Brauer群の双有理不変性

(a) 一意性。 使う事実 2 により $\mathrm{Br}'(X)\to\prod_x\mathrm{Br}(k(x))$ は単射であり、$\ell$ 準素成分に制限しても単射である。したがって、極大点での両立条件を満たす準同型は高々一つである。
(b) 定義域。 $X$ は正則なので、余次元 $1$ の点の局所環は離散付値環である。$Y$ は $S$ 上固有なので、使う事実 4 により $f$ はそのような点すべてで定義される。$f$ の定義域を $U$ とすると、$U$ は $X$ の稠密開集合で、$Z:=X\setminus U$ の各既約成分は余次元 $2$ 以上である。
(c) 引き戻し。 $f|_U:U\to Y$ から $\mathrm{Br}'(Y)(\ell)\to\mathrm{Br}'(U)(\ell)$ を得る。
(d) 純性による回復。 $Z$ の既約成分の余次元は一定とは限らないので、段階に分ける。$U_0:=X$ とし、$U_i$ が決まったら、$Z\cap U_i$ の既約成分のうち $U_i$ における余次元が最小のものの合併を $Z_i$ とし、$U_{i+1}:=U_i\setminus Z_i$ と置く。$Z_i$ は $U_i$ の中で純余次元 $d_i\geq2$ の閉部分である。$X$ はネーターなので $Z$ の既約成分は有限個であり、各段で最小余次元の成分がすべて除かれるので、有限回で $U_m=U$ に達する。
各段で $(U_i,Z_i)$ が $\ell$ に関して純性を満たすことを確かめる。$Z_i$ は一般には $X$ の閉部分ではないので、$X$ における閉包 $\overline{Z_i}$ をとる。$\overline{Z_i}$ の既約成分の生成点は $Z_i$ の既約成分の生成点と同じであり、点の余次元は局所環の次元で決まるので、$\overline{Z_i}$ は $X$ の中で純余次元 $d_i\geq2$ である。仮定により $\mathcal H^3_{\overline{Z_i}}(\mathbb G_m)(\ell)=0$ であり、これを開集合 $U_i$ に制限すると、使う事実 5 と $\overline{Z_i}\cap U_i=Z_i$ により $\mathcal H^3_{Z_i}(\mathbb G_m|_{U_i})(\ell)=0$ を得る。
$U_i$ は $X$ の開集合なのでネーター正則である。使う事実 1 により $\mathrm{Br}'(U_i)(\ell)\to\mathrm{Br}'(U_{i+1})(\ell)$ は同型であり、合成して $\mathrm{Br}'(X)(\ell)\xrightarrow{\cong}\mathrm{Br}'(U)(\ell)$ を得る。
(e) 存在。 (c) と (d) の逆写像を合成して $f^*:\mathrm{Br}'(Y)(\ell)\to\mathrm{Br}'(U)(\ell)\cong\mathrm{Br}'(X)(\ell)$ を定める。$X$ の極大点はすべて稠密開集合 $U$ に属するので、両立条件は $U$ の上での制限として読めば、$f|_U$ が射であることから成り立つ。
(f) 同型。 後半の仮定のもとでは、(a)〜(e) を $f$ と $f^{-1}$ の両方に当てられ、$f^*$ と $(f^{-1})^*$ が得られる。合成 $(f^*)\circ(f^{-1})^*$ は $\mathrm{Br}'(X)(\ell)$ の自己準同型で、極大点での両立条件を満たす。$f$ は双有理なので、$X$ の極大点と $Y$ の極大点は対応し、剰余体は同一視される。恒等写像も同じ条件を満たすので、(a) の一意性により合成は恒等写像である。逆向きの合成も同様である。よって $f^*$ は同型である。

$S:=Y$ と置き、$X$ を $f$ で、$Y$ を恒等射で $S$ 上のスキームとみる。$f$ は $S$-射である。主定理の仮定を確かめる。$Y$ は $Y$ 上固有であり、$X$ は $f$ が固有なので $Y$ 上固有である。$X,Y$ はネーター正則である。$X$ は標数 $0$ の excellent スキームなので、Brauer群の純性 の定理「余次元2以上での純性」により、純余次元 $2$ 以上の任意の閉部分について、すべての素数 $\ell$ に関して純性が成り立つ。$Y$ も同じである。$f$ は双有理である。
よって主定理により、各素数 $\ell$ について同型 $\mathrm{Br}'(Y)(\ell)\cong\mathrm{Br}'(X)(\ell)$ が得られる。$f^*$ は極大点での両立条件を満たすので、一意性によりこの同型は $f^*$ の $\ell$ 準素成分である。使う事実 3 により $\mathrm{Br}'(X)$ と $\mathrm{Br}'(Y)$ は捩れ群なので、素数ごとの準素成分の直和であり、$f^*$ は同型である。

前の系と同じく $S:=Y$ として主定理を使う。次元 $2$ 以下のネータースキームでは、純余次元 $2$ 以上の閉部分は、局所環の次元が $2$ の閉点の有限集合である。正則スキームの連結成分は既約なので、そのような点の近くで $X$ は $2$ 次元であり、Brauer群の純性 の定理「2次元正則スキームの閉点での純性」により、すべての素数について純性が成り立つ。$Y$ も同じである。主定理と捩れ性により、前の系と同様に $f^*:\mathrm{Br}'(Y)\cong\mathrm{Br}'(X)$ を得る。
最後に、正則ネーターで次元 $2$ 以下のスキームでは $\mathrm{Br}=\mathrm{Br}'$ である（Brauer群の純性 の引用 (A)。GrBrII 2.2 の引用）。標準写像 $\mathrm{Br}\to\mathrm{Br}'$ は引き戻しと両立するので、$\mathrm{Br}(Y)\to\mathrm{Br}(X)$ も全単射である。

$S:=\operatorname{Spec}k$ と置く。$X,Y$ は $k$ 上固有なので $k$ 上有限型であり、ネーターである。
(1) 次元 $2$ 以下なので、前の系の証明と同じく、純余次元 $2$ 以上の閉部分は $2$ 次元の成分の閉点の有限集合であり、Brauer群の純性 の閉点での純性により、すべての素数について純性が成り立つ。主定理と捩れ性により $\mathrm{Br}'(X)\cong\mathrm{Br}'(Y)$ を得る。$\mathrm{Br}=\mathrm{Br}'$ は前の系と同じ引用による。
(2) $X$ は $k$ 上滑らかで $\ell\neq\operatorname{char}k$ なので、Brauer群の純性 の定理「余次元2以上での純性」により、純余次元 $2$ 以上の閉部分について $\ell$ に関する純性が成り立つ。$Y$ も同じである。主定理により $\mathrm{Br}'(X)(\ell)\cong\mathrm{Br}'(Y)(\ell)$ である。

$\pi:X'=\mathrm{Bl}_YX\to X$ と置く。次の引用を使う（いずれも該当箇所は未確認）：正則な中心のブローアップでは $\pi_*\mathcal O_{X'}=\mathcal O_X$ であること、狭義局所な正則スキームを正則な中心（余次元 $c$）でブローアップすると、例外因子は中心上の $\mathbb P^{c-1}$ 束であり、Picard 群は $c\geq2$ なら例外因子の類で生成される $\mathbb Z$、$c=1$ なら $0$（ブローアップが同型）であること、固有底変換定理、射影空間の $H^2(\mathbb P^r,\mu_n)\cong\mathbb Z/n$、Kummer 完全列、生成点への単射性（使う事実 2）。
(a) $\pi_*\mathbb G_m=\mathbb G_m$ であり、$R^1\pi_*\mathbb G_m\cong\bigoplus_{i\in I}\iota_{i*}\mathbb Z$ である。ここで $Y_i$（$i\in I$）は $Y$ の既約成分（$Y$ は正則なので連結成分でもある）のうち余次元 $2$ 以上のもの、$\iota_i:Y_i\to X$ は閉埋め込みである。茎の計算を狭義局所化上のブローアップの Picard 群に帰着させればよい。
(b) Leray スペクトル系列の低次の完全列に (a) を代入する。$Y_i$ は連結な正則スキームなので $H^1(Y_i,\mathbb Z)=0$ であり、
$$ 0\to\operatorname{Pic}X\to\operatorname{Pic}X'\to\mathbb Z^I\to H^2(X,\mathbb G_m)\to H^2(X',\mathbb G_m)\to H^0(X,R^2\pi_*\mathbb G_m) $$
が完全になる。例外因子の各成分が $\mathbb Z^I$ の生成元に写るので $\operatorname{Pic}X'\to\mathbb Z^I$ は全射であり、
$$ 0\to\mathrm{Br}'(X)\to\mathrm{Br}'(X')\to H^0(X,R^2\pi_*\mathbb G_m) $$
が完全になる。
(c) $\ell$ 準素成分をとる操作は左完全なので、$R^2\pi_*\mathbb G_m$ の $\ell$ 準素成分が $0$ なら、Brauer群の純性 の準備の注意（$F(\ell)=0$ なら $H^0(-,F)(\ell)=0$）により $\mathrm{Br}'(X)(\ell)\cong\mathrm{Br}'(X')(\ell)$ となる。$R^2\pi_*\mathbb G_m$ の茎は狭義局所化の上のブローアップの $H^2(-,\mathbb G_m)$ なので、$X$ を狭義局所として $H^2(X',\mathbb G_m)(\ell)=0$ を示せばよい。
(d) 条件 2 のとき：ブローアップは中心の外で同型なので $X'\setminus\pi^{-1}(Y)\cong X\setminus Y$ であり、$X$ が狭義局所なので純性は $H^2(X\setminus Y,\mathbb G_m)(\ell)=0$ を意味する。生成点への単射性により $H^2(X',\mathbb G_m)\to H^2(X'\setminus\pi^{-1}(Y),\mathbb G_m)$ は単射なので、$H^2(X',\mathbb G_m)(\ell)=0$ である。
(e) 条件 1 のとき：Kummer 完全列により、$H^2(X',\mathbb G_m)(\ell)=0$ は各 $n$ について $\operatorname{Pic}X'\to H^2(X',\mu_{\ell^n})$ が全射であることと同値である。固有底変換により $H^2(X',\mu_{\ell^n})$ は閉ファイバー $\mathbb P^{c-1}$（剰余体は分離閉）の $H^2$ に等しく、それは $\mathbb Z/\ell^n$ で、$\mathcal O(1)$ の類が生成する。その類は例外因子 $-\pi^{-1}(Y)$ に付随する $X'$ 上の可逆層から来るので、写像は全射である。

Brauer群の純性 の反例と同じ二つの事実を使う。離散付値環 $A$（分数体 $K$、完全な剰余体 $\kappa$）について、剰余写像 $\partial:\mathrm{Br}(K)\to H^1(\kappa,\mathbb Q/\mathbb Z)$ があり、$\mathrm{Br}'(\operatorname{Spec}A)$ から来る類の剰余は $0$ である（引用。GrBrIII 命題 (2.1)。該当箇所は未確認）。また、$\operatorname{char}\kappa\neq2$、$\pi$ が素元、$u$ が単数なら、四元数代数 $(u,\pi)_2$ の剰余は $\kappa^\times/(\kappa^\times)^2$ における $\bar u$ の類である（古典的事実。本記事では出典を確認していない）。
$K=\mathbb C(x,y)$ とし、$A=\mathcal O_{\mathbb A^2,(x)}$ を因子 $x=0$ の生成点での局所環とする。$A$ は素元 $x$、剰余体 $\kappa=\mathbb C(y)$（標数 $0$ で完全）の離散付値環である。
$\mathbb G^2_{m,\mathbb C}$ 上では $2,x,y$ が単数なので、四元数代数 $(x,y)_2$ は Azumaya 代数であり、類 $\alpha\in\mathrm{Br}'(\mathbb G^2_{m,\mathbb C})$ を定める。$y$ は $A$ の単数なので、$K$ での像の剰余は $\partial(\alpha_K)=[y]\in\mathbb C(y)^\times/(\mathbb C(y)^\times)^2$ であり、$y$ は $\mathbb C(y)$ の平方でないので $0$ でない。
他方、$\beta\in\mathrm{Br}'(\mathbb A^2_{\mathbb C})$ の $K$ での像は、$\operatorname{Spec}K\to\operatorname{Spec}A\to\mathbb A^2_{\mathbb C}$ を経由するので、$\mathrm{Br}'(\operatorname{Spec}A)$ から来て、剰余は $0$ である。もし $\alpha=j^*\beta$ なら $\alpha_K=\beta_K$ の剰余は $0$ となり矛盾する。よって $\alpha$ は $j^*$ の像に入らない。