Rodriguesの回転公式

段 1（ベクトルの形）．$x=an+w$、$a=n\cdot x$、$w=x-(n\cdot x)n$ とする。$n\times n=0$ なので $n\times w=n\times x$ である。定義に代入すると
$$ R_n(\theta)x=(n\cdot x)n+\cos\theta\bigl(x-(n\cdot x)n\bigr)+\sin\theta\,(n\times x)=\cos\theta\,x+\sin\theta\,(n\times x)+(1-\cos\theta)(n\cdot x)n $$
であり、1 が成り立つ。
段 2（行列の形）．$Kx=n\times x$ であり、二重ベクトル積の公式から $K^2x=n\times(n\times x)=(n\cdot x)n-x$、すなわち $K^2=nn^{\top}-I$ である。1 の右辺は $\bigl(\cos\theta\,I+\sin\theta\,K+(1-\cos\theta)nn^{\top}\bigr)x$ であり、$nn^{\top}=I+K^2$ を代入すると $I+\sin\theta\,K+(1-\cos\theta)K^2$ になる。
段 3（$\mathrm{SO}(3)$ に属すること）．定義の後の段落の正規直交基底 $(u,u',n)$ をとる。$u'=n\times u$ は単位ベクトルで $u$・$n$ と直交する。$P:=(u\ u'\ n)$（この順に列を並べた行列）は直交行列で、
$$ \det P=(u\times u')\cdot n=\bigl(u\times(n\times u)\bigr)\cdot n=\bigl((u\cdot u)n-(u\cdot n)u\bigr)\cdot n=1 $$
である（ベクトル積 の命題「ベクトル積の基本性質」の 3 と二重ベクトル積の公式）。定義の後の段落の計算から、$R_n(\theta)P=P\,Q(\theta)$、
$$ Q(\theta):=\begin{pmatrix}\cos\theta&-\sin\theta&0\\ \sin\theta&\cos\theta&0\\ 0&0&1\end{pmatrix} $$
である。よって $R_n(\theta)=PQ(\theta)P^{\top}$ で、$Q(\theta)$・$P$・$P^{\top}$ は直交行列なので $R_n(\theta)$ も直交行列であり、$\det R_n(\theta)=\det Q(\theta)=\cos^2\theta+\sin^2\theta=1$ である。
段 4（合成と逆）．加法定理から $Q(\theta)Q(\varphi)=Q(\theta+\varphi)$ なので、$R_n(\theta)R_n(\varphi)=PQ(\theta)Q(\varphi)P^{\top}=R_n(\theta+\varphi)$ である。$\varphi=-\theta$ とすると $R_n(-\theta)=R_n(\theta)^{-1}$ で、直交行列なので逆行列は転置に等しい。1 の式で $n$ を $-n$ に替えると $\sin\theta$ の項だけ符号が変わり（$(-n\cdot x)(-n)=(n\cdot x)n$）、これは $\theta$ を $-\theta$ に替えた式と同じである。周期 $2\pi$ は 1 の式から明らかである。$\square$

thm-rod-main の証明の段 2 のとおり $K^2=nn^{\top}-I$ であり、$Kn=n\times n=0$ から $K^3=K(nn^{\top}-I)=-K$ である。帰納法で $K^{2j+1}=(-1)^jK$（$j\ge0$）、$K^{2j}=(-1)^{j-1}K^2$（$j\ge1$）となる。指数関数の級数は各成分が絶対収束するので（行列の指数関数）、奇数次と偶数次に分けて
$$ e^{\theta K}=I+\Bigl(\sum_{j\ge0}\frac{(-1)^j\theta^{2j+1}}{(2j+1)!}\Bigr)K+\Bigl(\sum_{j\ge1}\frac{(-1)^{j-1}\theta^{2j}}{(2j)!}\Bigr)K^2=I+\sin\theta\,K+(1-\cos\theta)K^2 $$
であり、thm-rod-main の 2 により $R_n(\theta)$ に等しい。微分は 2 の式を項ごとに微分して $\cos\theta\,K+\sin\theta\,K^2$ となり、$K^3=-K$ を使うとこれは $K\bigl(I+\sin\theta\,K+(1-\cos\theta)K^2\bigr)=K+\sin\theta K^2-(1-\cos\theta)K$ に等しい。$\theta=0$ では $K$ である。$\square$

段 1（固定ベクトルがある）．$R^{\top}R=I$、$\det R=1$ から
$$ \det(R-I)=\det\bigl(R(I-R^{\top})\bigr)=\det(I-R^{\top})=\det(I-R)=(-1)^3\det(R-I) $$
なので $\det(R-I)=0$ である。よって $Rn=n$ となる単位ベクトル $n$ がある。
段 2（直交平面への制限）．$R$ は内積を保つので、$w\in n^\perp$ なら $n\cdot Rw=Rn\cdot Rw=n\cdot w=0$ で、$R$ は $n^\perp$ をそれ自身に写す。$n^\perp$ の単位ベクトル $u$ をとり、$u':=n\times u$、$P:=(u\ u'\ n)$ とする（thm-rod-main の証明の段 3 と同じく $P\in\mathrm{SO}(3)$）。$P^{\top}RP$ は第 3 列が $e_3$ の直交行列で、第 3 行も（直交行列の行は正規直交なので）$e_3^{\top}$ である。よって $P^{\top}RP=\operatorname{diag}(A,1)$、$A\in\mathrm{O}(2)$ で、$\det A=\det R=1$ である。2 次の直交行列の分類（回転行列 の定理「2 次の直交行列の分類」）により、$A=\begin{pmatrix}\cos\theta&-\sin\theta\\ \sin\theta&\cos\theta\end{pmatrix}$ となる $\theta$ がある。$R$ と $R_n(\theta)$ は基底 $u,u',n$ の上で一致するので $R=R_n(\theta)$ である。$\theta$ を $2\pi$ の整数倍だけずらして $\theta\in(-\pi,\pi]$ とし、$\theta< 0$ なら $R_n(\theta)=R_{-n}(-\theta)$（thm-rod-main の 4）で $n$ を $-n$ に替えれば、$\theta\in[0,\pi]$ にできる。
段 3（跡と交代部分）．$\operatorname{tr}I=3$、$\operatorname{tr}K=0$、$\operatorname{tr}K^2=\operatorname{tr}(nn^{\top})-3=|n|^2-3=-2$ なので、thm-rod-main の 2 から $\operatorname{tr}R=3-2(1-\cos\theta)=1+2\cos\theta$ である。$K^{\top}=-K$、$(K^2)^{\top}=K^2$ から $R^{\top}=I-\sin\theta\,K+(1-\cos\theta)K^2$ で、$R-R^{\top}=2\sin\theta\,K$ である。
段 4（一意性）．$\theta\in[0,\pi]$ では $\cos$ は単射なので、$\theta$ は $\operatorname{tr}R$ から決まる。$\operatorname{tr}R=3$ なら $\theta=0$ で $R=I$ である。$\theta\in(0,\pi)$ なら $\sin\theta>0$ で、段 3 の式から $[n]_\times$、したがって $n$ が決まる（$a\mapsto[a]_\times$ は単射）。$\theta=\pi$ なら thm-rod-main の 2 から $R=-I+2nn^{\top}$ で、$R+I=2nn^{\top}$ の 0 でない列は $n$ の定数倍なので、$n$ は符号を除いて決まる。$R_n(\pi)=R_{-n}(\pi)$ なので符号は決まらない。$\square$

$y\in\mathbb{R}^3$ とし $x:=g^{-1}y$ とおく。thm-rod-main の 1 により
$$ gR_n(\theta)g^{-1}y=\cos\theta\,gx+\sin\theta\,g(n\times x)+(1-\cos\theta)(n\cdot x)\,gn $$
である。$gx=y$、$n\cdot x=gn\cdot gx=gn\cdot y$（$g$ は内積を保つ）、$g(n\times x)=(\det g)\,(gn\times gx)=(\det g)\,(gn\times y)$（ベクトル積 の定理「直交変換とベクトル積」。$\det g=\pm1$）なので、右辺は $\cos\theta\,y+(\det g)\sin\theta\,(gn\times y)+(1-\cos\theta)(gn\cdot y)\,gn$ である。$gn$ は単位ベクトルで、$\det g=\pm1$ から $\cos((\det g)\theta)=\cos\theta$、$\sin((\det g)\theta)=(\det g)\sin\theta$ なので、これは $R_{gn}((\det g)\theta)y$ である。$\square$