偏屈層

位相空間（またはスキーム・代数多様体）$X$ の層別（stratification）とは、$X$ を有限個の部分空間（層、stratum）$X=\bigsqcup_{\alpha\in A}X_\alpha$ へ分割したものであって、各 $X_\alpha$ が $X$ の局所閉集合であり、各 $X_\alpha$ の閉包が層の合併になっているものをいう。本記事では $X$ を複素代数多様体（または複素解析空間）とし、各層 $X_\alpha$ は $X$ の局所閉部分多様体（滑らかな部分空間）であると仮定する。$\dim X_\alpha$ は複素次元を表す。
なお、ここでいう「層」（stratum）は $X$ の部分空間であって、偏屈層・コホモロジー層・局所定数層などの「層」（sheaf）とは別の概念である。「層別」はこの意味の「層」への分割を指す語であり、$X_\alpha$ のように空間の部分を指していれば stratum、$\mathcal H^k(F)$ のように空間の上の対象を指していれば sheaf と読み分ければよい。
係数体 $K$（たとえば $K=\mathbb{Q}$）を固定し、$X$ 上の $K$ ベクトル空間の層の有界導来圏を $D^b(X)$ と書く。$D^b(X)$ の対象 $F$ がこの層別に関して構成可能（constructible）であるとは、各コホモロジー層 $\mathcal H^k(F)$ を各層 $X_\alpha$ に制限したもの $\mathcal H^k(F)|_{X_\alpha}$ が有限階数の局所定数層になることをいう。ある層別に関して構成可能な対象のなす $D^b(X)$ の充満部分圏を $D^b_c(X)$ と書き、その対象を構成可能複体（constructible complex）という（層・構成可能層の理論そのものの詳細は本記事では立ち入らず、標準的な文献に譲るBBD82）。

層別 $\{X_\alpha\}_{\alpha\in A}$ に対するパーバーシティ（perversity）とは、関数 $p\colon A\to\mathbb{Z}$ のことをいう。とくに $p(\alpha):=-\dim_{\mathbb{C}}X_\alpha$（各層の複素次元の符号を反転したもの）で与えられるものを中間パーバーシティ（middle perversity）という。

層別 $\mathcal S\colon X=\bigsqcup_{\alpha\in A}X_\alpha$ をもつ空間 $X$ とパーバーシティ $p$ に対し、各層の包含を $i_\alpha\colon X_\alpha\hookrightarrow X$ と書き、$i_\alpha^*$ を制限（逆像）、$i_\alpha^!$ をその右随伴である例外逆像（六演算）とする。$D^b_{\mathcal S}(X)\subset D^b_c(X)$ をこの層別 $\mathcal S$ に関して構成可能な複体のなす充満部分圏とする。このとき
$$ {}^pD^{\le0}(X):=\bigl\{F\in D^b_{\mathcal S}(X)\ \bigm|\ \mathcal H^k(i_\alpha^*F)=0\ (k>p(\alpha))\text{、すべての }\alpha\in A\text{ について}\bigr\} $$
$$ {}^pD^{\ge0}(X):=\bigl\{F\in D^b_{\mathcal S}(X)\ \bigm|\ \mathcal H^k(i_\alpha^!F)=0\ (k< p(\alpha))\text{、すべての }\alpha\in A\text{ について}\bigr\} $$
と定める。前者の条件を支持条件（support condition）、後者を余支持条件（cosupport condition）という。この組 $({}^pD^{\le0}(X),{}^pD^{\ge0}(X))$ は、$D^b_{\mathcal S}(X)$ を三角圏とみたときのt構造を与える（BBD82 §2.1、本記事では証明を割愛する）。中間パーバーシティのように次元だけで決まり層別の細分と両立するパーバーシティに対しては、細分に関する極限をとることでこの t構造は $D^b_c(X)$ 全体の t構造に拡張される（BBD82 §2.2）。以下、$\operatorname{Perv}(X)$ を $D^b_c(X)$ 上で述べるときはこの拡張の意味である。これを $X$ 上の（パーバーシティ $p$ に関する）偏屈t構造（perverse t-structure）といい、その心
$$ \operatorname{Perv}(X):={}^pD^{\le0}(X)\cap{}^pD^{\ge0}(X) $$
の対象を、パーバーシティ $p$ に関する偏屈層（perverse sheaf）という。中間パーバーシティに関するものを、単に中間偏屈層ということが多い。