二項定理

1：まず $j$ についての帰納法で $xy^j=y^jx$ を示す。$j=0$ は $x\cdot1=1\cdot x$ である。$xy^j=y^jx$ なら $xy^{j+1}=(xy^j)y=y^jxy=y^jyx=y^{j+1}x$ である。次に $i$ についての帰納法で $x^iy^j=y^jx^i$ を示す。$i=0$ は明らかであり、$x^iy^j=y^jx^i$ なら $x^{i+1}y^j=x^i(xy^j)=x^iy^jx=y^jx^ix=y^jx^{i+1}$ である。
2：$n$ についての帰納法で示す。$n=0$ なら $k=0$ で両辺とも $1$ である。$n\ge1$ とし、$z_1\cdots z_{n-1}$ に含まれる $x$ の個数を $k'$ とすると、帰納法の仮定により $z_1\cdots z_{n-1}=x^{k'}y^{n-1-k'}$ である。$z_n=y$ なら $k=k'$ で、積は $x^{k'}y^{n-k'}=x^ky^{n-k}$ である。$z_n=x$ なら $k=k'+1$ で、1 により $x^{k'}y^{n-1-k'}x=x^{k'}xy^{n-1-k'}=x^{k}y^{n-k}$ である。$\square$

$\{1,\dots,n\}$ の部分集合 $S$ に対し、$i\in S$ なら $z_i^S:=x$、$i\notin S$ なら $z_i^S:=y$ とおく。まず
$$ (x+y)^n=\sum_{S\subset\{1,\dots,n\}}z_1^Sz_2^S\cdots z_n^S $$
を $n$ についての帰納法で示す。$n=0$ では左辺は $1$、右辺は $S=\emptyset$ の空な積 $1$ だけである。$n\ge1$ なら、分配法則により
$$ (x+y)^n=(x+y)^{n-1}(x+y)=\sum_{S'\subset\{1,\dots,n-1\}}z_1^{S'}\cdots z_{n-1}^{S'}\,x+\sum_{S'\subset\{1,\dots,n-1\}}z_1^{S'}\cdots z_{n-1}^{S'}\,y $$
である。第 1 の和の項は $S=S'\cup\{n\}$ の項、第 2 の和の項は $S=S'$ の項であり、$\{1,\dots,n\}$ の部分集合は $n$ を含むか含まないかでちょうど一方に現れるので、右辺は $S$ 全体にわたる和になる。
lem-binomial-theorem-commute の 2 により、$|S|=k$ の項 $z_1^S\cdots z_n^S$ は $x^ky^{n-k}$ に等しい。$\{1,\dots,n\}$ の $k$ 元部分集合の個数は $\binom nk$ である（二項係数 の記事の命題「部分集合による特徴づけ」）。したがって $x^ky^{n-k}$ が $\binom nk$ 回足され、$(x+y)^n=\sum_{k=0}^n\binom nk\,x^ky^{n-k}$ を得る。$\square$

$n$ についての帰納法で示す。$n=0$ では両辺とも $1$ である。$n\ge1$ とし、$(x+y)^{n-1}=\sum_{k=0}^{n-1}\binom{n-1}k\,x^ky^{n-1-k}$ を仮定する。冪は右から掛けて $a^{m+1}=a^ma$ と定めたが、$x+y$ は自分自身と可換なので、lem-binomial-theorem-commute の 1 を 2 元とも $x+y$ にとって $i=1$、$j=n-1$ に使うと $(x+y)(x+y)^{n-1}=(x+y)^{n-1}(x+y)=(x+y)^n$ である。そこで仮定の式に左から $x+y$ を掛け、同じく補題の 1 から得られる $x\cdot x^k=x^kx=x^{k+1}$ を使うと
$$ (x+y)^n=\sum_{k=0}^{n-1}\binom{n-1}k\,x^{k+1}y^{n-1-k}+\sum_{k=0}^{n-1}\binom{n-1}k\,yx^ky^{n-1-k} $$
である。lem-binomial-theorem-commute の 1 により $yx^k=x^ky$ なので、第 2 の和の項は $\binom{n-1}k\,x^ky^{n-k}$ である。第 1 の和で $k+1$ を $k$ と置き直すと
$$ (x+y)^n=\sum_{k=1}^{n}\binom{n-1}{k-1}x^ky^{n-k}+\sum_{k=0}^{n-1}\binom{n-1}k\,x^ky^{n-k}=\sum_{k=0}^{n}\left(\binom{n-1}{k-1}+\binom{n-1}{k}\right)x^ky^{n-k} $$
である。最後の等号では、範囲外の二項係数 $\binom{n-1}{-1}$、$\binom{n-1}{n}$ が $0$ であることを使って和の範囲を $0\le k\le n$ にそろえた。Pascal の関係式 $\binom{n-1}{k-1}+\binom{n-1}k=\binom nk$（二項係数 の記事の命題「Pascal の関係式」）により、右辺は $\sum_{k=0}^n\binom nk\,x^ky^{n-k}$ である。$\square$

整数環 $\mathbb{Z}$ で thm-binomial-theorem を $x=y=1$ に適用すると前半を、$x=-1$、$y=1$ に適用すると $(-1+1)^n=0^n$ が後半の左辺に等しいことを得る。$n\ge1$ なら $0^n=0$ である。$\square$

$m$ についての帰納法で示す。$m=1$ では右辺は $k_1=n$ の項 $\frac{n!}{n!}x_1^n$ だけであり、成り立つ。$m\ge2$ とし、$m-1$ 個の場合を仮定する。$y:=x_2+\cdots+x_m$ とおくと、$x_1$ は $x_2,\dots,x_m$ のそれぞれと可換なので $x_1y=yx_1$ である。thm-binomial-theorem により
$$ (x_1+y)^n=\sum_{k_1=0}^n\binom n{k_1}x_1^{k_1}y^{n-k_1} $$
であり、帰納法の仮定により $y^{n-k_1}=\sum_{k_2+\cdots+k_m=n-k_1}\binom{n-k_1}{k_2,\dots,k_m}x_2^{k_2}\cdots x_m^{k_m}$ である。係数の積は
$$ \binom n{k_1}\binom{n-k_1}{k_2,\dots,k_m}=\frac{n!}{k_1!\,(n-k_1)!}\cdot\frac{(n-k_1)!}{k_2!\cdots k_m!}=\binom{n}{k_1,\dots,k_m} $$
なので、主張を得る。多項係数は整数（二項係数と、帰納法の仮定により整数である多項係数）の積として現れるので整数である。$\square$

$e=1$ の場合を示す。$0< k< p$ なら $\binom pk$ は $p$ で割り切れる（二項係数 の記事の命題「素数に関する合同式」）ので、$\binom pk=pm$ と書くと $\binom pk\cdot x^ky^{p-k}=m\cdot(p\cdot1)\,x^ky^{p-k}=0$ である。thm-binomial-theorem の展開で $k=0,p$ 以外の項が消え、$(x+y)^p=x^p+y^p$ を得る。$e\ge2$ なら $e$ についての帰納法により $(x+y)^{p^e}=\bigl((x+y)^{p^{e-1}}\bigr)^p=\bigl(x^{p^{e-1}}+y^{p^{e-1}}\bigr)^p=x^{p^e}+y^{p^e}$ である。$\square$

$\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ は $p\cdot1=0$ を満たす可換環である。$a\ge0$ について $a\bmod p$ の類 $\bar a$ が $\bar a^p=\bar a$ を満たすことを $a$ についての帰納法で示す。$a=0$ なら $0^p=0$ である（$p\ge1$）。$\bar a^p=\bar a$ なら、prop-binomial-theorem-frobenius により $(\bar a+\bar1)^p=\bar a^p+\bar1^p=\bar a+\bar1$ である。負の $a$ については、$a+mp\ge0$ となる整数 $m$ をとると $a$ と $a+mp$ の類は等しいので、非負の場合に帰着する。$\square$

$b_k:=\binom\alpha k$ とおくと、定義から $b_{k+1}=b_k\cdot\frac{\alpha-k}{k+1}$ である。$\alpha$ が非負整数なら $k>\alpha$ で $b_k=0$ となり、級数は有限和で thm-binomial-theorem に帰着するので、$\alpha$ は非負整数でないとする。このときすべての $b_k$ は $0$ でなく、$|b_{k+1}x^{k+1}|/|b_kx^k|=|x|\cdot|\alpha-k|/(k+1)\to|x|$（$k\to\infty$）なので、比による判定法（Rud76 Theorem 3.34）により $|x|<1$ で級数は絶対収束する。したがって $f(x):=\sum_kb_kx^k$ は収束半径が $1$ 以上の冪級数であり、実冪級数は収束区間 $(-R,R)$ の内部で項別に微分できる（Rud76 Theorem 8.1）ので、$|x|<1$ で $f'(x)=\sum_k(k+1)b_{k+1}x^k$ である。$(k+1)b_{k+1}=(\alpha-k)b_k$ なので
$$ (1+x)f'(x)=\sum_{k}\bigl((k+1)b_{k+1}+kb_k\bigr)x^k=\sum_k\alpha b_kx^k=\alpha f(x) $$
である。$g(x):=f(x)(1+x)^{-\alpha}$ とおくと、$|x|<1$ で $g'(x)=(1+x)^{-\alpha-1}\bigl((1+x)f'(x)-\alpha f(x)\bigr)=0$ なので $g$ は定数であり、$g(0)=f(0)=b_0=1$ である。よって $f(x)=(1+x)^\alpha$ である。$\square$