トレース双対加群

前提知識: 整域、加群、局所化、双対加群、体のノルムとトレース

有限分離拡大 $L/K$ のトレースは、$L$ の元 $x$ を、$y$ に $\operatorname{Tr}_{L/K}(xy)$ を対応させる線型汎関数として表す。この対応を係数環 $A$ の上で使うと、抽象的な双対加群を、拡大体 $L$ の中の具体的な部分加群として扱える。トレース双対加群は、この「汎関数を体の元で表す」という考え方で定まる。
ここでは $A$ を非零の Noether 正規整域、$K=\operatorname{Frac}(A)$、$L/K$ を有限分離拡大とし、$r=[L:K]$ とおく。整数環だけに限らず、$A=k[x,y]$ のような環も含める。自由基底を持たない加群でも双対の表示と局所化は成り立つ一方、判別式の計算には、同じ組の元を行と列に使うかどうかという区別が必要になる。

定義と係数環の役割

$N\subset L$ なので、$N$ は $A$ 加群としてねじれを持たない。さらに full であることから、局所化の写像 $K\otimes_A N\to L$、$c\otimes n\mapsto cn$ は同型になる。単射は $N\subset L$ と分母を払う操作から、全射は $KN=L$ から従う。有限生成と full は別々の条件であり、どちらか一方だけでは、以下の双対の有限性や階数を保証できない。
$N$ は $A$ 代数である必要はなく、$1$ を含む必要もない。また、その元が $A$ 上整であることも定義には含めない。たとえば $A=\mathbb Z$、$L=\mathbb Q$ では $\frac12\mathbb Z$ も格子である。この柔軟さが、トレースに関する整性条件と、整拡大としての整性を分けて考えるために役立つ。

ここで上付きの $\vee$ は、常にこの指定したトレースと、指定した係数環 $A$ に関するものとする。同じ集合 $N$ でも、$A$ を局所化したり、$L/K$ を変えたりすれば、条件の意味は変わる。任意の非退化形式に関する双対を暗黙に代入する記号ではない。
$t$ は対称な $K$ 双線型形式である。$x,x'\in N^\vee$ と $a\in A$ に対し、$t(x+x',n)$ と $t(ax,n)$ は $A$ に入るため、$N^\vee$ は $A$ 部分加群である。$n_1,\dots,n_m$ が $N$ の生成元なら、定義中のすべての $n$ についての条件は、有限個の条件 $t(x,n_j)\in A$ と同値である。後に局所化と交換するとき、この有限個への置き換えが重要になる。
体上の出発点は、有限分離拡大に対するトレース形式の非退化性である。すなわち
$$ T\colon L\xrightarrow{\sim}\operatorname{Hom}_K(L,K), \qquad T(x)(y)=\tau(xy) $$
が同型になる。この事実の証明は 体のノルムとトレース の「トレース形式と分離性」で扱う。以下ではこの体上の定理、局所化の基本性質、Noether 加群の部分加群が有限生成であることを用いる。主題となる $A$ 上の同定、有限性、局所化の証明はこの記事で与える。

トレースによる双対加群の表示

この同型を、単に二つの加群の階数が同じだから存在する同型と捉えてはいけない。どの元がどの汎関数を表すかまで、積 $xn$ と同じトレース $\tau$ によって指定している。たとえば $\lambda(n)=1$ という値があれば、それを満たす $x$ は方程式 $\tau(xn)=1$ の解であり、任意の基底から作った同型を代入することはできない。
関係は次の可換図式で表せる。
$$ \xymatrix{ N^\vee \ar@{^{(}->}[r] \ar[d]_{\iota_N}^{\sim} & L \ar[d]^T_{\sim}\\ \operatorname{Hom}_A(N,A) \ar@{^{(}->}[r]_-{\lambda\mapsto\lambda_K} & \operatorname{Hom}_K(L,K) } $$
可換性とは $T(x)=(\iota_N(x))_K$ という等式である。下の横向きの写像が単射なのは、延長を元の $N$ に制限すれば $\lambda$ が戻るからである。上の横向きの写像の像は、$T$ の下で「$N$ 上の値が $A$ に入る汎関数」の像にちょうど対応する。
同定は包含に対しても整合する。$N\subset P\subset L$ が二つの格子なら、より多くの元とのトレースを $A$ に入れる必要があるため、$P^\vee\subset N^\vee$ となる。この包含は、抽象双対の側では制限写像
$$ \operatorname{Hom}_A(P,A)\longrightarrow\operatorname{Hom}_A(N,A) $$
に対応する。実際、同じ $x\in P^\vee$ は両方で $n\mapsto\tau(xn)$ を表す。この制限写像も単射である。$N$ で消える写像を $K$ へ延長すれば、$KN=L=KP$ により全体で消えるからである。
なお、この Hom 表示自体には $A$ の正規性も Noether 性も要らない。整域であること、full であること、トレース形式の非退化性から得られる。仮定を一括して使うのではなく、どの段でどの仮定が必要かを分けると、適用範囲を誤りにくい。

双対が再び有限 full 格子になること

この証明では、有限性と full 性で向きの違う包含を使っている。有限性には $N^\vee\subset M_0^\vee$ という上からの有限包絡を使い、full 性には $aM_0\subset N^\vee$ という下からの full な部分加群を使う。「有限個の基底で挟む」という同じ見取り図でも、二つの包含が果たす役割は異なる。
また、$M_0$ の基底は $N$ の中に選ぶが、$N$ 自身の $A$ 基底を仮定していない。$N$ が自由でなくても、部分加群として自由な full 格子を一つ取ることはできる。Noether 環上の有限生成加群がすべて自由である、という主張は使っていない。
トレースが $A$ に入るという条件は、$N^\vee$ の元の整性を意味しない。たとえば $A=\mathbb Z$、$L=\mathbb Q$、$N=2\mathbb Z$ では $\tau$ は恒等写像であり、
$$ N^\vee=\tfrac12\mathbb Z. $$
これは有限 full 格子だが、$\frac12$ は $\mathbb Z$ 上整でない。双対の有限性と整閉包の有限性は、関係はあっても同一の命題ではない。
正規性が現れる典型的な場面は、$A$ 上整な元同士を掛けたときのトレースが $A$ に入る、という部分である。整閉包を $B\subset L$ とすれば、$t(B,B)\subset A$ が得られ、$B\subset B^\vee$ といった包含につながる。この整元のトレースと有限包絡による議論は 整閉包の有限性 の「トレースの二つの性質」と「分離拡大における整閉包の有限性」で扱う。この記事ではその有限性定理を改めて証明せず、任意の有限 full 格子に対する双対そのものを扱っている。

局所化と分母の制御

この等式は「局所化後も同型な加群になる」というだけでなく、両辺を同じ $L$ に埋め込んだときに等しいという主張である。分母 $s$ は $z$ と有限生成系に依存してよい。すべての $z$ に共通する分母を一つ選べる、という強い主張をしているわけではない。
$S=A\setminus\mathfrak p$ とすれば、素イデアル $\mathfrak p$ における等式 $(N_{\mathfrak p})^\vee=(N^\vee)_{\mathfrak p}$ が得られる。局所化後の係数環の商体は依然 $K$ であり、$L/K$ 自体を剰余体上の拡大へ取り替えてはいない。特に、この定理からトレース双対と剰余体への基底変換が自動的に交換するとは言えない。局所化と剰余化は違う操作である。
局所化の証明で有限生成性が使われた位置は明確である。各元 $n$ ごとに分母が存在しても、無限個の分母を有限積で払うことはできない。したがって、「一つずつ値が局所環に入る」という条件を元の環上の一つの汎関数に戻すときには、有限個の試験対象があることを確かめる必要がある。

自由な格子での計算

$N=\sum_i Ab_i$ が自由で $b_1,\dots,b_r$ を $A$ 基底とする。行列
$$ G=(t(b_i,b_j))_{i,j}\in\operatorname{Mat}_r(K) $$
は可逆である。$x=\sum_j u_jb_j$ の係数を列ベクトル $u$ で表すと、$x\in N^\vee$ は $Gu\in A^r$ と同値である。したがって
$$ N^\vee=\left\{\sum_j u_jb_j\ \middle|\ u\in G^{-1}A^r\right\}. $$
この式は一般の内積格子の双対基底の計算と似ているが、係数は $K$ にあり、内積の正定値性は仮定していない。使っているのはトレース形式の非退化性である。
とくに $t(N,N)\subset A$ なら $G$ の係数は $A$ に入り、$N\subset N^\vee$ となる。$d=\det G\ne0$ とすれば余因子行列の公式より $G^{-1}=d^{-1}\operatorname{adj}(G)$ であるから、
$$ N\subset N^\vee\subset d^{-1}N $$
となる。この両側の包含は整値条件を付けた場合のものである。任意の格子に対し $N\subset N^\vee$ と書いてよいわけではない。

同じ $L$ の中で格子を $cN$、$c\in L^\times$ に取り替えた場合も、
$$ (cN)^\vee=c^{-1}N^\vee $$
と直接分かる。実際、$x\in(cN)^\vee$ は $\tau(xcn)\in A$ がすべての $n\in N$ で成り立つこと、すなわち $cx\in N^\vee$ と同値である。これは基底に関係しない計算であり、任意の full 格子に使える。格子の拡大と双対の縮小という包含の反転とも整合する。
一方、双対を二度取れば必ず元に戻る、と一般には結論しない。トレース表示を通すと二重双対は通常の $A$ 加群の二重双対に対応し、自然な写像も評価写像に対応する。有限射影の場合の同型定理、および $k[x,y]$ のイデアル $(x,y)$ が反射的でない例は、双対加群 の「有限生成射影加群の双対」と「有限生成でねじれのない反射的でない加群」を参照。ここでの有限性定理は、双対を取る操作の可逆性を主張するものではない。

判別式を作る二つの規則

以後この節では $t(N,N)\subset A$ を追加で仮定する。これは判別式を $A$ のイデアルとして定義するためであり、Hom 表示や局所化の定理に必要な条件ではない。整値でない場合にも行列式は $K$ 内に書けるが、それを説明なしに $A$ のイデアルと呼ばない。

同じ組を二度使う行列式は混合行列式の特別な場合なので、常に $\mathfrak g(N)\subset\mathfrak m(N)$ である。どちらも非零である。実際、$N$ の中にある $K$ 基底を一つ選べば、そのトレース行列は非退化である。基底でない組の行列式は零となるが、それも含めて全組を取ることで、任意の自由基底の存在を前提にしない定義になる。
混合行列式は、行と列に関してそれぞれ交代的かつ $A$ 多重線型である。このため 外積代数 の普遍性によって
$$ \bigwedge\nolimits_A^r N\otimes_A\bigwedge\nolimits_A^r N\longrightarrow A $$
という写像を定める。その像が $\mathfrak m(N)$ である。ここでは外冪の元は分解可能なものの和として生成されるので、像の生成元に二つの独立した組が現れる。同じ組だけの値を集める操作とは、定義の段階で違っている。

基底を $b'=bU$、$U\in\operatorname{GL}_r(A)$ に取り替えれば、$\det G$ は単元の平方 $(\det U)^2$ 倍される。このためイデアルは変わらない。ただし $U$ が $K$ 上でだけ可逆なら、そもそも同じ $A$ 格子の基底変更とは限らない。行列式の数値が変わったことと、イデアルが変わらないこと、格子が同一であることは区別する。
二つのイデアルはどちらも局所化と交換する。たとえば $x_i=n_i/s_i$ の同じ組の行列式は、$n_i$ の Gram 行列式を $(\prod_i s_i)^2$ で割ったものである。混合の場合は行と列の分母の積で割る。逆に局所化前の組は局所化後にも使えるので、両向きの包含が得られる。
従って $N$ が有限射影なら、各素イデアルで自由にして前の命題を適用できるため、$\mathfrak g(N)=\mathfrak m(N)$ となる。ここでは「有限射影加群は局所自由」という 有限射影加群 の定理を用いる。イデアルの等しさを局所で確かめられるのは、もし剰余加群 $\mathfrak m(N)/\mathfrak g(N)$ に非零元があれば、その零化イデアルを含む極大イデアルでの局所化でもその元が消えないからである。

この例で問題なのはトレースの退化ではない。$L=K$ でもトレース形式は非退化である。問題は $N$ が射影的でないことであり、「非退化形式なら任意の格子でも二つのイデアルは一致する」という推論が破れる。外積による混合写像を定義しただけでは、同じ組の値によるイデアルへ置き換えることはできない。
比較のため $2$ が可逆な環上の階数 $1$ では、$2fg=(f+g)^2-f^2-g^2$ なので、積 $fg$ は平方が生成するイデアルに入る。この計算は、標数 $2$ の例で混合項が失われた理由を示す。ただし、この階数 $1$ の計算だけから任意階数・任意格子について一般的な一致を結論してはいけない。

仮定を外したとき

二行目を直接確かめると、$q\mathbb Q\subset\mathbb Z$ を満たす $q\in\mathbb Q$ は $0$ しかないため、$N^\vee=0$ である。たとえば $q\ne0$ なら $n=1/(2q)$ を取れば $qn=1/2\notin\mathbb Z$ となる。$N$ は $K$ を張っているが、有限生成という仮定が失われたため、その双対は $K$ を張らない。
三行目では $X^p-t$ は $t$ の位数から既約であり、$[L:K]=p$ である。基底 $1,u,\dots,u^{p-1}$ で乗算を考えると、$1$ のトレースは $p=0$、$u^j$、$1\le j\le p-1$ の乗算行列には対角成分がない。したがってトレース写像は零となる。$N^\vee=L$ だが $\iota_N$ は零写像で、非零の $\operatorname{Hom}_K(L,K)$ を表せない。分離性を外すときは、別の非退化な $K$ 線型汎関数を選ぶことと、体のトレースを使い続けることを混同しない。
正規性を外した場合は、上に示した双対表示・有限性・局所化の証明そのものには影響しない。一方、$A$ 上整な元のトレースが $A$ に入る、という整閉包との接続は別途検討する必要がある。仮定の必要箇所を限定することは、反例を作ることと同様、定理を正しく利用するための確認になる。

数論の双対との接続

Dedekind 整域上の整閉包に対してこの双対を取る考え方は、Neu99 III §2、pp.194–195 の双対と Hom 表示に現れる。本記事では基礎環を一般の Noether 正規整域とし、任意の有限 full 格子を許しているため、分数イデアルの可逆性は前提にしていない。
数論で整閉包 $B$ のトレース双対 $B^\vee$ を扱うときは、$b\in B$、$z\in B^\vee$ に対して $\tau(bzB)=\tau(zbB)\subset A$ なので $B^\vee$ は $B$ 加群にもなる。ただし、それを可逆な $B$ 分数イデアルとして扱い、その逆を差積とするには追加の環の条件が要る。この数論的な構成と分岐との関係は 差積と分岐 を参照。
トレース双対を使うときの実際の順序は、まず有限分離な体拡大と full 格子を指定し、次に値域を $A$ に制限した Hom 表示を確認し、その後に整値性・自由性・射影性など用途に必要な仮定を足す、というものになる。双対の有限性が分かった段階で可逆性まで結論したり、局所化の式から剰余体上の非退化性を結論したりしないことが、一般の係数環での計算を確かなものにする。

関連項目

• 前提: 体のノルムとトレース、双対加群
• 比較: 有限射影加群、判別式形式
• 応用: 整閉包の有限性、差積と分岐