Dedekindゼータ関数
概要
Dedekindゼータ関数（Dedekind zeta function）とは、代数体 $K$ の整数環の $0$ でないイデアル $\mathfrak{a}$ にわたる和 $\zeta_K(s)=\sum_{\mathfrak{a}}N(\mathfrak{a})^{-s}$（$\operatorname{Re}s>1$）で定まる関数である。素イデアルにわたる Euler 積をもち、$K=\mathbb{Q}$ では Riemann ゼータ関数になる。$s=1$ に 1 位の極をもち、その留数は類数 $h_K$、単数規準 $R_K$、1 の冪根の個数 $w_K$、判別式 $d_K$ によって $2^{r_1}(2\pi)^{r_2}h_KR_K/(w_K\sqrt{\lvert d_K\rvert})$ と表される（解析的類数公式）。整イデアルが各類に同じ密度で分布することから従う。
前提知識: Riemannゼータ関数, イデアル類群, Dirichletの単数定理, 判別式(代数体)
Riemann ゼータ関数 $\zeta(s)=\sum_{m\ge1}m^{-s}$ は、正の整数、すなわち $\mathbb{Z}$ の $0$ でないイデアル $m\mathbb{Z}$ についての和である。代数体 $K$ の整数環 $\mathcal{O}_K$ では元の素因数分解は一意とは限らないが、イデアルの素イデアル分解は一意なので、$0$ でないイデアル $\mathfrak{a}$ についての和
$$
\zeta_K(s)=\sum_{\mathfrak{a}}\frac{1}{N(\mathfrak{a})^s}
$$
を考えると、素イデアルにわたる Euler 積が成り立つ。これが Dedekind ゼータ関数 である。
$\zeta_K$ は $s=1$ に 1 位の極をもち、その留数は
$$
\operatorname*{Res}_{s=1}\zeta_K(s)=\frac{2^{r_1}(2\pi)^{r_2}\,h_K\,R_K}{w_K\sqrt{\lvert d_K\rvert}}
$$
である（解析的類数公式）。左辺は素イデアルの分解の仕方から決まる解析的な量で、右辺には類数 $h_K$、単数規準 $R_K$、1 の冪根の個数 $w_K$、判別式 $d_K$ という代数的な不変量が並ぶ。この記事では、Dedekind ゼータ関数を定義し、Euler 積と $\operatorname{Re}s>1$ での収束を証明し、2 次体の場合の分解を述べる。留数の公式の証明（イデアル類ごとにノルムが $t$ 以下の整イデアルを格子点として数える議論）は 解析的類数公式 の記事で行う。
定義
以下 $K$ を次数 $n$ の 代数体、$\mathcal{O}_K$ を整数環、$(r_1,r_2)$ を符号数、$d_K$ を判別式（判別式(代数体)）、$h_K$ を類数（イデアル類群）、$R_K$ を単数規準（Dirichletの単数定理 の記事の定義「単数規準」）、$w_K$ を $K$ に含まれる 1 の冪根の個数とする。$\mathcal{O}_K$ の $0$ でないイデアルを 整イデアル といい、$N(\mathfrak{a})=\lvert\mathcal{O}_K/\mathfrak{a}\rvert$ をそのノルムとする（イデアル類群 の記事の定義「イデアルのノルム」）。複素数 $s$ の実部を $\sigma=\operatorname{Re}s$ と書く。
$\operatorname{Re}s>1$ で
$$
\zeta_K(s):=\sum_{\mathfrak{a}}N(\mathfrak{a})^{-s}=\sum_{k=1}^\infty\frac{a_k}{k^s},\qquad a_k:=\#\{\mathfrak{a}\mid N(\mathfrak{a})=k\}
$$
と定める。和は整イデアル全体をわたる。これを $K$ の Dedekind ゼータ関数 という。イデアル類 $\mathfrak{A}\in\operatorname{Cl}_K$ について、$\mathfrak{A}$ に属する整イデアルだけの和 $\zeta(\mathfrak{A},s):=\sum_{\mathfrak{a}\in\mathfrak{A}}N(\mathfrak{a})^{-s}$ を 部分ゼータ関数 といい、$\zeta_K=\sum_{\mathfrak{A}}\zeta(\mathfrak{A},\cdot)$ である。
ノルムが $k$ の整イデアルは有限個なので（イデアル類群 の記事の補題「ノルムが有界なイデアルは有限個」）、$a_k$ は有限である。$K=\mathbb{Q}$ では整イデアルは $m\mathbb{Z}$（$m\ge1$）で $N(m\mathbb{Z})=m$ なので、$\zeta_{\mathbb{Q}}$ は Riemannゼータ関数 $\zeta$ である。
直感
$\zeta_K(s)$ の $s=1$ での振る舞いは、ノルムが $t$ 以下の整イデアルの個数 $A(t)=\sum_{k\le t}a_k$ の増え方で決まる。$A(t)$ が $\kappa t$ 程度に増えるなら、$\zeta_K(s)$ は $\kappa\zeta(s)$ と同じように $\frac{\kappa}{s-1}$ の極をもつ。そこで $A(t)$ を数える。1 つのイデアル類の整イデアルは、ある整イデアル $\mathfrak{b}$ の元 $\alpha$ の生成する単項イデアルと対応し、単項イデアルは「元を単数倍の違いを除いて」数えたものである。Minkowski 埋め込みで $\mathfrak{b}$ を $\mathbb{R}^n$ の格子とみなすと、単数倍の違いを除くことは、単数の作用の基本領域となる錐 $X$ の中の格子点だけを数えることにあたる。ノルムが $t$ 以下の格子点の個数はおよそ（体積）÷（格子の体積）$\times t$ であり、体積には単数定理の格子の体積 $R_K$ が、格子の体積には $\sqrt{\lvert d_K\rvert}$ が現れる。これをすべての類について足すと $h_K$ が掛かる。この数え上げの詳細は 解析的類数公式 にある。
収束と Euler 積
$\zeta_K(s)$ を定める級数は $\operatorname{Re}s>1$ で絶対収束し、$\operatorname{Re}s\ge1+\delta$（$\delta>0$）で一様に収束する。$\zeta_K$ は $\operatorname{Re}s>1$ で正則であり、
$$
\zeta_K(s)=\prod_{\mathfrak{p}}\frac{1}{1-N(\mathfrak{p})^{-s}}\qquad(\operatorname{Re}s>1)
$$
が成り立つ。積は $0$ でない素イデアル全体をわたり、$\zeta_K(s)\ne0$ である。
実数 $\sigma>1$ と $X\ge2$ をとる。素数 $p$ の上にある素イデアル $\mathfrak{p}$（$p\in\mathfrak{p}$ となるもの）は高々 $n$ 個で、$N(\mathfrak{p})=p^{f}\ge p$ である（代数体における素イデアルの分解 の記事の定理「基本等式」と イデアル類群 の記事の命題「素イデアルのノルム」）。よって
$$
\prod_{N(\mathfrak{p})\le X}\frac{1}{1-N(\mathfrak{p})^{-\sigma}}\le\prod_{p\le X}\Bigl(\frac{1}{1-p^{-\sigma}}\Bigr)^n\le\zeta(\sigma)^n
$$
である（最後は Riemannゼータ関数 の記事の定理「Euler 積」）。左辺の各因子を等比級数 $\sum_{k\ge0}N(\mathfrak{p})^{-k\sigma}$ に展開して掛けると、素イデアル分解の一意性（イデアル類群 の記事の命題「整数環の分数イデアルは群をなす」）とノルムの乗法性（同記事の定理「イデアルのノルムの乗法性」）により、
$$
\prod_{N(\mathfrak{p})\le X}\frac{1}{1-N(\mathfrak{p})^{-\sigma}}=\sum_{\mathfrak{a}\in\mathcal{A}_X}N(\mathfrak{a})^{-\sigma}
$$
となる。ここで $\mathcal{A}_X$ は、ノルムが $X$ 以下の素イデアルだけを因子にもつ整イデアルの全体である（有限個の絶対収束級数の積は項の積の和に並べ替えられる）。$N(\mathfrak{a})\le X$ なら $\mathfrak{a}$ の素因子のノルムも $X$ 以下なので $\mathfrak{a}\in\mathcal{A}_X$ であり、
$$
\sum_{N(\mathfrak{a})\le X}N(\mathfrak{a})^{-\sigma}\le\zeta(\sigma)^n
$$
である。正項級数の部分和が有界なので $\sum_{\mathfrak{a}}N(\mathfrak{a})^{-\sigma}$ は収束する。$\lvert N(\mathfrak{a})^{-s}\rvert=N(\mathfrak{a})^{-\sigma}$ なので、$\operatorname{Re}s>1$ で絶対収束し、$\operatorname{Re}s\ge1+\delta$ では収束する級数 $\sum N(\mathfrak{a})^{-1-\delta}$ で項ごとに押さえられるので一様に収束する。各項 $N(\mathfrak{a})^{-s}$ は正則なので、Riemannゼータ関数 の記事の補題「正則関数の一様極限」により $\zeta_K$ は正則である。
複素数 $s$（$\operatorname{Re}s=\sigma>1$）について、上と同じ展開で
$$
\Bigl\lvert\zeta_K(s)-\prod_{N(\mathfrak{p})\le X}\frac{1}{1-N(\mathfrak{p})^{-s}}\Bigr\rvert=\Bigl\lvert\sum_{\mathfrak{a}\notin\mathcal{A}_X}N(\mathfrak{a})^{-s}\Bigr\rvert\le\sum_{N(\mathfrak{a})>X}N(\mathfrak{a})^{-\sigma}
$$
であり、右辺は収束級数の裾なので $X\to\infty$ で $0$ に近づく。よって Euler 積が成り立つ。同様に $\zeta_K(s)\prod_{N(\mathfrak{p})\le X}(1-N(\mathfrak{p})^{-s})=1+\sum'N(\mathfrak{a})^{-s}$（$\sum'$ は、ノルムが $X$ 以下の素因子をもたない $\mathfrak{a}\ne\mathcal{O}_K$ にわたる和で、$N(\mathfrak{a})>X$）の絶対値は $1-\sum_{N(\mathfrak{a})>X}N(\mathfrak{a})^{-\sigma}$ 以上であり、$X$ を大きくとれば正になる。左辺が $0$ でないので $\zeta_K(s)\ne0$ である。$\square$
2 次体のゼータ関数
$K$ を 2 次体とし、素数 $p$ について $\chi_K(p):=1,-1,0$ を、$p$ がそれぞれ完全分解・惰性・分岐するときの値と定める（代数体における素イデアルの分解 の記事の定義「分解の型」）。
2 次体 $K$ について、$\operatorname{Re}s>1$ で
$$
\zeta_K(s)=\zeta(s)\prod_p\frac{1}{1-\chi_K(p)p^{-s}}
$$
が成り立つ。右辺の積は $\operatorname{Re}s>1$ で絶対収束する。
thm-dz-euler の Euler 積を、素数 $p$ ごとに $p$ の上の素イデアルの因子にまとめる。基本等式 $\sum e_if_i=2$ により、完全分解なら $N(\mathfrak{p})=p$ の素イデアル 2 つで因子は $(1-p^{-s})^{-2}$、惰性なら $N(\mathfrak{p})=p^2$ の 1 つで $(1-p^{-2s})^{-1}=(1-p^{-s})^{-1}(1+p^{-s})^{-1}$、分岐なら $N(\mathfrak{p})=p$ の 1 つで $(1-p^{-s})^{-1}$ である。いずれも $(1-p^{-s})^{-1}(1-\chi_K(p)p^{-s})^{-1}$ に等しい。$\zeta$ の Euler 積で割れば主張を得る。$\prod_p(1-\chi_K(p)p^{-s})^{-1}$ の絶対収束は、thm-dz-euler の証明と同じく $\sum_p p^{-\sigma}<\infty$ から従う。$\square$
$K=\mathbb{Q}(i)$ では、$p=2$ は分岐し、奇素数 $p$ は $p\equiv1\pmod4$ なら完全分解、$p\equiv3\pmod4$ なら惰性する（代数体における素イデアルの分解 の記事の例「Gauss 整数 $\mathbb{Z}[i]$ における素数の分解」）。したがって $\chi_K(p)=\chi_4(p)$ である。ここで $\chi_4(m)$ は、$m$ が偶数なら $0$、$m\equiv1\pmod4$ なら $1$、$m\equiv3\pmod4$ なら $-1$ と定め、すべての正の整数 $m,m'$ で $\chi_4(mm')=\chi_4(m)\chi_4(m')$ を満たす。Riemannゼータ関数 の記事の定理「Euler 積」の証明と同じく、完全乗法的で $\lvert\chi_4\rvert\le1$ の係数の級数は Euler 積に分解するので、
$$
\zeta_{\mathbb{Q}(i)}(s)=\zeta(s)L(s,\chi_4),\qquad L(s,\chi_4):=\sum_{m\ge1}\frac{\chi_4(m)}{m^s}=1-\frac1{3^s}+\frac1{5^s}-\frac1{7^s}+\cdots
$$
である。
$s=1$ での極と留数
$\zeta_K$ は $\operatorname{Re}s>1-\frac1n$ の範囲の有理型関数に延び、そこでの極は $s=1$ の 1 位の極だけで、
$$
\operatorname*{Res}_{s=1}\zeta_K(s)=\lim_{s\to1}(s-1)\zeta_K(s)=\frac{2^{r_1}(2\pi)^{r_2}\,h_K\,R_K}{w_K\sqrt{\lvert d_K\rvert}}
$$
である。これが 解析的類数公式 であり、証明は同記事の定理「解析的類数公式」にある。
より詳しく、各イデアル類 $\mathfrak{A}$ について、ノルムが $t$ 以下の $\mathfrak{A}$ の整イデアルの個数は $\kappa_Kt+O(t^{1-\frac1n})$（$\kappa_K:=\frac{2^{r_1}(2\pi)^{r_2}R_K}{w_K\sqrt{\lvert d_K\rvert}}$）であり、部分ゼータ関数 $\zeta(\mathfrak{A},s)$ は $\operatorname{Re}s>1-\frac1n$ に延びて、$s=1$ に留数 $\kappa_K$ の 1 位の極だけをもつ。$\kappa_K$ は類 $\mathfrak{A}$ によらない。どの類にも「同じ密度」で整イデアルがあり、$\zeta_K$ の留数 $h_K\kappa_K$ はこれを $h_K$ 個の類について足したものである。$K=\mathbb{Q}$ では右辺は $1$ で、Riemannゼータ関数 の記事の定理「$\operatorname{Re}s>0$ への解析接続」にあたる。
例
判別式と類数は 代数体 の記事の例「小さい 2 次体」、単数規準と 1 の冪根は Dirichletの単数定理 の記事の例「実 2 次体の基本単数」「虚 2 次体の単数」による。
| $K$ | $(r_1,r_2)$ | $d_K$ | $h_K$ | $R_K$ | $w_K$ | $\operatorname{Res}_{s=1}\zeta_K$ |
|---|---|---|---|---|---|---|
| $\mathbb{Q}$ | $(1,0)$ | $1$ | $1$ | $1$ | $2$ | $1$ |
| $\mathbb{Q}(i)$ | $(0,1)$ | $-4$ | $1$ | $1$ | $4$ | $\frac{\pi}{4}=0.7853\cdots$ |
| $\mathbb{Q}(\sqrt2)$ | $(2,0)$ | $8$ | $1$ | $\log(1+\sqrt2)$ | $2$ | $\frac{\log(1+\sqrt2)}{\sqrt2}=0.6232\cdots$ |
| $\mathbb{Q}(\sqrt{-5})$ | $(0,1)$ | $-20$ | $2$ | $1$ | $2$ | $\frac{\pi}{\sqrt5}=1.4049\cdots$ |
$K=\mathbb{Q}(i)$ では、留数の公式の右辺は $\frac{2^0(2\pi)^1\cdot1\cdot1}{4\cdot\sqrt4}=\frac\pi4$ である。$\mathbb{Z}[i]$ の整イデアルは $(a+bi)$ で、単数 $\pm1,\pm i$ の 4 つずつの生成元をもつので、整イデアルの個数の漸近式は「$a^2+b^2\le t$ となる整数の組 $(a,b)\ne(0,0)$ はおよそ $\pi t$ 個」という円の中の格子点の個数の主張になる（解析的類数公式 の例「Gauss 数体と円の中の格子点」）。上の分解 $\zeta_{\mathbb{Q}(i)}(s)=\zeta(s)L(s,\chi_4)$ の両辺の $s=1$ での留数を比べると、$L(1,\chi_4)=1-\frac13+\frac15-\frac17+\cdots=\frac\pi4$（Leibniz の級数）が得られる（解析的類数公式 の系「Leibnizの級数」）。
$\mathbb{Q}(\sqrt2)$ では同じ議論で $1-\frac13-\frac15+\frac17+\frac19-\cdots=\frac{\log(1+\sqrt2)}{\sqrt2}$ が得られ、$\mathbb{Q}(\sqrt{-5})$ では 2 つのイデアル類がノルムの小さいところでは大きく違う個数の整イデアルをもちながら同じ密度に近づく。どちらも 解析的類数公式 の例「実 2 次体 $\mathbb{Q}(\sqrt2)$」「類数 $2$ の体 $\mathbb{Q}(\sqrt{-5})$」で計算する。
反例
| 外す条件 | 反例 | 成り立たなくなること |
|---|---|---|
| $\operatorname{Re}s>1$ | $s=1$ | 定義の級数の収束 |
| 整イデアルに限ること | $K=\mathbb{Q}$ の分数イデアル全体の和 | どの実数 $s$ でも収束すること |
| 類全体で和をとること | $\mathbb{Q}(\sqrt{-5})$ の部分ゼータ関数 $\zeta(\mathfrak{A}_0,s)$ | 係数の乗法性（Euler 積） |
各行は、表の条件だけを外すと結論が破れることを示す。
各行の確認を開く
1 行目：級数 $\sum_ka_kk^{-1}$ が収束したとすると、正項級数なので $1<\sigma$ について $\zeta_K(\sigma)\le\sum_ka_kk^{-1}$ で、$\zeta_K(\sigma)$ は $\sigma\to1+0$ で有界になる。これは 解析的類数公式 の定理「解析的類数公式」により $(\sigma-1)\zeta_K(\sigma)\to h_K\kappa_K>0$ であることに反する。
2 行目：$\mathbb{Q}$ の分数イデアルは $r\mathbb{Z}$（$r$ は正の有理数）で、ノルムを $r$ とすると、和 $\sum_rr^{-\sigma}$ は $[1,2]$ に入る無限個の $r=\frac{m+1}m$ の項だけで、各項が $\min\{1,2^{-\sigma}\}$ 以上なので（$\sigma\ge0$ なら $r\le2$ から $r^{-\sigma}\ge2^{-\sigma}$、$\sigma<0$ なら $r\ge1$ から $r^{-\sigma}\ge1$）発散する。
3 行目：$K=\mathbb{Q}(\sqrt{-5})$ の類群は位数 $2$ で、$\mathfrak{A}_0$ を単項イデアルの類とする。$\zeta(\mathfrak{A}_0,s)=\sum_kc_kk^{-s}$ とすると、単項イデアル $(x+y\sqrt{-5})$ のノルムは $x^2+5y^2$ で、これは $2$ も $3$ もとらないので $c_2=c_3=0$ であり、$1+\sqrt{-5}$ はノルム $6$ の単項イデアルを生成するので $c_6\ge1$ である。よって $c_6\ne c_2c_3$ で、係数は乗法的でない。素数 $p$ ごとの因子 $\sum_{i\ge0}c'_{p^i}p^{-is}$ の積に展開される Dirichlet 級数の係数は、素因数分解の一意性から乗法的（$k,k'$ が互いに素なら $c'_{kk'}=c'_kc'_{k'}$）になり、Dirichlet 級数の係数は和の関数から一意に決まる（$\sum_kd_kk^{-\sigma}=0$ が十分大きいすべての実数 $\sigma$ で成り立てば、最小の $k$ で $d_k\ne0$ となるものについて $k^\sigma$ を掛けて $\sigma\to\infty$ とすると矛盾する）ので、$\zeta(\mathfrak{A}_0,s)$ は Euler 積をもたない。全体の和 $\zeta_K$ の係数 $a_k$ は乗法的で、$a_2=1$、$a_3=2$、$a_6=2$ である。
補足
$\Gamma_{\mathbb{R}}(s):=\pi^{-s/2}\Gamma(s/2)$、$\Gamma_{\mathbb{C}}(s):=2(2\pi)^{-s}\Gamma(s)$（$\Gamma$ は ガンマ関数）とおき、
$$
\Lambda_K(s):=\lvert d_K\rvert^{s/2}\,\Gamma_{\mathbb{R}}(s)^{r_1}\,\Gamma_{\mathbb{C}}(s)^{r_2}\,\zeta_K(s)
$$
とすると、$\Lambda_K$ は $\mathbb{C}\setminus\{0,1\}$ 上の正則関数に延び、$s=0,1$ に 1 位の極をもち、関数等式 $\Lambda_K(s)=\Lambda_K(1-s)$ を満たす。とくに $\zeta_K$ は $\mathbb{C}\setminus\{1\}$ 上の正則関数に延びる。この記事では証明しない（Hecke による。Neu99 Chapter VII, Corollary (5.10), p. 466 と Corollary (5.11), p. 467。$\Gamma_{\mathbb{R}},\Gamma_{\mathbb{C}}$ は同 p. 456 の $L_{\mathbb{R}},L_{\mathbb{C}}$）。$K=\mathbb{Q}$ では Riemannゼータ関数 の記事の定理「全平面への解析接続と関数等式」である。
Tate は、$\zeta_K$ をイデール群 $J_K$ 上の積分 $\int_{J_K}f(a)\lvert a\rvert^s\,d^\times a$ として表し、アデール環上の Poisson 和公式（Riemann–Roch の定理と呼んだ）から関数等式を導いた（Tat67 Main Theorem 4.4.1, p. 339、§4.5, pp. 341–346）。同じ方法で $s=1$ での留数も イデールとイデール類群 の記事の $C_K^1$ に関わる体積として求まる（解析的類数公式 の注意「関数等式による証明と文献」）。
$K=\mathbb{Q}(\zeta_m)$ では、$\zeta_K(s)$ は法 $m$ の Dirichlet 指標 $\chi$ の $L$ 関数 $L(s,\chi)$ すべての積と、$m$ を割る素数についての有限個の因子の積に等しい。$\zeta_K$ も $\zeta$ も $s=1$ に 1 位の極をもつことから、自明でない $\chi$ について $L(1,\chi)\ne0$ が従い、これが Dirichlet の算術級数定理（$a$ と $m$ が互いに素なら $a\bmod m$ の素数は無限個）の鍵になる。この記事では証明しない（Neu99 Chapter VII, Proposition (5.12), p. 468 と Proposition (5.13) と (5.14), p. 469）。prop-dz-quadratic と 解析的類数公式 の例「実 2 次体 $\mathbb{Q}(\sqrt2)$」はその 2 次体版である。
$0$ でない素イデアルは $\operatorname{Spec}\mathcal{O}_K$ の閉点で、$N\mathfrak{p}$ はその剰余体の元の個数なので、$\zeta_K$ は $\operatorname{Spec}\mathcal{O}_K$ の Hasse–Weilゼータ関数 である。$\mathbb{Z}$ 上有限型のスキームのゼータ関数は、同じ形の Euler 積として定義される。
関連項目
- 前提: Riemannゼータ関数, イデアル類群, Dirichletの単数定理, 判別式(代数体)
- 直後に読む: 解析的類数公式
- 比較: 合同ゼータ関数, イデールとイデール類群
- 発展: 大域類体論, Tateの学位論文, Hasse–Weilゼータ関数, Galois表現のL関数
参考文献
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