トレース作用素

$a\in C_c^1(\mathbb{R}^{N-1})$ を $0$ でない関数、$\rho\in C_c^1(\mathbb{R})$ を $\rho(0)=1$ をみたす関数とし、$u_n(x',x_N):=a(x')\rho(nx_N)$ とおく。$u_n\in\mathcal{D}$ で、境界値はつねに $u_n(\cdot,0)=a$ である。一方、変数変換 $s=nx_N$ により
$$ \|u_n\|_{L^p(\mathbb{R}^N_+)}^p=\|a\|_{L^p}^p\int_0^\infty|\rho(nx_N)|^p\,dx_N=\frac1n\|a\|_{L^p}^p\int_0^\infty|\rho(s)|^p\,ds\longrightarrow0 $$
である。有界な拡張 $\Gamma$ があれば $\|a\|_{L^p}=\|\Gamma u_n\|_{L^p}\le C\|u_n\|_{L^p}\to0$ となって矛盾する。$\square$

$x'$ を固定する。$p=1$ のときは $u(x',0)=-\int_0^\infty\partial_Nu(x',x_N)\,dx_N$ から $|u(x',0)|\le\int_0^\infty|\partial_Nu|\,dx_N$ である。$p>1$ のとき $G(s)=|s|^p$ は $C^1$ 級で $G'(s)=p|s|^{p-2}s$ なので、$x_N\mapsto|u(x',x_N)|^p$ は $C^1$ 級でコンパクトな台をもち、
$$ |u(x',0)|^p=-\int_0^\infty\partial_N\bigl(|u|^p\bigr)\,dx_N\le p\int_0^\infty|u|^{p-1}|\partial_Nu|\,dx_N\le\int_0^\infty\bigl((p-1)|u|^p+|\partial_Nu|^p\bigr)\,dx_N $$
である。最後は Young の不等式 $ab\le\frac{p-1}{p}a^{p/(p-1)}+\frac1pb^p$ を $a=|u|^{p-1}$、$b=|\partial_Nu|$ に当てた。$x'$ で積分すれば（Fubiniの定理）最初の不等式を得る。$\max\{p-1,1\}\le p$ から 2 つ目が従う。$\square$

lem-trace-estimate により、$\mathcal{D}$ 上の線形写像 $u\mapsto u(\cdot,0)$ はノルムが $p^{1/p}$ 以下の有界作用素である。$\mathcal{D}$ は $W^{1,p}(\mathbb{R}^N_+)$ で稠密で（rem-trace-density）、$L^p(\mathbb{R}^{N-1})$ は完備なので、有界作用素は連続性によって全体へただ 1 通りに拡張でき、拡張のノルムも $p^{1/p}$ 以下である。具体的には、$u_n\in\mathcal{D}$、$u_n\to u$ のとき $u_n(\cdot,0)$ は評価により $L^p$ で Cauchy 列であり、その極限が近似列によらないことも同じ評価から従う。一意性は、$\mathcal{D}$ 上で一致する 2 つの有界作用素が稠密性により一致することによる。$\square$

要点：$u$ を少し下へずらした $u_h(x):=u(x',x_N+h)$ は境界の外側まで定義されているので、軟化子と切り落としで $\mathcal{D}$ の関数 $w$ に近づけられる。そのとき $W^{1,p}$ での近さと、境界上での局所一様な近さを同時に得られる。

$u\in\mathcal{D}$ のときは、$u\varphi$ が $C^1$ 級でコンパクトな台をもつので、$i\le N-1$ では $x_i$ について $\mathbb{R}$ 上で積分すると $\int\partial_i(u\varphi)\,dx_i=0$、$i=N$ では $\int_0^\infty\partial_N(u\varphi)\,dx_N=-u(x',0)\varphi(x',0)$ であり、残りの変数で積分すればよい。一般の $u$ には、$\mathcal{D}$ の近似列をとって極限をとる。各項は $u$ について $W^{1,p}$ ノルムで連続である（Hölder の不等式と thm-trace-main）。$\square$

$C_c^\infty(\mathbb{R}^N_+)\subset\mathcal{D}$ の元は境界の近くで $0$ なのでトレースは $0$ であり、$\gamma$ の連続性から $W_0^{1,p}\subset\ker\gamma$ である。
逆に $\gamma u=0$ とし、$u$ を $\mathbb{R}^N\setminus\mathbb{R}^N_+$ で $0$ とおいて延ばした関数を $\tilde u$ とする。prop-trace-green で境界項が消えるので、すべての $\varphi\in C_c^1(\mathbb{R}^N)$ と $1\le i\le N$ について $\int_{\mathbb{R}^N}\tilde u\,\partial_i\varphi=-\int_{\mathbb{R}^N}\widetilde{\partial_iu}\,\varphi$ が成り立つ。すなわち $\tilde u\in W^{1,p}(\mathbb{R}^N)$ で、弱微分は $\partial_iu$ を $0$ で延ばしたものである。
あとは $\tilde u$ を $\mathbb{R}^N_+$ の内側へずらしてから滑らかにする。$h>0$ について $\tilde u_h(x):=\tilde u(x',x_N-h)$ は $\{x_N\ge h\}$ の外で $0$ で、$L^p$ での平行移動の連続性から $h\to0+$ で $\tilde u_h\to\tilde u$（$W^{1,p}(\mathbb{R}^N)$）である。軟化子 $\rho_\varepsilon$（台が半径 $\varepsilon< h/2$ の球）との畳み込み $\rho_\varepsilon*\tilde u_h$ は $C^\infty$ 級で $\{x_N\ge h/2\}$ の外で $0$、$\varepsilon\to0$ で $\tilde u_h$ に $W^{1,p}$ 収束する。最後に $\zeta\in C_c^\infty(\mathbb{R}^N)$ を原点の近くで $1$、$0\le\zeta\le1$ とし、$\zeta(x/R)$ を掛けると $C_c^\infty(\mathbb{R}^N_+)$ の元になり、$R\to\infty$ で $W^{1,p}$ 収束する（$|\nabla\zeta(x/R)|\le\|\nabla\zeta\|_\infty/R$ と優収束定理）。$h,\varepsilon,R$ を順に選べば、$C_c^\infty(\mathbb{R}^N_+)$ の元で $u$ に $W^{1,p}(\mathbb{R}^N_+)$ ノルムでいくらでも近いものがとれる。よって $u\in W_0^{1,p}(\mathbb{R}^N_+)$ である。$\square$

段 1（評価）．$u\in\mathcal{D}$ について $x'$ 方向だけの Fourier 変換 $v(\xi,t):=\int e^{-ix'\cdot\xi}u(x',t)\,dx'$ をとる。$\xi$ を固定すると $t\mapsto v(\xi,t)$ は $[0,\infty)$ 上の $C^1$ 級関数でコンパクトな台をもち、$\partial_tv$ は $\partial_Nu$ の変換である。よって
$$ |v(\xi,0)|^2=-\int_0^\infty\partial_t|v|^2\,dt\le2\int_0^\infty|v|\,|\partial_tv|\,dt\le\langle\xi\rangle\int_0^\infty|v|^2\,dt+\frac{1}{\langle\xi\rangle}\int_0^\infty|\partial_tv|^2\,dt $$
であり、$\langle\xi\rangle$ を掛けて $\xi$ で積分し、各 $t$ で Plancherel の定理を使うと（$\partial_iu$ の変換は $i\xi_iv$）
$$ \|u(\cdot,0)\|_{H^{1/2}}^2\le(2\pi)^{-d}\int_0^\infty\!\!\int\bigl((1+|\xi|^2)|v|^2+|\partial_tv|^2\bigr)\,d\xi\,dt=\|u\|_{H^1(\mathbb{R}^N_+)}^2 $$
を得る。$u\in H^1$ の一般の場合は、$\mathcal{D}$ の近似列のトレースが $H^{1/2}$ で Cauchy 列になり、その極限は $L^2$ での極限 $\gamma u$ と一致する。よって $\gamma u\in H^{1/2}$ で評価が成り立つ。
段 2（持ち上げ）．$g$ を急減少関数（Schwartz 関数）とし（このとき $\hat g$ も急減少関数である）、
$$ Eg(x',t):=(2\pi)^{-d}\int e^{ix'\cdot\xi}\,\hat g(\xi)\,e^{-t\langle\xi\rangle}\,d\xi\qquad(t\ge0) $$
とおく。積分記号下の微分により $Eg$ は閉半空間上で $C^\infty$ 級、$Eg(\cdot,0)=g$ で、$x'$ 方向の変換は $\hat g(\xi)e^{-t\langle\xi\rangle}$ である。Plancherel の定理と $\int_0^\infty e^{-2t\langle\xi\rangle}dt=1/(2\langle\xi\rangle)$ から
$$ \|Eg\|_{H^1}^2=(2\pi)^{-d}\int|\hat g(\xi)|^2\,\frac{1+|\xi|^2+\langle\xi\rangle^2}{2\langle\xi\rangle}\,d\xi=(2\pi)^{-d}\int\langle\xi\rangle\,|\hat g(\xi)|^2\,d\xi=\|g\|_{H^{1/2}}^2 $$
である（$x_N=t$ 方向の微分が $-\langle\xi\rangle$ 倍に、$x_i$ 方向の微分が $i\xi_i$ 倍に当たる）。$\gamma(Eg)=g$ は、$Eg$ と $\varphi\in C_c^1(\mathbb{R}^N)$ について各 $x'$ で $\int_0^\infty\partial_t(Eg\,\varphi)\,dt=-g(x')\varphi(x',0)$ となることから、prop-trace-green の境界項による特徴づけで分かる。
段 3（拡張）．そのような $g$ は $H^{1/2}$ で稠密なので（Fourier 変換で見れば、重み $\langle\xi\rangle$ つきの $L^2$ で急減少関数が稠密であることに当たる）、等長な $E$ は $H^{1/2}$ 全体へ連続に延び、$\gamma\circ E=\mathrm{id}$ も連続性により全体で成り立つ。$\square$

$d=N-1$ 次元の極座標で、$\int\langle\xi\rangle^{-N}d\xi$ は $\int^\infty r^{d-1-N}dr=\int^\infty r^{-2}dr$ と同様に収束し、$\int\langle\xi\rangle^{1-N}d\xi$ は $\int^\infty r^{-1}dr$ と同様に発散する。前者が $(2\pi)^d\|g\|_{L^2}^2$、後者が $(2\pi)^d\|g\|_{H^{1/2}}^2$ である。thm-trace-range により $g$ は像に入らない。$\square$

要点：境界で外を向くベクトル場 $X$（$\Gamma$ の上で $X\cdot n\ge c>0$）と $\lvert\varphi\rvert^p$ の積に発散定理を当て、体積分の側を Young の不等式で押さえる。$p=1$ でも通るように、$\lvert\varphi\rvert^p$ を $(\varphi^2+\delta^2)^{p/2}$ で近づける。

要点：1 は評価と稠密性による。2 は滑らかな関数について発散定理そのもので、極限で一般の $u$ に移す。3 は、トレースが $0$ なら 2 の境界項が消えて零延長が $W^{1,p}(\mathbb{R}^N)$ に入ることから、零延長による $W^{1,p}_0$ の特徴づけで従う。