射影次元

長さ零の完全列は $0\to P_0\to M\to0$ であり、$P_0\to M$ は同型である。逆に $M$ が射影なら $P_0=M$ とすればよい。持上げ条件から直和因子条件を得るには、全ての元を生成元とする自由加群 $F$ から $M$ への全射を作り、恒等写像を持ち上げる。切断 $s:M\to F$ ができ、$F=s(M)\oplus\ker(F\to M)$ となる。逆に自由加群では基底の像を一つずつ持ち上げられ、直和因子への制限で持上げ条件が得られる。$\square$

両全射を $q,q'$ として
$$E=\{(p,p')\in P\oplus P':q(p)=q'(p')\}$$
を作る。$E\to P'$ の射影は全射で核は $K$ である。$P'$ の射影性により分裂して $E\cong K\oplus P'$ となる。他方 $E\to P$ の核は $K'$ で、同様に $E\cong K'\oplus P$ となる。どちらも加群と写像の直接計算であり、有限生成性を用いない。$\square$

射影分解を $P_\bullet\to M,Q_\bullet\to N$ とする。次数零では $P_0$ の射影性を使い $P_0\to M\to N$ を $Q_0\to N$ に沿って持ち上げる。前次数までできたら $f_{i-1}d_P$ の像は $\ker d_Q=\operatorname{im}d_Q$ に入るので、再び射影性で $f_i:P_i\to Q_i$ を作る。
二つの持上げの差を $k_i$ とする。$h_{-1}=0$ として、次数零では $k_0$ の像が増大の核に入るので $d_Qh_0=k_0$ とする。帰納的に $k_i-h_{i-1}d_P$ は $d_Q$ で零になる。前次数の等式と鎖写像性から $d_Qk_i=d_Qh_{i-1}d_P$ となるためである。これを持ち上げて
$$k_i=d_Qh_i+h_{i-1}d_P$$
とできる。Homまたはテンソルを施してもホモトピー等式が保たれ、誘導されるホモロジー写像は一致する。恒等写像の比較を両方向に作れば合成は恒等にホモトピックである。$\square$

$P_1\to K$ を射影分解の次の全射とする。$P_1\to N$ がコサイクルであるとは、$P_2$ の像、すなわち $P_1\to K$ の核を零にすることである。これは $K\to N$ への一意な因子化と同値である。境界は $P\to N$ の制限から来るので商の式を得る。
全ての $N$ で商が零なら、特に $N=K$ として $\mathrm{id}_K$ が $h:P\to K$ の制限となる。従って $K\subset P$ は分裂し、商 $M$ は射影 $P$ の直和因子として射影的である。逆に $M$ が射影なら $P=M$、$K=0$ の表示で商は零である。$\square$

長さ $d$ の分解でHomを計算すれば $i>d$ では項がないので零であり、1から3、3から2が従う。任意の射影分解を固定する。$K_d$ の分解は $\cdots\to P_{d+1}\to P_d\to K_d\to0$ なので、その一次Homコホモロジーは元の複体の $d+1$ 次コホモロジーと同じ核と像の商である。従って
$$\operatorname{Ext}^{d+1}_R(M,N)\cong\operatorname{Ext}^1_R(K_d,N).$$
$d=0$ でもこれは $K_0=M$ とする恒等同定である。2を仮定すると前補題により $K_d$ は射影的になる。分解が任意だったので4を得る。4から、完全列 $0\to K_d\to P_{d-1}\to\cdots\to P_0\to M\to0$ が長さ $d$ の射影分解となり1が従う。$d=0$ では $M$ 自身の射影性を意味する。零加群も全消滅と射影性を満たす。$\square$

$d=0$ なら $N=M$ とすれば恒等写像が非零である。$d>0$ なら、全 $N$ で $\operatorname{Ext}^d(M,N)=0$ と仮定すると前定理を $d-1$ に適用でき、$\operatorname{pd}M\le d-1$ に矛盾する。$\square$

係数加群 $X$ を固定し、入射分解 $X\to I^\bullet$ をとる。各 $I^j$ の入射性から
$$0\to\operatorname{Hom}(N,I^j)\to\operatorname{Hom}(M,I^j)\to\operatorname{Hom}(L,I^j)\to0$$
が完全である。接続写像は、商のサイクルを持ち上げて微分をとることで作る。$dz=\iota(w)$ とすれば $dw=0$ で、$[z'']\mapsto[w]$ となる。代表を境界だけ変えたり持上げを核の元だけ変えても $w$ は境界だけ変わる。中央のサイクルの像が境界なら、その境界の持上げを引くと核のサイクルから来る。接続が零なら $w=da$ を引いてサイクル持上げを作れる。核のサイクルが中央で境界なら、その前像を商へ送って接続の前像を得る。これで三位置の完全性を得る。
従って関連する部分は
$$\operatorname{Ext}^{i-1}(L,X)\to\operatorname{Ext}^{i}(N,X)\to\operatorname{Ext}^{i}(M,X)\to\operatorname{Ext}^{i}(L,X)\to\operatorname{Ext}^{i+1}(N,X).$$
$L,N$ の上限を超える $i$ なら $\operatorname{Ext}^i(M,X)=0$ となる。$M$ の上限と $N$ の上限から一を引いた値の両方を超える $i$ なら $\operatorname{Ext}^i(L,X)=0$ となる。$M$ の上限と $L$ の上限に一を足した値の両方を超える $i$ なら $\operatorname{Ext}^i(N,X)=0$ となる。全係数の消滅判定で三上界を得る。無限の上界は自明であり、負の上界が出る場合は短完全列から対応する加群が零となる端点を別に見る。$\square$

各射影分解を直和すると直和の射影分解になる。直和は有限台の成分ごとに核と像を計算できるので完全性を保ち、射影加群の任意直和も各成分の持上げを選べば射影的である。右辺が有限値 $d$ なら各分解を長さ $d$ に揃えて直和でき、上界を得る。
逆の上界は全係数Extで調べる。二項直和ではHom複体は二項直和となり、$\operatorname{Ext}^i(M_1\oplus M_2,X)=\operatorname{Ext}^i(M_1,X)\oplus\operatorname{Ext}^i(M_2,X)$ である。従って有限射影次元の加群の直和因子も同じ上界を持つ。各 $M_\lambda$ は全直和の直和因子だから、全直和が有限値なら右辺もそれ以下である。右辺が無限なら有限値の全直和は存在せず、等式が従う。$\square$

局所化は完全である。実際、分数の像が零ならある分母が分子を零にするため、元の完全列でその分子の前像を取って局所化した前像を得られる。射影項は自由の直和因子であり、局所化後もその分裂を保つので射影的である。有限長分解を局所化すれば上界を得る。局所化後に $M$ が零なら左辺は $-\infty$ である。$\square$

有限Nakayamaの補題を確認する。有限生成加群 $U$ が $U=\mathfrak mU$ なら生成列 $u$ に対し $u=Du$、$D$ の全成分は $\mathfrak m$ に入る。余因子行列を掛けると $\det(1-D)u=0$ であり、この行列式は法 $\mathfrak m$ で一だから単元である。従って $U=0$。剰余生成元の持上げが生成することは、その生成する部分加群で割ってこの結論を使えばよい。
$M/\mathfrak mM$ の基底を持ち上げて $F_0\to M$ を作る。核 $K_1$ は有限生成である。Noether環の有限自由部分加群が有限生成なことは、最後の座標の像イデアルの生成元を持ち上げ、その核を一つ少ない座標で帰納することで従う。従って $K_1/\mathfrak mK_1$ の基底も持ち上げて有限自由全射 $F_1\to K_1$ を作れる。これを繰り返す。各全射の剰余体上の写像が同型なので、その核は $\mathfrak mF_i$ に入る。よって各分解微分は剰余体で零になり、$k\otimes F_\bullet$ の全微分が零だから表示のTor同型を得る。
有限長 $d$ の射影分解が存在すれば、比較鎖写像とホモトピーによりTorの計算はこの有限分解でも最小分解でも同じである。有限分解では $i>d$ でTorが零だから、特に $k\otimes F_{d+1}=0$ となる。有限Nakayamaにより $F_{d+1}=0$ で、$F_{d+1}\to K_{d+1}$ が全射だから $K_{d+1}=0$ となる。従って最小自由分解は次数 $d$ までで止まる。
逆に $F_d$ までで分解が止まれば、その列は長さ $d$ の自由分解で射影次元は $d$ 以下である。$F_d\ne0$ なら $k\otimes F_d\ne0$ でTorが非零だから、次数 $d-1$ までの分解は存在しない。従って射影次元はちょうど $d$ である。$\square$