda)=\{0\}$、$\operatorname{ran}(S^*-\bar\lambda)^\perp=\ker(S-\lambda)=\{0\}$ なので、像はどちらも稠密である。$N\ge1$ について $x^{(N)}:=N^{-1/2}\sum_{n=0}^{N-1}\bar\lambda^ne_n$ とおくと $\|x^{(N)}\|=1$ であり、$(S-\lambda)x^{(N)}$ の第 $n$ 成分は、$1\le n\le N-1$ では $N^{-1/2}(\bar\lambda^{n-1}-\lambda\bar\lambda^n)=0$（$\lambda\bar\lambda=1$）、第 $0$ 成分は $-\lambda N^{-1/2}$、第 $N$ 成分は $N^{-1/2}\bar\lambda^{N-1}$ で、ほかは $0$ である。よって $\|(S-\lambda)x^{(N)}\|=\sqrt{2/N}\to0$ で、$\lambda$ は $S$ の近似固有値である。単射な作用素の像が閉じていれば、開写像定理 により像の上への逆写像は有界で、作用素は下に有界になる。したがって $S-\lambda$ の像は閉じていない。$S^*-\bar\lambda$ の像が閉じていれば 閉値域定理 により $S-\lambda$ の像も閉じるので、これも閉じていない。

段 5。段 3 から $\mathbb{D}$ の点は $S$ の近似固有値でなく、$\overline{\mathbb{D}}$ の外は $\sigma(S)$ の外にあり、近似固有値はスペクトルに含まれる（下に有界でない作用素は可逆でない）。段 4 と合わせて $\sigma_{ap}(S)=\mathbb{T}$ である。$S^*$ については、$\mathbb{D}$ の点は固有値なので近似固有値であり、$\sigma_{ap}$ は閉集合なので（下に有界な作用素の集合は開集合）$\sigma_{ap}(S^*)\supset\overline{\mathbb{D}}$、逆の包含はスペクトルに含まれることから従う。$\square$

$VH$ は閉なので $H=L\oplus VH$ であり、$(VH)^\perp=\ker V^*$ である。直交性：$m< n$、$a,b\in L$ について、$V^{*m}V^m=I$ から $\langle V^ma,V^nb\rangle=\langle a,V^{n-m}b\rangle=0$（$V^{n-m}b\in VH\perp L$）。$V^n$ は内積を保つので、$H=L\oplus VH$ を写して $V^nH=V^nL\oplus V^{n+1}H$ を得る。帰納法により、各 $n$ で $H=L\oplus VL\oplus\cdots\oplus V^{n-1}L\oplus V^nH$ である。

1：$x\in H_\infty$ なら、各 $k$ で $x\in V^{k+1}H\perp V^kL$ である。逆に $x$ がすべての $V^kL$ に直交するなら、上の分解から各 $n$ で $x\in V^nH$、すなわち $x\in H_\infty$ である。よって $H_\infty=M^\perp$ で、$H=M\oplus H_\infty$ である。

2：$V(\bigcap_nV^nH)\subset\bigcap_nV^{n+1}H=H_\infty$ である。逆に $y\in H_\infty$ とし、$y=Vx$（$x\in H$）と書く。各 $n$ で $y\in V^{n+1}H$ なので $y=V^{n+1}z_n$ と書け、$V$ の単射性から $x=V^nz_n\in V^nH$ である。よって $x\in H_\infty$ で、$VH_\infty=H_\infty$ である。等長で全射なので制限はユニタリである。

3：$(a_n)\in\ell^2(\mathbb{N};L)$ について、項 $V^na_n$ は互いに直交し $\|V^na_n\|=\|a_n\|$ なので、級数は収束して $\|W(a_n)\|^2=\sum_n\|a_n\|^2$ である。$W$ は等長で、像は閉じていて各 $V^nL$ を含むので $M$ に等しい。$VW(a_n)=\sum_nV^{n+1}a_n=WS_L(a_n)$ である。

一意性：$V|_{H'}$ がユニタリなら $H'=V^nH'\subset V^nH$ がすべての $n$ で成り立つので $H'\subset H_\infty$ である。$V|_{M'}$ が $S_{L'}$ とユニタリ同値なら、$\bigcap_nV^nM'$ は $\bigcap_nS_{L'}^n\ell^2(\mathbb{N};L')=\{0\}$（先頭から $n$ 個の項が $0$ の列の共通部分）に対応して $\{0\}$ である。$V^nH=V^nM'\oplus V^nH'=V^nM'\oplus H'$ なので、$x\in H_\infty$ を $x=m+h$（$m\in M'$、$h\in H'$）と分けると、各 $n$ で $m\in V^nM'$ となり $m=0$ である。よって $H_\infty\subset H'$ で $H'=H_\infty$、直交補空間をとって $M'=M$ である。$\square$