Dedekindゼータ関数

実数 $\sigma>1$ と $X\ge2$ をとる。素数 $p$ の上にある素イデアル $\mathfrak{p}$（$p\in\mathfrak{p}$ となるもの）は高々 $n$ 個で、$N(\mathfrak{p})=p^{f}\ge p$ である（代数体における素イデアルの分解 の記事の定理「基本等式」と イデアル類群 の記事の命題「素イデアルのノルム」）。よって
$$ \prod_{N(\mathfrak{p})\le X}\frac{1}{1-N(\mathfrak{p})^{-\sigma}}\le\prod_{p\le X}\Bigl(\frac{1}{1-p^{-\sigma}}\Bigr)^n\le\zeta(\sigma)^n $$
である（最後は Riemannゼータ関数 の記事の定理「Euler 積」）。左辺の各因子を等比級数 $\sum_{k\ge0}N(\mathfrak{p})^{-k\sigma}$ に展開して掛けると、素イデアル分解の一意性（イデアル類群 の記事の命題「整数環の分数イデアルは群をなす」）とノルムの乗法性（同記事の定理「イデアルのノルムの乗法性」）により、
$$ \prod_{N(\mathfrak{p})\le X}\frac{1}{1-N(\mathfrak{p})^{-\sigma}}=\sum_{\mathfrak{a}\in\mathcal{A}_X}N(\mathfrak{a})^{-\sigma} $$
となる。ここで $\mathcal{A}_X$ は、ノルムが $X$ 以下の素イデアルだけを因子にもつ整イデアルの全体である（有限個の絶対収束級数の積は項の積の和に並べ替えられる）。$N(\mathfrak{a})\le X$ なら $\mathfrak{a}$ の素因子のノルムも $X$ 以下なので $\mathfrak{a}\in\mathcal{A}_X$ であり、
$$ \sum_{N(\mathfrak{a})\le X}N(\mathfrak{a})^{-\sigma}\le\zeta(\sigma)^n $$
である。正項級数の部分和が有界なので $\sum_{\mathfrak{a}}N(\mathfrak{a})^{-\sigma}$ は収束する。$\lvert N(\mathfrak{a})^{-s}\rvert=N(\mathfrak{a})^{-\sigma}$ なので、$\operatorname{Re}s>1$ で絶対収束し、$\operatorname{Re}s\ge1+\delta$ では収束する級数 $\sum N(\mathfrak{a})^{-1-\delta}$ で項ごとに押さえられるので一様に収束する。各項 $N(\mathfrak{a})^{-s}$ は正則なので、Riemannゼータ関数 の記事の補題「正則関数の一様極限」により $\zeta_K$ は正則である。
複素数 $s$（$\operatorname{Re}s=\sigma>1$）について、上と同じ展開で
$$ \Bigl\lvert\zeta_K(s)-\prod_{N(\mathfrak{p})\le X}\frac{1}{1-N(\mathfrak{p})^{-s}}\Bigr\rvert=\Bigl\lvert\sum_{\mathfrak{a}\notin\mathcal{A}_X}N(\mathfrak{a})^{-s}\Bigr\rvert\le\sum_{N(\mathfrak{a})>X}N(\mathfrak{a})^{-\sigma} $$
であり、右辺は収束級数の裾なので $X\to\infty$ で $0$ に近づく。よって Euler 積が成り立つ。同様に $\zeta_K(s)\prod_{N(\mathfrak{p})\le X}(1-N(\mathfrak{p})^{-s})=1+\sum'N(\mathfrak{a})^{-s}$（$\sum'$ は、ノルムが $X$ 以下の素因子をもたない $\mathfrak{a}\ne\mathcal{O}_K$ にわたる和で、$N(\mathfrak{a})>X$）の絶対値は $1-\sum_{N(\mathfrak{a})>X}N(\mathfrak{a})^{-\sigma}$ 以上であり、$X$ を大きくとれば正になる。左辺が $0$ でないので $\zeta_K(s)\ne0$ である。$\square$

thm-dz-euler の Euler 積を、素数 $p$ ごとに $p$ の上の素イデアルの因子にまとめる。基本等式 $\sum e_if_i=2$ により、完全分解なら $N(\mathfrak{p})=p$ の素イデアル 2 つで因子は $(1-p^{-s})^{-2}$、惰性なら $N(\mathfrak{p})=p^2$ の 1 つで $(1-p^{-2s})^{-1}=(1-p^{-s})^{-1}(1+p^{-s})^{-1}$、分岐なら $N(\mathfrak{p})=p$ の 1 つで $(1-p^{-s})^{-1}$ である。いずれも $(1-p^{-s})^{-1}(1-\chi_K(p)p^{-s})^{-1}$ に等しい。$\zeta$ の Euler 積で割れば主張を得る。$\prod_p(1-\chi_K(p)p^{-s})^{-1}$ の絶対収束は、thm-dz-euler の証明と同じく $\sum_p p^{-\sigma}<\infty$ から従う。$\square$

要点：$\Lambda$ の基本平行体 $\Pi$ の平行移動 $\lambda+\Pi$ で $\mathbb{R}^n$ を敷き詰めると、$tD$ の中の格子点の個数と体積 $\operatorname{vol}(tD)/\operatorname{vol}(\Pi)$ の差は、境界 $t\,\partial D$ と交わる平行移動の個数で押さえられる。境界は Lipschitz 写像の像なので、辺 $1/\lceil t\rceil$ の小立方体 $O(t^{n-1})$ 個の像で覆え、各像は直径が有界で一定個数の平行移動としか交わらない。

要点：$p(y)$ は正の実数倍で変わらず、単数 $u$ を掛けると $L(j(u))$ だけ平行移動する。$L(j(\mathcal{O}_K^\times))$ は $H$ の格子で $P_0$ はその基本平行体なので、移動先が $P_0$ に入る格子点はただ 1 つで、それに対応する単数は $\mu_K$ の剰余類をなす。

径数表示。実成分を $y_i=\pm\rho_i$、複素成分を $y_i=\rho_ie^{\sqrt{-1}\theta_i}$（$\rho_i>0$）と極座標で書く。$x_i:=e_i\log\rho_i$ とおくと $L(y)=x$ であり、$\log N(y)=x_1+\cdots+x_s$ である。$\mathbf{e}\notin H$ で $L(j(\varepsilon_j))$ は $H$ の基底なので、
$$ x=\frac{u}{n}\,\mathbf{e}+\sum_{j=1}^rc_j\,L(j(\varepsilon_j))\qquad(u,c_1,\dots,c_r\in\mathbb{R}) $$
は $\mathbb{R}^s$ の線形な座標変換で、$u=x_1+\cdots+x_s=\log N(y)$、$p(y)=\sum_jc_jL(j(\varepsilon_j))$ である。よって $y\in X_1$ は、$u\le0$、$0\le c_j<1$ と、符号・偏角が任意であることと同値である。$\tau:=e^{u/n}\in(0,1]$ とおけば
$$ \rho_i=\tau\exp\Bigl(\frac1{e_i}\sum_{j=1}^rc_jL_i(j(\varepsilon_j))\Bigr) $$
である（$L_i$ は $L$ の第 $i$ 成分）。$\tau\le1$、$0\le c_j<1$ なので $\rho_i\le\exp\bigl(\sum_j\lvert L_i(j(\varepsilon_j))\rvert\bigr)$ であり、$X_1$ は有界である。$X_1$ は連続関数で定まる条件の集合なので Borel 集合である。
体積。極座標で Lebesgue 測度は $\prod_{\text{実}}d\rho_i\prod_{\text{複素}}\rho_i\,d\rho_i\,d\theta_i$（実成分は符号ごと）であり、$x_i=e_i\log\rho_i$ と置換すると、実成分で $d\rho_i=e^{x_i}dx_i$、複素成分で $\rho_i\,d\rho_i=\frac12e^{x_i}dx_i$ である。符号 $2^{r_1}$ 通りと偏角の積分 $(2\pi)^{r_2}$ から
$$ \operatorname{vol}(X_1)=2^{r_1}(2\pi)^{r_2}2^{-r_2}\int_{T}e^{x_1+\cdots+x_s}\,dx,\qquad T:=\{x\mid u\le0,\ 0\le c_j<1\} $$
である。座標変換 $(u,c)\mapsto x$ の行列式の絶対値は、列 $\frac1n\mathbf{e},L(j(\varepsilon_1)),\dots,L(j(\varepsilon_r))$ の行列式の絶対値である。すべての行を最後の行に足すと、最後の行は $(1,0,\dots,0)$ になる（$\mathbf{e}$ の成分の和は $n$、$L(j(\varepsilon_j))$ の成分の和は $0$）。その行で展開すると、残るのは $r\times s$ 行列 $\bigl(L_i(j(\varepsilon_j))\bigr)_{j,i}$ から最後の列（最後の無限素点）を除いた $r$ 次の行列式（の転置）で、その絶対値は $R_K$ である（Dirichletの単数定理 の記事の定義「単数規準」。$L_i(j(\varepsilon_j))$ はそこでの $e_i\log\lvert\rho_i(\varepsilon_j)\rvert$ である）。よって
$$ \int_Te^{x_1+\cdots+x_s}\,dx=R_K\int_{-\infty}^0e^u\,du\cdot\prod_{j=1}^r\int_0^1dc_j=R_K,\qquad\operatorname{vol}(X_1)=2^{r_1}\pi^{r_2}R_K $$
である。
境界。符号の組 $\epsilon\in\{\pm1\}^{r_1}$ ごとに、上の式で $y$ を $(\tau,c,\theta)\in[0,1]\times[0,1]^r\times[0,2\pi]^{r_2}$ の関数として書いた写像を $\Phi_\epsilon$ とする。$1+r+r_2=r_1+2r_2=n$ なので、定義域は $n$ 次元の閉直方体 $Q_n$ で、$\partial X_1$ は $\Phi_\epsilon$ による $Q_n$ の面の像で覆われる。

$\mathfrak{A}^{-1}$ に属する整イデアル $\mathfrak{b}$ を 1 つとる（どの類も整イデアルを含む。イデアル類群 の記事の定義「イデアル類群と類数」の後の段落）。$\mathfrak{a}\in\mathfrak{A}$ なら $\mathfrak{a}\mathfrak{b}$ は単項で $\mathfrak{a}\mathfrak{b}=\alpha\mathcal{O}_K$ と書け、$\mathfrak{a}$ が整イデアルであることは $\alpha\mathfrak{b}^{-1}\subset\mathcal{O}_K$、すなわち $\alpha\in\mathfrak{b}$ と同値である。逆に $0$ でない $\alpha\in\mathfrak{b}$ について $\alpha\mathfrak{b}^{-1}$ は $\mathfrak{A}$ の整イデアルである。$\alpha\mathcal{O}_K=\alpha'\mathcal{O}_K$ は $\alpha'/\alpha$ が単数であることと同値なので、
$$ \{\mathfrak{a}\in\mathfrak{A}\text{ 整イデアル}\}\longleftrightarrow(\mathfrak{b}\setminus\{0\})/\mathcal{O}_K^\times,\qquad\mathfrak{a}=\alpha\mathfrak{b}^{-1} $$
という全単射があり、$N(\mathfrak{a})=\lvert N_{K/\mathbb{Q}}(\alpha)\rvert/N(\mathfrak{b})$ である（$\mathfrak{a},\mathfrak{b}$ は整イデアルなので、イデアル類群 の記事の定理「イデアルのノルムの乗法性」と命題「単項イデアルのノルム」から $N(\mathfrak{a})N(\mathfrak{b})=N(\alpha\mathcal{O}_K)=\lvert N_{K/\mathbb{Q}}(\alpha)\rvert$）。lem-dz-cone の 2 により、各単数倍の類 $\alpha\mathcal{O}_K^\times$ のうち $j(\alpha u)\in X$ となる元はちょうど $w_K$ 個ある。$0\notin X$ で、$X$ は錐なので、$T:=(tN(\mathfrak{b}))^{1/n}$ とおくと、$y\in X$ かつ $N(y)\le T^n$ は $y\in TX_1$ と同値である。よって
$$ Z_{\mathfrak{A}}(t)=\frac1{w_K}\#\bigl\{\alpha\in\mathfrak{b}\setminus\{0\}\bigm|j(\alpha)\in X,\ N(j(\alpha))\le tN(\mathfrak{b})\bigr\}=\frac1{w_K}\#\bigl(j(\mathfrak{b})\cap TX_1\bigr) $$
である。$j(\mathfrak{b})$ は基本領域の体積 $2^{-r_2}\sqrt{\lvert d_K\rvert}\,N(\mathfrak{b})$ の格子である（判別式(代数体) の記事の系「イデアルの格子の体積」）。lem-dz-lattice と lem-dz-volume により
$$ Z_{\mathfrak{A}}(t)=\frac1{w_K}\cdot\frac{2^{r_1}\pi^{r_2}R_K\cdot tN(\mathfrak{b})}{2^{-r_2}\sqrt{\lvert d_K\rvert}\,N(\mathfrak{b})}+O(T^{n-1})=\kappa_Kt+O\bigl(t^{1-\frac1n}\bigr) $$
である。$\square$

要点：Abel の級数変形で部分和を $B(y)y^{-s}+s\int_1^yB(u)u^{-s-1}du$ に書き直すと、$\lvert B(u)u^{-s-1}\rvert\le Cu^{\theta-\sigma-1}$ から積分が $\operatorname{Re}s>\theta$ で広義一様に収束する。

$Z_{\mathfrak{A}}$ の漸近式は prop-dz-counting である。類 $\mathfrak{A}$ の整イデアルでノルムが $k$ のものの個数を $a_k(\mathfrak{A})$ とし、$b_k:=a_k(\mathfrak{A})-\kappa_K$ とおく。$\sum_{k\le t}b_k=Z_{\mathfrak{A}}(t)-\kappa_K\lfloor t\rfloor=O(t^{1-\frac1n})$ なので（$\lfloor t\rfloor=t+O(1)$）、lem-dz-dirichlet-series により $\sum_kb_kk^{-s}$ は $\operatorname{Re}s>1-\frac1n$ で正則な関数 $G_{\mathfrak{A}}(s)$ に収束する。$\operatorname{Re}s>1$ ではどちらの級数も絶対収束するので
$$ \zeta(\mathfrak{A},s)=\kappa_K\,\zeta(s)+G_{\mathfrak{A}}(s) $$
である。Riemannゼータ関数 の記事の定理「$\operatorname{Re}s>0$ への解析接続」により $\zeta(s)-\frac1{s-1}$ は $\operatorname{Re}s>0$ で正則なので、右辺は $\operatorname{Re}s>1-\frac1n$ で $\frac{\kappa_K}{s-1}$ に正則関数を足したものであり、$\zeta(\mathfrak{A},s)$ はそこへ延び、$s=1$ に留数 $\kappa_K$ の 1 位の極だけをもつ。$\zeta_K=\sum_{\mathfrak{A}}\zeta(\mathfrak{A},\cdot)$ は $h_K$ 個の類の和なので、留数は $h_K\kappa_K$ である。$\square$

$\chi_4$ の部分和は $0$ か $1$ なので、lem-dz-dirichlet-series（$\theta=0$）により $L(s,\chi_4)$ は $\operatorname{Re}s>0$ で収束して正則であり、$s=1$ での値は左辺の級数の和である。$\operatorname{Re}s>1$ で $\zeta_{\mathbb{Q}(i)}(s)=\zeta(s)L(s,\chi_4)$ であり、両辺は $\operatorname{Re}s>\frac12$ の $\{s\ne1\}$ で正則なので（thm-dz-class-number-formula、$n=2$）、一致の定理によりそこで等しい。$(s-1)\zeta(s)\to1$ なので、$s\to1$ で
$$ L(1,\chi_4)=\lim_{s\to1}(s-1)\zeta(s)L(s,\chi_4)=\lim_{s\to1}(s-1)\zeta_{\mathbb{Q}(i)}(s)=\frac\pi4 $$
である。$\square$