球面に自由に作用する有限群

被覆空間作用 の命題「有限性による判定」により作用は被覆空間作用であり、同じ記事の定理「商写像は被覆写像」により $q$ は被覆写像である。同じ記事の命題「有限群の商は Hausdorff」により $S^n/G$ は Hausdorff で、コンパクト空間の連続像なのでコンパクトである。被覆写像は局所同相写像なので、$S^n/G$ は $n$ 次元位相多様体である。$n\ge1$ では $S^n$ が連結なので像も連結である。2 は、$n\ge2$ で $S^n$ が単連結なので、同じ記事の定理「商空間の基本群」の 3 による。$\square$

1：$c_T$ を商写像 $S^n\to M_T$ と合成した $x\mapsto(\mathbb{R}(x-Tx),\frac12(x+Tx))$ は連続なので、商位相により $c_T$ は連続である。$w:=\frac12(x+Tx)$、$d:=\frac12(x-Tx)$ とおくと $x=w+d$、$Tx=w-d$、$w\perp d$、$\|w\|^2+\|d\|^2=\frac12(\|x\|^2+\|Tx\|^2)=1$ である。$v$ を $L=\mathbb{R}(x-Tx)$ の単位ベクトルとすると $d=\pm\sqrt{1-\|w\|^2}\,v$ なので、$\{x,Tx\}=\{w+\sqrt{1-\|w\|^2}\,v,\ w-\sqrt{1-\|w\|^2}\,v\}$ は $(L,w)$ だけで決まり（$v$ の符号を変えても組は同じ）、$c_T$ は単射である。$M_T$ はコンパクトなので $C_T$ もコンパクトである。

2：$c_T(\{x,Tx\})=c_S(\{y,Sy\})$ なら、1 の復元により $\{x,Tx\}=\{y,Sy\}$ である。$y=x$ なら $Tx=Sx$ である。$y=Tx$ なら $Sy=x$、すなわち $S(Tx)=x$ で、両辺に $S$ を施すと $Tx=Sx$ である。逆に $Tx=Sx$ なら $c_T(\{x,Tx\})=c_S(\{x,Sx\})$ である。

3：$h_T(x):=(x-Tx)/\|x-Tx\|$ とおくと $h_T\colon S^n\to S^n$ は連続で $h_T(Tx)=-h_T(x)$ を満たし、$\pi\circ c_T=\bar h_T$ は $h_T$ が誘導する写像 $M_T\to\mathbb{RP}^n$ である。$H(x,t):=(x-tTx)/\|x-tTx\|$（$0\le t\le1$）の分母は $0$ にならない（$x=tTx$ なら長さを比べて $t=1$、$x=Tx$ となり矛盾）ので、$h_T$ は恒等写像とホモトピックであり、$(h_T)_*[S^n]=[S^n]$ である。2 重被覆 $p_T\colon S^n\to M_T$、$p_0\colon S^n\to\mathbb{RP}^n$ の移送 $\tau$ を考える。移送準同型(被覆空間) の命題「移送完全列」により $H_{n+1}(M_T)\to H_n(M_T)\xrightarrow{\tau}H_n(S^n)$ は完全で、$H_{n+1}(M_T)=0$（Poincaré双対 の定理「基本類の存在と一意性」の 3）なので $\tau$ は単射である。両辺とも $\mathbb{F}_2$ なので $\tau[M_T]=[S^n]$ であり、同様に $\tau[\mathbb{RP}^n]=[S^n]$ である。$h_T$ は各ファイバー $\{x,Tx\}$ を $\{h_T(x),-h_T(x)\}$ へ全単射に写すので、同じ命題の自然性により $\tau\circ(\bar h_T)_*=(h_T)_*\circ\tau$ である。よって $\tau(\bar h_T)_*[M_T]=(h_T)_*[S^n]=[S^n]\ne0$ となり、$(\bar h_T)_*[M_T]=[\mathbb{RP}^n]$ である。$\pi_*$ は同型で $\pi_*(c_T)_*[M_T]=[\mathbb{RP}^n]=\pi_*z$ なので、$(c_T)_*[M_T]=z$ である。$\square$

$\langle u|_E,(s_0)_*[\mathbb{RP}^n]\rangle=\langle s_0^*(u|_E),[\mathbb{RP}^n]\rangle$ であり、Stiefel–Whitney類 の系「Euler 類の mod 2 還元」により $s_0^*(u|_E)=w_n(\gamma_n^\perp)$ である。$\gamma_n\oplus\gamma_n^\perp$ は自明な束 $\mathbb{RP}^n\times\mathbb{R}^{n+1}$ なので、Whitney の和公式と同じ記事の補題「トートロジー直線束」$w(\gamma_n)=1+a$ から $(1+a)\,w(\gamma_n^\perp)=1$、すなわち $w(\gamma_n^\perp)=1+a+\dots+a^n$ で、$w_n(\gamma_n^\perp)=a^n$ である。Poincaré双対 の命題「実射影空間の 2 を法とするコホモロジー環」により $\langle a^n,[\mathbb{RP}^n]\rangle=1$ である。よって $j(u_c)\ne0$、したがって $u_c\ne0$ で、$D_E$ は同型なので $D_E(u_c)\ne0$ である。$H_n(E)=\{0,z\}$ なので $D_E(u_c)=z$ である。$\square$

Hat02 §3.3（Lemma 3.27, p. 236 と双対写像の定義, p. 245）により、$H_m(M,M\setminus K)$ には各点 $x\in K$ で $H_m(M,M\setminus x)\cong\mathbb{F}_2$ の生成元に制限されるただ一つの類 $\mu^M_K$ があり、$D_M([\alpha'])=\mu^M_K\frown\alpha'$ である。$U$ についても同様に $\mu^U_K$ があり $D_U([\alpha])=\mu^U_K\frown\alpha$ である。$i_*\mu^U_K$ は各点 $x\in K$ で、切除の同型 $H_m(U,U\setminus x)\cong H_m(M,M\setminus x)$ により生成元に制限されるので、一意性から $i_*\mu^U_K=\mu^M_K$ である。キャップ積の自然性 $i_*(\mu^U_K\frown i^*\alpha')=i_*\mu^U_K\frown\alpha'$ により $i_*D_U([i^*\alpha'])=\mu^M_K\frown\alpha'=D_M([\alpha'])$ である。これは Hat02 Lemma 3.36（p. 246）の証明で余鎖の段階で確かめられる正方形の可換性と同じものである。$\square$

1：$\mathbb{Z}/p\times\mathbb{Z}/p$ は可換で巡回群でないので、(A) ならそれを含まない。逆に、可換な部分群 $A$ が $\mathbb{Z}/p\times\mathbb{Z}/p$ を含まなければ、$\mathbb{F}_p$ 上のベクトル空間 $A[p]$ は $2$ 次元以上の部分空間をもたないので $\lvert A[p]\rvert\le p$ であり、これがすべての $p$ で成り立つので 有限アーベル群の基本定理 の命題「巡回群であることの判定」により $A$ は巡回群である。

位数 $p^2$ の群 $H$ は可換である：共役による作用に p群 の補題「固定点の個数の合同式」を当てると、中心 $Z(H)$ の位数は $\lvert H\rvert\equiv0$ と $p$ を法として合同で、$Z(H)\ne1$ である。$\lvert Z(H)\rvert=p$ なら $H/Z(H)$ は位数 $p$ で巡回群なので、$hZ(H)$ を生成元として任意の元は $h^iz$（$z\in Z(H)$）と書け、それらは互いに可換である。

2：(A)・(B) ⇒ (P)・(Q)。位数 $p^2$ の部分群は可換なので (A) により巡回群である。$p=2$ の (Q) はこれに含まれる。$p$ を奇素数、$H$ を位数 $2p$ の部分群とする。Sylowの定理 の系「素数位数の元の存在」により位数 $p$ の元 $a$ と位数 $2$ の元 $s$ があり、$\langle a\rangle$ は指数 $2$ なので正規部分群で、$s\notin\langle a\rangle$ である。$sas^{-1}=a^r$ とおくと $s^2=1$ から $a^{r^2}=a$、すなわち $r^2\equiv1\pmod p$ で、$\mathbb{F}_p$ は体なので $r\equiv\pm1$ である。$r\equiv-1$ なら $(a^is)^2=a^ia^{-i}=1$ で、$a^is$（$0\le i< p$）は位数 $2$ の相異なる $p\ge3$ 個の元となり (B) に反する。よって $r\equiv1$ で、$a$ と $s$ は可換、$as$ の位数は $2p$ であり、$H=\langle as\rangle$ は巡回群である。

(P)・(Q) ⇒ (A)・(B)。$\mathbb{Z}/p\times\mathbb{Z}/p$ は巡回群でない位数 $p^2$ の群なので、(P) と 1 から (A) が従う。相異なる位数 $2$ の元 $s,t$ があったとし、$r:=st$ の位数を $m$ とする。二面体群 の定理「二つの対合で生成される有限群」により $m\ge2$ で、$\langle s,t\rangle$ は位数 $2m$ の二面体群で、$r$ が回転、$s$ が鏡映に当たる。$m$ が偶数なら $u:=r^{m/2}$ は $sus^{-1}=u^{-1}=u$ を満たす位数 $2$ の回転で、$\{1,u,s,us\}$ は巡回群でない位数 $4$ の部分群となり、$p=2$ の (P) に反する。$m$ が奇数なら $m$ の素因数 $p$（奇素数）をとり $u:=r^{m/p}$ とおくと、$\langle u,s\rangle=\langle u\rangle\cup\langle u\rangle s$ は位数 $2p$ で、$sus^{-1}=u^{-1}\ne u$ なので可換でなく、(Q) に反する。$\square$

(a)：$A$ を可換な部分群とする。$\mathbb{C}^N$ への $A$ の表現は 1 次元の表現の直和に分かれる（群の表現 の定理「有限群の実・複素表現の完全可約性」と系「可換群の既約表現は 1 次元」）。その一つを $\mathbb{C}v$ とし、$\rho(a)v=\psi(a)v$ と書くと $\psi\colon A\to\mathbb{C}^\times$ は準同型で、ffs-thm-linear の 2 により $a\ne1$ なら $\psi(a)\ne1$ である。よって $A$ は $\mathbb{C}^\times$ の有限部分群と同型で、それは $1$ の $\lvert A\rvert$ 乗根の巡回群の部分群なので巡回群である（巡回群 の命題「巡回群の部分群は巡回群」）。

(b)：$t$ が位数 $2$ なら、直交行列 $\rho(t)$ は $\rho(t)^2=I$ から対称行列であり、固有値 $\pm1$ で対角化できる。ffs-thm-linear の 2 により固有値は $-1$ だけなので $\rho(t)=-I$ である。作用は自由なので $\rho$ は単射であり、位数 $2$ の元は $t$ だけである。

(c)：$Q\in\mathrm{O}(N)$ について $\det(I-Q)=\det(-Q)\det(I-Q^{-1})=(-1)^N\det Q\,\det(I-Q)$ である（$I-Q^{-1}=(I-Q)^{\mathsf T}$）。$g\ne1$ なら $\rho(g)$ は固有値 $1$ をもたず $\det(I-\rho(g))\ne0$ なので、$\det\rho(g)=(-1)^N$ である。$N$ が奇数のとき、相異なる $g,h\ne1$ があれば $gh^{-1}\ne1$ なのに $\det\rho(gh^{-1})=(-1)(-1)^{-1}=1$ となり矛盾する。よって単位元以外の元は高々一つである。$\square$

$\rho$ の内積を $\mathbb{C}^N$ の不変な Hermite 内積に延ばす。$P_a:=\frac1m\sum_{j=0}^{m-1}\zeta^{-aj}\rho(t)^j$（$a\in\mathbb{Z}/m$）とおくと、$\sum_{j=0}^{m-1}\zeta^{bj}$ が $b\equiv0$ なら $m$、そうでなければ $0$ であることから、$\rho(t)P_a=\zeta^aP_a$、$\sum_aP_a=I$、$P_aP_b=\delta_{ab}P_a$ である。よって $\mathbb{C}^N=\bigoplus_aE_a$（$E_a:=\operatorname{Im}P_a=\ker(\rho(t)-\zeta^a)$）で、$a\ne b$ なら $\langle v,w\rangle=\langle\rho(t)v,\rho(t)w\rangle=\zeta^{a-b}\langle v,w\rangle$ から $E_a\perp E_b$ である。ffs-thm-linear の 2 により、自由であることと、$E_a\ne0$ となる $a$ がすべて $\gcd(a,m)=1$ を満たすことは同値である（$\gcd(a,m)>1$ なら $\zeta^a$ の位数は $m$ より小さい）。

1 の必要性：$\rho(t)$ は実行列なので複素共役は $E_a$ を $E_{-a}$ に移す。$m\ge3$ と $\gcd(a,m)=1$ から $2a\not\equiv0$、すなわち $a\not\equiv-a$ である。各組 $\{a,-a\}$ から一方 $a$ を選び、$E_a$ の正規直交基底 $v$ ごとに $e:=(v+\bar v)/\sqrt2$、$f:=-(v-\bar v)/(\sqrt{-1}\sqrt2)$ とおく。$v\perp\bar v$（$E_a\perp E_{-a}$）から $e,f$ は正規直交な実ベクトルで、$\theta:=2\pi a/m$ について $\rho(t)e=\cos\theta\,e+\sin\theta\,f$、$\rho(t)f=-\sin\theta\,e+\cos\theta\,f$ となる。異なる $v$ や異なる組からの $e,f$ は直交し、実次元を数えるとこれらは $\mathbb{R}^N$ の正規直交基底になる。この基底で $\rho(t)$ は $R(\theta)$ のブロックの直和で、$N$ は偶数である。十分性は、$R(2\pi a/m)$ の固有値が $\zeta^{\pm a}$ で、$\gcd(a,m)=1$ ならこれらが原始 $m$ 乗根であることと ffs-thm-linear の 2 による。商がレンズ空間であることは定義（レンズ空間 の定義「高次元レンズ空間」）による。

2：共役な行列は各固有値の重複度が等しい。右辺の $\zeta^c$ の重複度は $\#\{i\mid a_i\equiv c\}+\#\{i\mid a_i\equiv-c\}$ なので、重複度が等しければ組 $\{\pm a_i\}$ の多重集合が一致する。逆に、ブロックの並べ替えは置換行列で、$R(-\theta)=\operatorname{diag}(1,-1)R(\theta)\operatorname{diag}(1,-1)$ なので各ブロックの符号も直交行列で変えられる。$m=2$ の場合は ffs-cor-linear の (b) による。$\square$