Alexander双対定理

Hat02 Theorem A.7（p. 525。この記事では証明しない）により、局所可縮な $\mathbb{R}^n$ のコンパクト集合 $K$ は、ある開近傍 $W\subset\mathbb{R}^n=S^n\setminus\{p\}$ のレトラクトである。レトラクション $r\colon W\to K$（$r|_K=\mathrm{id}_K$）をとる。$U\subset W$ をみたす $U\in\mathcal U$ の族は共終なので、そのような $U$ だけで極限を計算すればよい。
全射性：$a\in H^q(K)$ について、$r|_U\colon U\to K$ による引き戻し $(r|_U)^*a\in H^q(U)$ の $K$ への制限は $(r|_K)^*a=a$ である。
単射性：$b\in H^q(U)$（$U\subset W$）の $K$ への制限が $0$ とする。$h(x,s):=(1-s)x+s\,r(x)\in\mathbb{R}^n$（$x\in U$、$0\le s\le1$）は連続で、$x\in K$ なら $h(x,s)=x\in U$ である。よって開集合 $h^{-1}(U)$ は $K\times[0,1]$ を含み、$[0,1]$ はコンパクトなので（チューブの補題）各 $x\in K$ に開近傍 $N_x$ で $N_x\times[0,1]\subset h^{-1}(U)$ となるものがある。$U':=U\cap\bigcup_{x\in K}N_x\in\mathcal U$ とおくと、$h$ は $U'\times[0,1]$ を $U$ に写し、包含 $\iota\colon U'\hookrightarrow U$ と、$r|_{U'}$ を $K\subset U$ に続けた写像とのホモトピーになる。後者は $U'\xrightarrow{r}K\hookrightarrow U$ と分解するので、
$$ b|_{U'}=\iota^*b=(r|_{U'})^*(b|_K)=0 $$
である。よって $b$ は極限で $0$ になる。
被約版：$K$ と各 $U$ は空でなく、一点への写像は制限と可換なので、$\tilde H^q$ は帰納系の各項で $H^q$ の余核として両立する。帰納極限は完全なので（帰納極限）、余核と極限は交換し、被約版も同型である。$\square$

$K$ は閉集合で開集合 $U$ に含まれるので、切除定理 により $K$ を切除でき、$(S^n\setminus K,U\setminus K)=(V,U\setminus K)$ である。$L_U:=S^n\setminus U$ はコンパクトで $V$ に含まれ、$U\setminus K=V\setminus L_U$ である。逆に $V$ の任意のコンパクト集合 $L$ について $S^n\setminus L\in\mathcal U$ なので、$\{L_U\}$ は $V$ のコンパクト集合の族の中で共終であり、コンパクト台コホモロジー の命題「帰納極限による表示」から極限の同型が従う。最後の主張は、$H^q(S^n,U)=H^q(S^n\mid L_U)$ から $H^q(S^n)$ への写像と、切除の逆を合成したものが零拡張の定義そのものであることによる。$\square$

$n\ge1$ とする。$V$ は空でない $S^n$ の開集合で、$S^n$ は向き付け可能なので（向き付け可能多様体 の例「球面と等位集合」）、$S^n$ の向きを制限して $V$ は向き付けられた $n$ 次元多様体になる。
段 1（完全列）．各 $U\in\mathcal U$ について、対 $(S^n,U)$ の被約コホモロジーの長完全列
$$ \cdots\to\tilde H^{q-1}(S^n)\to\tilde H^{q-1}(U)\xrightarrow{\delta}H^q(S^n,U)\to\tilde H^q(S^n)\to\tilde H^q(U)\to\cdots $$
がある（$U\ne\emptyset$）。$U'\subset U$ について、これらは包含が誘導する写像で両立するので、$\mathcal U$ について帰納極限をとると、帰納極限の完全性と lem-ald-limit・lem-ald-compact-support により完全列
$$ \cdots\to\tilde H^{q-1}(S^n)\to\tilde H^{q-1}(K)\to H^q_c(V)\xrightarrow{j_!}\tilde H^q(S^n)\to\tilde H^q(K)\to\cdots $$
を得る（$\tilde H^q(S^n)$ は定数の帰納系）。以下これを列 $(*)$ とよぶ。
段 2（制限は $0$）．$(*)$ の制限 $\tilde H^q(S^n)\to\tilde H^q(K)$ はすべての $q$ で $0$ である。$q\ne n$ では $\tilde H^q(S^n)=0$ である。$q=n$ では、$p\notin U$ となる $U\in\mathcal U$ の族は共終で、そのような $U$ への制限は $H^n(S^n)\to H^n(S^n\setminus\{p\})\to H^n(U)$ と分解し、$S^n\setminus\{p\}\cong\mathbb{R}^n$ は可縮なので $H^n(S^n\setminus\{p\})=0$ である。よって $(*)$ はすべての $q$ について短完全列
$$ 0\to\tilde H^{q-1}(K)\to H^q_c(V)\xrightarrow{j_!}\tilde H^q(S^n)\to0 $$
に分かれる。
段 3（$i\ne0$）．Poincaré双対 の定理「コンパクトでない多様体の双対」により、キャップ積 $D_V\colon H^q_c(V)\to H_{n-q}(V)$ は同型である。$q\ne n$ なら $\tilde H^q(S^n)=0$ なので $\tilde H^{q-1}(K)\cong H^q_c(V)\cong H_{n-q}(V)$ である。$i:=n-q\ne0$ とおくと、$i\ne0$ では $H_i(V)=\tilde H_i(V)$ なので（$i=-1$ ではどちらも $0$）、$\tilde H_i(V)\cong\tilde H^{n-i-1}(K)$ を得る。
段 4（$i=0$）．$q=n$ の短完全列 $0\to\tilde H^{n-1}(K)\to H^n_c(V)\xrightarrow{j_!}H^n(S^n)\to0$ を、Poincaré 双対でホモロジーに移す。包含 $\iota\colon V\hookrightarrow S^n$ について
$$ D_{S^n}\circ j_!=\iota_*\circ D_V\colon H^n_c(V)\to H_0(S^n) $$
が成り立つ（下の確認）。$D_{S^n}$ と $D_V$ は同型で、$S^n$ は弧状連結なので $\iota_*\colon H_0(V)\to H_0(S^n)\cong\mathbb{Z}$ は各点の類を生成元に送る添加写像であり、その核は $\tilde H_0(V)$ である（被約ホモロジー）。よって $D_V$ は $\tilde H^{n-1}(K)=\ker j_!$ を $\ker\iota_*=\tilde H_0(V)$ の上へ同型に写し、$\tilde H_0(V)\cong\tilde H^{n-1}(K)$ である。
等式の確認：$V$ のコンパクト集合 $L$ と $\alpha\in H^n(S^n\mid L)$ をとり、その $V$ への制限を $\alpha_V\in H^n(V\mid L)$ とする（切除の同型）。$\mu^V_L\in H_n(V\mid L)$ と $\mu^{S^n}_L\in H_n(S^n\mid L)$ を $L$ の各点で向きに制限される類（基本類 の補題「局所ホモロジーの基本補題」）とすると、包含による $\mu^V_L$ の像は、各点への制限が一致するので一意性により $\mu^{S^n}_L$ であり、$\mu^{S^n}_L$ は $[S^n]$ の $H_n(S^n\mid L)$ への像である。キャップ積の自然性（キャップ積 の命題「キャップ積の基本性質」の 1）から
$$ \iota_*\bigl(\mu^V_L\frown\alpha_V\bigr)=\mu^{S^n}_L\frown\alpha=[S^n]\frown(\alpha\text{ の }H^n(S^n)\text{ への像}) $$
であり、左辺は $\iota_*D_V(\alpha_V)$、右辺は $D_{S^n}(j_!\alpha_V)$ である。$\square$

$X=\emptyset$ なら明らかなので、$X\ne\emptyset$ とする。立体射影で $\mathbb{R}^n=S^n\setminus\{p\}$ とみなすと $X$ は $S^n$ の空でない真部分集合なので、thm-ald-main により $\tilde H^q(X)\cong\tilde H_{n-q-1}(S^n\setminus X)$ である。$q\ge n$ なら右辺の次数は負なので $\tilde H^q(X)=0$、$q=n-1$ なら右辺は $\tilde H_0$ で自由アーベル群（自由アーベル群）である。$X$ はコンパクトで $\mathbb{R}^n$ の近傍のレトラクトなので、$H_*(X)$ は有限生成である（Hat02 Corollary A.8、p. 527）。有限生成アーベル群 $A$ について $\operatorname{Hom}(A,\mathbb{Z})$ は階数 $\operatorname{rank}A$ の自由群、$\operatorname{Ext}(A,\mathbb{Z})$ は $A$ のねじれ部分群と同型な有限群であり、普遍係数定理により $H^q(X)\cong\operatorname{Hom}(H_q(X),\mathbb{Z})\oplus\operatorname{Ext}(H_{q-1}(X),\mathbb{Z})$ である。
$q\ge n$ では $q\ge1$ なので $H^q(X)=\tilde H^q(X)=0$ であり、$H_q(X)$ は階数 $0$、$H_{q-1}(X)$ はねじれをもたない。$q$ を $n$ 以上で動かすと、$H_q(X)$（$q\ge n$）は階数 $0$ でねじれもないので $0$、$H_{n-1}(X)$ はねじれをもたない。$n\ge2$ のとき $q=n-1\ge1$ では $H^{n-1}(X)=\tilde H^{n-1}(X)$ が自由なので、その部分群 $\operatorname{Ext}(H_{n-2}(X),\mathbb{Z})$ は自由アーベル群の有限部分群として $0$ であり、$H_{n-2}(X)$ はねじれをもたない。$n=1$ では $H_{-1}=0$ である。$\square$