最終頂点写像の共終性

順序写像であること。左の範囲では $u_n$ が順序を保つ。左と右の境目では $u_n(i)=\varphi_{i+1,n}u_{i+1}(i)\le\varphi_{i+1,n}(m_{i+1})$、右の範囲では $q< q'$ について $\varphi_{qn}(m_q)=\varphi_{q'n}\varphi_{qq'}(m_q)\le\varphi_{q'n}(m_{q'})$ である。

単体的であること。$\alpha\colon[n']\to[n]$ をとる。$i=n$ なら両辺とも $e^-\alpha$ である。像が左に入るなら $f_e\alpha=u_n\alpha$ で、$\alpha^*e$ は $K$ の単体 $e^-\alpha=\sigma_nu_n\alpha$ である。残りの場合、$b:=\alpha(n')>i$ で、$\alpha^*e$ の最後の対象は $\sigma_b$、その $f$ は $f'(q)=u_b(\alpha(q))$（$\alpha(q)\le i$）、$f'(q)=\varphi_{\alpha(q)b}(m_{\alpha(q)})$（$\alpha(q)>i$）である。$\varphi_{bn}f'=f_e\alpha$ なので $r(\alpha^*e)=\sigma_bf'=\sigma_n\varphi_{bn}f'=\sigma_nf_e\alpha=\alpha^*r(e)$ である。

残りの主張。$r|_K=\mathrm{id}$ は定義による。$i=-1$ では $f_e(q)=\varphi_{qn}(m_q)$ で、これは 単体的集合の単体の圏 の命題「最終頂点写像」の $\theta_\sigma$ にほかならないので $rv=\lambda_K$ である。$g\colon K\to L$ は $e^-$ と $\sigma_a$ を $g$ で写し、$\varphi$ と $u$ を変えないので、$f_e$ は変わらず $r$ は自然である。$\square$

単体であること。$w_a$ が順序を保つことは prf-lvc-retraction の順序の確かめと同じである。$\varphi_{ab}w_a=w_b$ は、左の範囲では橋の条件、$i< q\le i'$ では $\varphi_{ab}\varphi_{qa}=\varphi_{qb}$ による。$\varphi_{an}w_a=f_e|_{[0,i']}$ なので $\sigma_aw_a=\sigma_n\varphi_{an}w_a=r(e)|_{[0,i']}$ であり、橋の条件をみたす。

単体的であること。$\alpha\colon[n']\to[n]$ について、$\varepsilon$ は順序を保つので $\varepsilon(\alpha(q))=0$ と $\alpha(q)\le c$ は同値であり、$(e\alpha,\varepsilon\alpha)$ の分かれ目は $\max\{q\mid\alpha(q)\le i'\}$ で、$H(e,\varepsilon)\alpha$ の分かれ目と一致する。左の部分はどちらも $r(e)\alpha$ の始切片への制限である（$r$ は単体的）。右の鎖はどちらも $\sigma_{\alpha(q)}$ と $\varphi_{\alpha(q)\alpha(q')}$ である。橋の値は、左の位置 $q$ について $\alpha(q)\le i$ なら $u_{\alpha(q')}(\alpha(q))$、$\alpha(q)>i$ なら $\varphi_{\alpha(q)\alpha(q')}(m_{\alpha(q)})$ で、両辺で同じである。

端点と底。$\varepsilon=0$ なら $c=n$ で $H=r(e)$、$\varepsilon=1$ なら $c=-1$、$i'=i$、$w_a=u_a$ で、左の部分は $\sigma_nu_n=e^-$ なので $H=e$ である。$i'< n$ のとき $H(e,\varepsilon)$ の $f$ は、$q\le i'$ で $w_n(q)=f_e(q)$、$q>i'$ で $\varphi_{qn}(m_q)=f_e(q)$ なので $f_e$ に等しく、$r(H(e,\varepsilon))=r(e)$ である。$i'=n$ でも $r(r(e))=r(e)$ である。$\square$

1。$(\mathrm{id}_{[d]},\sigma)$ は始対象である（$(s,t)$ への射は $\psi=s$ だけ）。反対圏は終対象をもつので、圏の分類空間 の系「終対象をもつ圏は可縮」と命題「反対圏の分類空間」により $BI_\sigma$ は可縮である。

2。$s$ が全射でもある対象のなす充満部分圏を $I''_\sigma$、包含を $L\colon I''_\sigma\to I'_\sigma$ とする。$s=\nu q$（$q\colon[d]\to[Q]$ は全射、$\nu\colon[Q]\to[M]$ は単射）と像で分け、$R(s,t):=(q,t\nu)$ とおく（$q$ も単射でない）。射 $\psi\colon(s,t)\to(s',t')$ は $\psi(\nu[Q])=\psi s[d]=s'[d]=\nu'[Q']$ をみたすので $\nu'\beta=\psi\nu$ となる $\beta$ がただ 1 つあり、$\beta q=q'$、$t'\nu'\beta=t\nu$ なので $R(\psi):=\beta$ で関手 $R$ が定まり、$RL=\mathrm{id}$ である。$a=(q_a,t_a)\in I''_\sigma$ から $L$ を通した $(s,t)$ への射 $\psi$ は、$q_a$ が全射なので像が $\nu[Q]$ で、$\psi=\nu\beta$ と一意に書け、$\beta$ はちょうど $a$ から $R(s,t)$ への射である。よって $L$ は $R$ の左随伴で、圏の分類空間 の系「随伴関手はホモトピー同値を与える」により $BL$ はホモトピー同値である。$\sigma=\bar\sigma\circ q_0$（$\bar\sigma$ は非退化、$q_0$ は全射）を 単体的集合 の命題「退化単体の一意な表示」の分解とすると、$\sigma$ は退化なので $q_0$ は単射でなく、$c:=(q_0,\bar\sigma)\in I''_\sigma$ である。$(q,t)\in I''_\sigma$ について $t=\bar t\circ q_1$ と分解すると、$\sigma=\bar t\circ(q_1q)$ と表示の一意性から $\bar t=\bar\sigma$、$q_1q=q_0$ であり、$q_1$ は $(q,t)$ から $c$ への射で、$q$ が全射なので射はこれだけである。よって $c$ は終対象で、$BI''_\sigma$、したがって $BI'_\sigma$ は可縮である。弱可縮な単体的集合の間の単射 $N(I'_\sigma)\subset N(I_\sigma)$ は弱同値なので、Kan–Quillenモデル構造 の定理「Kan–Quillen モデル構造」の 2 によりアノダイン拡大である。$\square$

$\chi_\sigma(D_\sigma)\subset K_F^{(d-1)}$。$(\alpha,c)$ について $\alpha=\delta\gamma$（$\gamma$ は全射、$\delta$ は単射）と分けると、$\chi_\sigma(\alpha,c)$ は $\chi_\sigma(\delta,c)$ の左の部分での退化なので、同じ非退化単体の表示をもつ。$\alpha$ が全射でなければ $\chi_\sigma(\delta,c)$ の分かれ目は $d-1$ 以下である。$\sigma$ が退化で $c$ が $I'_\sigma$ の鎖（空も含む）なら、$\chi_\sigma(\mathrm{id},c)$ は、$c$ が空なら退化した $\sigma$、空でなければ最初の橋 $s$ が単射でない単体で、lem-lvc-nondeg により分かれ目 $d-1$ の単体の退化である。

補集合の対応。$\Delta^d\star N(I_\sigma)$ の $D_\sigma$ の補集合は、$\alpha$ が全射で、$c$ が空でなく最初の対象の $s$ が単射であるもの（$\sigma$ が非退化なら $c$ が空のものも含む）からなる。$s_a=\psi s$ なので最初の $s$ が単射でなければすべて単射でない。この補集合の元は $(\alpha,c)=(\gamma\sqcup\rho)^*(\mathrm{id},\bar c)$（$\bar c$ は恒等射を含まない鎖、$\gamma\sqcup\rho$ は全射）と一意に書け、$\chi_\sigma(\mathrm{id},\bar c)$ は lem-lvc-nondeg により分かれ目 $d$ の非退化単体である（$I_\sigma$ の射が恒等射であることと $\Delta/K$ の射として恒等射であることは同値）。逆に分かれ目 $d$ の非退化単体 $w$ は、$\sigma:=w^-$、$\bar c:=((u_a,\sigma_a))_a$ として $\chi_\sigma(\mathrm{id},\bar c)$ にただ一通りに書ける。$K_F^{(d)}\setminus K_F^{(d-1)}$ の単体は、分かれ目 $d$ の非退化単体の退化として一意に書けるので、$\chi=\coprod\chi_\sigma$ は各次数で $\coprod_\sigma(\Delta^d\star N(I_\sigma)\setminus D_\sigma)$ を $K_F^{(d)}\setminus K_F^{(d-1)}$ に全単射に写す。Kan–Quillenモデル構造 の節「1 単射と小対象の議論」の補集合による判定により押し出しである。

右アノダインであること。$\sigma$ が非退化なら、$D_\sigma\subset\Delta^d\star N(I_\sigma)$ は lem-lvc-factor の 1 と 右アノダイン射 の系「弱可縮な単体的集合との結」（$\partial\Delta^d\subset\Delta^d$）により右アノダインである。$\sigma$ が退化なら $D_\sigma\subset\Delta^d\star N(I_\sigma)$ は $J(\partial\Delta^d\subset\Delta^d,\ N(I'_\sigma)\subset N(I_\sigma))$ で、lem-lvc-factor の 2 と 右アノダイン射 の定理「単射とアノダイン拡大の結」により右アノダインである。右アノダイン射は余積・押し出し・可算列の合成で閉じている（右アノダイン射 の命題「生成と閉包性」）ので、$v$ は右アノダインである。$\square$