合同ゼータ関数

$X$ は有限個のアフィン開集合 $U_i=\operatorname{Spec}A_i$ で覆われ、各 $A_i$ は有限生成 $\mathbb{F}_q$ 代数なので $A_i\cong\mathbb{F}_q[x_1,\dots,x_{n_i}]/I_i$ と書ける。$\operatorname{Spec}\mathbb{F}_{q^m}$ は 1 点なので、射 $\operatorname{Spec}\mathbb{F}_{q^m}\to X$ はいずれかの $U_i$ を通る。よって $X(\mathbb{F}_{q^m})=\bigcup_iU_i(\mathbb{F}_{q^m})$ であり、$U_i(\mathbb{F}_{q^m})$ は $I_i$ の元をすべて零にする $a\in\mathbb{F}_{q^m}^{n_i}$ の集合だから、$q^{mn_i}$ 個以下である。

$x$ を含むアフィン開集合 $U=\operatorname{Spec}A$（$A$ は有限生成 $\mathbb{F}_q$ 代数）をとり、$x$ に対応する素イデアルを $\mathfrak{p}$ とする。$x$ が $X$ の閉点なら $U$ の閉点でもあるから $\mathfrak{p}$ は極大イデアルで、$\kappa(x)=A/\mathfrak{p}$ は体であって $\mathbb{F}_q$ 代数として有限生成だから、Hilbertの零点定理（Zariski の補題）により $\mathbb{F}_q$ 上有限次である。逆に $\kappa(x)$ が $\mathbb{F}_q$ 上有限次とすると、整域 $A/\mathfrak{p}$ は $\kappa(x)$ の部分環だから $\mathbb{F}_q$ 上有限次元であり、有限次元の整域は体（$a\ne0$ による掛け算は単射な線形写像ゆえ全射）なので $\mathfrak{p}$ は極大、すなわち $x$ は $U$ の閉点である。この議論は $x$ を含む任意のアフィン開集合に対して成り立つ。$y$ を $X$ における $\{x\}$ の閉包の点とし、$y$ を含むアフィン開集合 $V$ をとると、$V$ は $y$ の開近傍なので $x\in V$ であり、$x$ は $V$ の閉点だから $y=x$ である。よって $x$ は $X$ の閉点である。

$\operatorname{Spec}\mathbb{F}_{q^m}\to X$ を与えることは点 $x\in X$ と $\mathbb{F}_q$ 準同型 $\kappa(x)\to\mathbb{F}_{q^m}$ の組を与えることと同じである。体の準同型は単射なので $\kappa(x)$ は $\mathbb{F}_{q^m}$ の部分体と同型、したがって $\mathbb{F}_q$ 上有限次であり、lem-congruence-zeta-closed-point により $x$ は閉点である。閉点 $x$ について $\kappa(x)\cong\mathbb{F}_{q^{\deg x}}$ であり、$\mathbb{F}_q$ 準同型 $\mathbb{F}_{q^d}\to\mathbb{F}_{q^m}$ の個数は、$d\mid m$ なら $d$（像は $\mathbb{F}_{q^m}$ のただ一つの位数 $q^d$ の部分体であり、準同型は $\mathbb{F}_{q^d}$ のGalois群（位数 $d$ の巡回群）の元の個数だけある）、$d\nmid m$ なら $0$ である（有限体の記事の部分体の対応）。よって次数 $d$ の閉点の個数を $a_d$ とすると
$$ N_m=\sum_{d\mid m}d\,a_d $$
であり、$d\,a_d\le N_d<\infty$ から各 $a_d$ は有限である。これを定義に代入すると
$$ \sum_{m\ge1}\frac{N_m}{m}t^m=\sum_{d\ge1}a_d\sum_{k\ge1}\frac{d\,t^{dk}}{dk}=\sum_{d\ge1}a_d\sum_{k\ge1}\frac{t^{dk}}{k}=\sum_{d\ge1}a_d\bigl(-\log(1-t^d)\bigr) $$
となる（$m=dk$ と書き直した。右辺の $d$ についての和は $t$ 進位相で収束する）。$\exp$ をとれば
$$ Z(X,t)=\prod_{d\ge1}\exp\bigl(-\log(1-t^d)\bigr)^{a_d}=\prod_{d\ge1}(1-t^d)^{-a_d}=\prod_{x\in|X|}(1-t^{\deg x})^{-1} $$
である。各因子 $(1-t^{\deg x})^{-1}=\sum_{n\ge0}t^{n\deg x}$ の係数は非負整数で、積を展開すると $t^n$ の係数は $\sum_xn_x\deg x=n$ をみたす $(n_x)_x$ の個数になる。最後に、$\log Z(X,t)$ の $t^m$ の係数が $N_m/m$ なので $N_m$ は $Z(X,t)$ から決まる。

1. $\operatorname{Spec}\mathbb{F}_{q^m}$ は 1 点だから、射 $\operatorname{Spec}\mathbb{F}_{q^m}\to X$ の像は $Y$ か $U$ のいずれか一方に入る。像が $U$ に入る射は $U$ への射と同じである。像が $Y$ に入る射は、$\operatorname{Spec}\mathbb{F}_{q^m}$ が被約スキームなので被約閉部分スキーム $Y$ を一意に経由する（Har77 II 演習 3.11）。よって $N_m(X)=N_m(Y)+N_m(U)$ であり、$\exp$ が和を積に変えるので主張が従う。
2. ファイバー積の普遍性により $(X\times_{\mathbb{F}_q}\mathbb{A}^n)(\mathbb{F}_{q^m})=X(\mathbb{F}_{q^m})\times\mathbb{A}^n(\mathbb{F}_{q^m})$ なので $N_m(X\times\mathbb{A}^n)=q^{nm}N_m(X)$ であり、$\log Z(X\times\mathbb{A}^n,t)=\sum_mN_m(X)(q^nt)^m/m=\log Z(X,q^nt)$ である。
3. $\mathbb{F}_{q^r}$ の $m$ 次拡大は $\mathbb{F}_{q^{rm}}$ であり、ファイバー積の普遍性により $\operatorname{Hom}_{\mathbb{F}_{q^r}}(\operatorname{Spec}\mathbb{F}_{q^{rm}},X_r)=\operatorname{Hom}_{\mathbb{F}_q}(\operatorname{Spec}\mathbb{F}_{q^{rm}},X)$ だから、$X_r$ の $m$ 番目の点の個数は $N_{rm}(X)$ である。他方 $\sum_{\zeta\in\mu_r}\zeta^m$ は $r\mid m$ なら $r$、そうでなければ $0$ である（$\zeta_r$ を原始 $r$ 乗根とすると $\sum_\zeta\zeta^m=\sum_{j=0}^{r-1}\zeta_r^{jm}$ は $\zeta_r^m\ne1$ のとき等比数列の和 $(\zeta_r^{rm}-1)/(\zeta_r^m-1)=0$）。したがって
   $$ \log\prod_{\zeta\in\mu_r}Z(X,\zeta t)=\sum_{m\ge1}\frac{N_m(X)}{m}t^m\sum_{\zeta\in\mu_r}\zeta^m=\sum_{k\ge1}\frac{N_{rk}(X)}{rk}\,r\,t^{rk}=\sum_{k\ge1}\frac{N_{rk}(X)}{k}(t^r)^k=\log Z(X_r,t^r) $$
   である。

$F_X$ は位相空間上で恒等なので、$X$ の任意の開集合 $U$ について $F_X(U)\subset U$ であり、$F_X|_U$ は $U$ の絶対 Frobenius である。$\operatorname{Spec}\bar{\mathbb{F}}_q$ は 1 点だから $X(\bar{\mathbb{F}}_q)$ はアフィン開集合 $U_i$ の $U_i(\bar{\mathbb{F}}_q)$ の和集合であり、$X(\mathbb{F}_{q^m})$ も同様である。ゆえに $X=\operatorname{Spec}A$、$A=\mathbb{F}_q[x_1,\dots,x_n]/I$ の場合に示せばよい。このとき $X(\bar{\mathbb{F}}_q)$ は $I$ の元をすべて零にする $a=(a_1,\dots,a_n)\in\bar{\mathbb{F}}_q^n$ の集合（$a$ に対応する射は $x_i\mapsto a_i$）であり、$F_X^\#(x_i)=x_i^q$ だから $F$ の作用は $a\mapsto(a_1^q,\dots,a_n^q)$ である。よって $F^m(a)=a$ は $a_i^{q^m}=a_i$（$1\le i\le n$）と同値であり、$\mathbb{F}_{q^m}$ は $\bar{\mathbb{F}}_q$ の中で $x^{q^m}=x$ の根全体からなる部分体なので（有限体の記事の存在と一意性）、これは $a\in\mathbb{F}_{q^m}^n$、すなわち $a\in X(\mathbb{F}_{q^m})$ と同値である。

$f=\sum_{n\ge0}a_nt^n$（$a_n\in K$）とし、$Q=\sum_{j=0}^{M}c_jt^j\in L[t]$、$Q\ne0$、$P\in L[t]$、$\deg P\le N$ で $Qf=P$ とする。$Qf$ の $t^n$ の係数は $\sum_{j=0}^{M}c_ja_{n-j}$（$n-j<0$ のとき $a_{n-j}=0$）だから、$Qf=P$ の条件は
$$ \sum_{j=0}^{M}c_ja_{n-j}=0\qquad(n>N) $$
と同値である。これは未知数 $(c_0,\dots,c_M)$ についての、$K$ に係数をもつ斉次連立1次方程式である（方程式は無限個だが、未知数は $M+1$ 個）。その $K$ 上の解空間の次元は $M+1$ から係数行列の階数を引いたものであり、行列の階数は小行列式の消滅で決まるから体を $K$ から $L$ に広げても変わらない（有限個の方程式を選んで階数を実現できる）。$L$ 上に非自明解 $(c_j)$ があるので $K$ 上にも非自明解 $(c^{\prime}_j)$ があり、$Q^{\prime}:=\sum_jc^{\prime}_jt^j\in K[t]$、$Q^{\prime}\ne0$ に対して $Q^{\prime}f$ は次数 $N$ 以下の多項式 $P^{\prime}\in K[t]$ になる。よって $f=P^{\prime}/Q^{\prime}\in K(t)$ である。