関手

同義語：共変関手

概要

前提知識: 圏

定義

圏は対象だけでなく、対象間の射とその合成を持つ。これらを一緒に移すのが関手である。以下では $\operatorname{Hom}_{\mathcal C}(X,Y)$ を圏 $\mathcal C$ の射 $X\to Y$ の集まりと書く。Rie16 §1.3

関手

圏 $\mathcal C,\mathcal D$ に対する関手（functor）$F\colon\mathcal C\to\mathcal D$ は、次の対応からなる。

対象 $X$ に対象 $F(X)$ を対応させる。
射 $f\colon X\to Y$ に射 $F(f)\colon F(X)\to F(Y)$ を対応させる。
すべての対象と合成可能な射 $f\colon X\to Y,\ g\colon Y\to Z$ について、
$$ F(\operatorname{id}_X)=\operatorname{id}_{F(X)},\qquad F(g\circ f)=F(g)\circ F(f) $$
を満たすことを要求する。通常は括弧を省いて $FX,Ff$ とも書く。

反変関手

$\mathcal C^{\mathrm{op}}$ は対象を変えず、射の向きと合成の順序を反転した反対圏である。反変関手（contravariant functor）とは関手 $F\colon\mathcal C^{\mathrm{op}}\to\mathcal D$ のことであり、$\mathcal C$ の射 $f\colon X\to Y$ を $Ff\colon FY\to FX$ に送り、
$$ F(g\circ f)=F(f)\circ F(g) $$
を満たす。これと区別するとき、はじめに定義した関手を共変関手という。

「構成が関手的である」と言うには、対象をどう作るかだけでなく、射をどう移すかも必要になる。しかも、恒等射と合成を保たなければならない。

例と反例

忘却関手と包含関手

$\mathbf{Grp}$ を群と群準同型の圏、$\mathbf{Set}$ を集合と写像の圏とする。群をその台集合に、準同型を同じ写像に送る忘却関手 $U\colon\mathbf{Grp}\to\mathbf{Set}$ は関手である。恒等写像も合成写像も変えていないからである。
アーベル群と準同型の圏 $\mathbf{Ab}$ から $\mathbf{Grp}$ への包含関手も、対象と射をそのまま送る関手である。

Hom 関手

各 Hom が集合である圏 $\mathcal C$ と対象 $A$ を固定する。関手
$$ \operatorname{Hom}_{\mathcal C}(A,-)\colon\mathcal C\to\mathbf{Set} $$
は、対象 $X$ を $\operatorname{Hom}_{\mathcal C}(A,X)$ に、射 $f\colon X\to Y$ を後合成の写像 $h\longmapsto f\circ h$ に対応させる関手である。恒等射の法則は $\operatorname{id}_X\circ h=h$、合成の法則は $(g\circ f)\circ h=g\circ(f\circ h)$ による。
同様に $\operatorname{Hom}_{\mathcal C}(-,A)\colon\mathcal C^{\mathrm{op}}\to\mathbf{Set}$ は前合成による反変関手である。これらは表現可能関手の基本例である。

冪集合と逆像

集合 $X$ の部分集合全体を冪集合 $\mathcal P(X)$ とする。写像 $f\colon X\to Y$ に逆像写像
$$ f^{-1}\colon\mathcal P(Y)\to\mathcal P(X),\quad B\longmapsto\{x\in X\mid f(x)\in B\} $$
を対応させると反変関手を得る。実際、任意の $C\subset Z$ について
$(g\circ f)^{-1}(C)=f^{-1}(g^{-1}(C))$ であり、恒等写像の逆像は元の集合である。ここで $f^{-1}$ は逆写像の存在を意味しない。

反例：群の中心はすべての準同型に関手化できない

群 $G$ の中心（群の中心）を $Z(G)=\{z\in G\mid zg=gz\text{ for all }g\in G\}$ とする。対象を必ず $G\mapsto Z(G)$ に送る関手 $\mathbf{Grp}\to\mathbf{Grp}$ は存在しない。
位数 $2$ の巡回群 $C_2$ を対称群 $S_3$ の部分群 $\langle(12)\rangle$ に入れる準同型を $i$、置換の符号を $C_2$ 値と見た準同型を $p$ とすると、$p\circ i=\operatorname{id}_{C_2}$ である。一方 $Z(C_2)=C_2,\ Z(S_3)=\{1\}$ である。後者は、中心の置換が $(12)$ と $(23)$ の両方と可換なら、それぞれの台 $\{1,2\},\{2,3\}$ を保ち、結局各点を固定することから分かる。
仮にそのような関手 $F$ があれば、$F(p)\circ F(i)$ は自明群を経由するので自明準同型になる。しかし関手の法則から $\operatorname{id}_{C_2}$ に等しくなり、矛盾する。単に「準同型の制限ではうまくいかない」より強い障害である。

基本性質

関手の合成

$F\colon\mathcal C\to\mathcal D,\ G\colon\mathcal D\to\mathcal E$ の合成 $GF$ は関手である。対象と射を変えない対応 $\operatorname{Id}_{\mathcal C}$ も関手であり、関手の合成は結合的である。

関手の法則を二段階で適用する

射 $f,g$ について
$$ GF(g\circ f)=G(Fg\circ Ff)=GFg\circ GFf $$
であり、恒等射についても二つの関手の法則を順に適用する。恒等関手の法則は定義通りである。三つの関手の合成は、対象にも射にも同じ順序で三つの対応を適用するので結合的である。

同型射の保存

関手は同型射を同型射に送る。

逆射の保存

$f$ の逆射を $g$ とすると、$Fg\circ Ff=F(gf)=\operatorname{id}$、$Ff\circ Fg=\operatorname{id}$ なので $Fg$ は $Ff$ の逆射である。

関手 $F$ が充満忠実関手であるとき、$Ff$ が同型なら $f$ も同型であることは、その記事が証明をもつ。忠実関手・充満関手の定義も同記事を参照する。忘却関手 $\mathbf{Grp}\to\mathbf{Set}$ は忠実だが充満でない。たとえば $C_2$ の二元を交換する写像は単位元を保たない。一方、包含 $\mathbf{Ab}\to\mathbf{Grp}$ は充満忠実である。これらの用語と同型の性質は Rie16 §§1.3, 1.5 で扱われる。

使い方と補足

同じ始点・終点を結ぶ射の合成が等しい図式を可換図式という。関手を適用すると、両合成の等式がそのまま移るので可換性は保たれる。ただし、忠実性なしに逆向きの結論は言えない。非自明な群を一対象圏とみなし、一対象一射の圏へ送れば、異なる射も同じ射になる。

豊穣圏での関手

モノイダル圏 $(\mathcal V,\otimes,I)$ 上の豊穣圏は、Hom 集合の代わりに $\mathcal V$ の対象 $\mathcal C(X,Y)$ を持ち、合成を $\mathcal C(Y,Z)\otimes\mathcal C(X,Y)\to\mathcal C(X,Z)$、恒等射を $I\to\mathcal C(X,X)$ で与える。豊穣関手は対象の対応と $\mathcal V$ の射
$\mathcal C(X,Y)\to\mathcal D(FX,FY)$ からなり、合成と恒等射に整合する。$\mathcal V=\mathbf{Set}$、$\otimes=\times$ とすれば上の定義に戻る。単体的圏の場合には、Hom 上の写像そのものが単体的集合の写像である。Kel82 §§1.1–1.3

∞圏での関手

準圏とは、単体的集合のうちすべての内角 $\Lambda_i^n\subset\Delta^n$（$0< i< n$）を埋められるものをいう。このモデルの $(\infty,1)$-圏の関手は単体的集合の写像である。辺だけでなく、合成を表す三角形とその高次の整合性も一緒に移す。通常の圏の脈体は、$n$ 単体を $n$ 本の合成可能な射の列で与えたものであり、通常の関手は各列へ関手を適用して脈体の写像を定める。HTT09 §§1.1.2, 1.2.7
一般の準圏間の関手を、単なるホモトピー圏間の関手だけで記述することはできない。対応する詳説は関手(∞圏)で扱う。