可縮空間(単体的集合)

同値関係を生成する一歩ごとに示せばよいので、$h\colon f\Rightarrow g$ とする。射影の実現を並べた写像 $\theta\colon\lvert X\times\Delta^1\rvert\to\lvert X\rvert\times\lvert\Delta^1\rvert$ は、$\Delta^1$ の非退化単体が有限個なので同相写像である（Ker26 Corollary 3.6.2.2（Tag 013E））。$\lvert\Delta^1\rvert$ を $[0,1]$ と同一視し、$H:=\lvert h\rvert\circ\theta^{-1}\colon\lvert X\rvert\times[0,1]\to\lvert Y\rvert$ とおく。$\theta$ は包含 $X\times\{\varepsilon\}\subset X\times\Delta^1$ と両立する（射影の実現は関手的である）ので、$H(-,0)=\lvert h|_{X\times\{0\}}\rvert=\lvert f\rvert$、$H(-,1)=\lvert g\rvert$ である。よって $\lvert f\rvert$ と $\lvert g\rvert$ はホモトピックである。位相空間のホモトピーは逆向きにたどれるので、$f\simeq g$ を与える列の各段の向きによらずに、$\lvert f\rvert$ と $\lvert g\rvert$ はホモトピックになる。
$X$ が可縮で $\operatorname{id}_X\simeq c_v$ なら、$\operatorname{id}_{\lvert X\rvert}=\lvert\operatorname{id}_X\rvert$ は定値写像 $\lvert c_v\rvert$ にホモトピックなので、$\lvert X\rvert$ は可縮空間である。$\square$

1 ⇒ 2。 可縮空間は弱可縮なので、Kan–Quillenモデル構造 の命題「弱可縮な Kan 複体」による。
2 ⇒ 3。 $n=0$ の延長から $K$ は空でない。頂点 $v$ をとる。$K\times\partial\Delta^1\subset K\times\Delta^1$ は単射であり、Kan–Quillenモデル構造 の系「単射とアノダイン拡大の特徴づけ」の 1 により、単射は自明 Kan ファイブレーション $K\to\Delta^0$ に対して左持ち上げ性質をもつ。$K\times\{0\}$ の上で $\operatorname{id}_K$、$K\times\{1\}$ の上で $c_v$ となる写像 $K\times\partial\Delta^1\to K$ に持ち上げ性質を当てると、$K\times\Delta^1\to K$ への延長、つまり $\operatorname{id}_K\Rightarrow c_v$ が得られる。$0$ と $1$ の役割を入れ替えれば $c_v\Rightarrow\operatorname{id}_K$ も得られる。
3 ⇒ 4 は定義から明らかであり、4 ⇒ 1 は thm-css-realization である。$\square$

ホモトピー $h\colon\operatorname{id}\Rightarrow c_w$ があれば、各頂点 $x$ について $h$ の $\{x\}\times\Delta^1$ への制限は $x$ から $w$ への辺である。$\Lambda^2_1$ の辺のうち始点と終点が異なるものは $01$ と $12$ だけなので、$w=0$ なら辺 $1\to0$、$w=1$ なら辺 $2\to1$、$w=2$ なら辺 $0\to2$ が必要になり、いずれも存在しない。$c_w\Rightarrow\operatorname{id}$ も同様に、$w$ から他の二頂点への辺が必要になり存在しない。
可縮であることは二本のホモトピーで示せる。$\varphi(m)=\max(m,1)$ とおくと、$(m,0)\mapsto m$、$(m,1)\mapsto\varphi(m)$ と $(m,0)\mapsto1$、$(m,1)\mapsto\varphi(m)$ はどちらも順序を保つ写像 $[2]\times[1]\to[2]$ で、$\Lambda^2_1\times\Delta^1$ を $\Lambda^2_1$ に写す（鎖の像が $\{0,1\}$ または $\{1,2\}$ に入ることを、鎖がどちらの辺に入るかで場合を分けて確かめる）。前者は $\operatorname{id}\Rightarrow f$、後者は $c_1\Rightarrow f$ を与える（$f$ は $\varphi$ が定める写像）。よって $\operatorname{id}\simeq f\simeq c_1$ である。$\square$

弱可縮であること。 幾何学的実現 の定理「幾何学的実現の CW 構造」により、$\lvert D\rvert$ は $1$ 骨格 $C=\lvert D\rvert^{(1)}$ に $2$ 胞体を一つ、接着写像 $\phi=\iota_\sigma|_{\partial\lvert\Delta^2\rvert}$ で貼った空間である。$C$ は $0$ 胞体一つと $1$ 胞体一つからなり、$\iota_e$ が誘導する $\lvert\Delta^1\rvert/\partial\lvert\Delta^1\rvert\to C$ はコンパクト空間から Hausdorff 空間への連続な全単射なので同相写像である。$\partial\lvert\Delta^2\rvert$ を $e_0\to e_1\to e_2\to e_0$ とたどると、$\phi$ は辺 $e_0e_1$・$e_1e_2$ の上で $\iota_{d_2\sigma}=\iota_e$、$\iota_{d_0\sigma}=\iota_e$、辺 $e_2e_0$ の上で $\iota_{d_1\sigma}=\iota_e$ を逆にたどるので、ループとしては $\iota_e\cdot\iota_e\cdot\overline{\iota_e}$ である。これは端点を固定して $\iota_e$ にホモトピックであり（基本群 の定理「基本亜群の公理と基本群の群構造」）、端点を固定したホモトピーは $\partial\lvert\Delta^2\rvert$ からの写像のホモトピーを与える。よって $\phi$ は、$\partial\lvert\Delta^2\rvert$ を一周して $C$ を一周する同相写像 $\phi'$ にホモトピックである。$(\lvert\Delta^2\rvert,\partial\lvert\Delta^2\rvert)$ は CW 対なので、Hat02 Proposition 0.18 により $\lvert D\rvert=C\sqcup_\phi\lvert\Delta^2\rvert$ は $C\sqcup_{\phi'}\lvert\Delta^2\rvert$ とホモトピー同値である。$\phi'$ が同相写像なので、$\lvert\Delta^2\rvert\to C\sqcup_{\phi'}\lvert\Delta^2\rvert$ はコンパクト空間から Hausdorff 空間への連続な全単射、つまり同相写像であり、$\lvert\Delta^2\rvert$ は凸なので可縮である。よって $\lvert D\rvert$ は可縮であり、$D$ は弱可縮である。
自己写像は二つだけであること。 $s\colon[n]\to[k]$ は、$[k]\to[2]$ の単射 $\iota$ について $s=(\iota\circ s)^*\sigma$ と書けるので、単体的写像 $f\colon D\to D$ は $f(\sigma)$ で決まる。$\sigma$ の三辺は等しいので $f(\sigma)$ の三辺も等しく、上の表から $f(\sigma)\in\{\bar{\bar v},\sigma\}$ である。よって $f$ は $\operatorname{id}_D$ か $c_v$ である。
$\operatorname{id}_D$ と $c_v$ のあいだにどちらの向きのホモトピーもないこと。 $D\times\Delta^1$ の単体を組 $(x,a)$（$a$ は $0$ と $1$ の列）で書く。$h\colon\operatorname{id}_D\Rightarrow c_v$ があるとして、$p=h(\bar v,01)$、$k=h(e,01)$ とおく。$2$ 単体 $A=(s_0e,011)$ と $B=(s_1e,001)$ の三辺の像はそれぞれ $(\bar v,k,p)$ と $(p,k,e)$ である。表から、前者を三辺にもつ $2$ 単体は $\bar{\bar v}$ か $s_1e$ なので $(k,p)\in\{(\bar v,\bar v),(e,e)\}$、後者をもつものは $s_1e$ か $\sigma$ なので $(p,k)\in\{(\bar v,e),(e,e)\}$ である。よって $k=p=e$、$h(B)=\sigma$ であり、$h(\sigma,001)$ も三辺がすべて $e$ なので $\sigma$ である。そこで $3$ 単体 $T=(s_2\sigma,0001)$ を見ると、その四つの面は $B$、$B$、$(\sigma,001)$、$(\sigma,000)$ で、どれも $\sigma$ に写る。ところが $D$ の $3$ 単体で四つの面がすべて $\sigma$ のものはない。実際、全射 $s\colon[3]\to[k]$ の面が $\sigma$ になるのは $k=2$ のときだけであり、$[3]\to[2]$ の全射は一つの値だけを二度とるので、ほかの値をとる位置の成分を除いた面は全射でなくなり $\sigma$ でない。これは矛盾である。