代数曲線の3次元射影空間への埋め込み

要点：1 次形式 $\ell\in p^\perp$ を余接空間 $\mathfrak{m}_{\mathbb{P}^n,P}/\mathfrak{m}^2$ の元とみなすと、$T_PY$ は制限 $\mathfrak{m}_{\mathbb{P}^n,P}/\mathfrak{m}^2\to\mathfrak{m}_{Y,P}/\mathfrak{m}_{Y,P}^2$ の核で決まる。その核は $Y=X$ なら $K_P$、$Y$ が直線 $\mathbb{P}(E)$ なら $E^\perp$ なので、$T_PL=T_PX$ は $E=K_P^\perp$ と同値になる。2 は、余接空間と微分形式の同型によって $\operatorname{ord}_P(\ell)\ge2$ を微分の消滅に言い換える。

$O\notin X$ なので、$X$ の点 $P$ について $p\notin ko$ であり、$\langle o,p\rangle$ は 2 次元である。
1：$\varphi(P)=\varphi(Q)$ は、ある $(a,b)\ne(0,0)$ について $ap-bq$ がすべての $\ell\in o^\perp$ で消えること、すなわち $ap-bq\in(o^\perp)^\perp=ko$ と同値である。$ap-bq=co$ で $c=0$ なら $p,q$ が比例して $P=Q$ となるので $c\ne0$ であり、$o\in\langle p,q\rangle$、すなわち $O\in PQ$ である。逆に $o=ap+bq$ なら、$b=0$ とすると $O=P\in X$ となるので $a,b\ne0$ であり、$\ell\in o^\perp$ について $\ell(ap)=-\ell(bq)$ だから $\varphi(P)=\varphi(Q)$ である。
2：条件は $\langle o,p\rangle^\perp\not\subset K_P$ である。prop-ecp-tangent の 1 により $K_P=W_P^\perp$ なので、これは $W_P\not\subset\langle o,p\rangle$ と同値であり、どちらも $p$ を含む 2 次元部分空間だから $W_P\ne\langle o,p\rangle$、すなわち $o\notin W_P$、つまり $O\notin L_P$ と同値である。
3：射影空間への射 の定理「点と接ベクトルの分離による判定」を $\varphi$ に当てる（$X$ は射影スキームである）。$P$ の近くで $\mathcal{O}_X(1)$ を $h|_X$（$h(p)\ne0$）で自明化すると、切断 $\ell|_X$ は関数 $(\ell/h)|_X$ に対応する。よって $\ell|_X$ が $P$ で消えることは $\ell(p)=0$ と同値で、そのとき $\mathfrak{m}_P\mathcal{O}_X(1)_P/\mathfrak{m}_P^2\mathcal{O}_X(1)_P\cong\mathfrak{m}_P/\mathfrak{m}_P^2$ での類が $0$ であることは $\operatorname{ord}_P(\ell)\ge2$ と同値である。
点の分離の条件は、相異なる $P,Q$ ごとに $\ell\in o^\perp$ で $\ell(p)=0\ne\ell(q)$ となるものがあること、すなわち $q\notin\langle o,p\rangle$ である。$q\in\langle o,p\rangle$ は $o\in\langle p,q\rangle$ と同値なので（1 の証明と同じ）、条件は $O\notin PQ$ である。接ベクトルの分離の条件は、$\mathfrak{m}_P/\mathfrak{m}_P^2$ が 1 次元なので、$P$ で消える切断の中に類が $0$ でないものがあること、すなわち 2 の条件であり、$O\notin L_P$ と同値である。2 つの条件がすべての $P,Q$ で成り立つことは、$O$ がどの割線にも接線にも乗らないことである。$\square$

要点：既約成分ごとに、像の閉包の関数体が $W$ の成分の関数体に含まれることから超越次数を比べる。

割線。 $X_i:=X\cap D_+(x_i)$ のうち空でないものをとり、$A_i:=\Gamma(X_i,\mathcal{O}_X)$、$\tilde y^{(i)}:=(x_0/x_i,\dots,x_n/x_i)|_{X_i}\in A_i^{n+1}$ とおく（$\tilde y^{(i)}(P)$ は $P$ の代表ベクトル）。$R_{ij}:=A_i\otimes_kA_j\otimes_kk[c]$ の元
$$ F_b:=\tilde y^{(i)}_b\otimes1\otimes1+(1\otimes\tilde y^{(j)}_b\otimes1)\,c\qquad(0\le b\le n) $$
は、開集合 $W_{ij}:=\bigcup_bD(F_b)\subset\operatorname{Spec}R_{ij}$ の上で射 $g_{ij}=[F_0:\dots:F_n]\colon W_{ij}\to\mathbb{P}^n$ を定める（射影空間への射 の定理「射影空間への射と切断の組」）。$\operatorname{Spec}R_{ij}$ の閉点は組 $(P,Q,c)\in X_i\times X_j\times k$ で、$g_{ij}$ はそれを $[\tilde y^{(i)}(P)+c\,\tilde y^{(j)}(Q)]$ に写す。$P\ne Q$ ならこれは割線 $PQ$ 上の $Q$ 以外の点をすべて動き、$P=Q$ なら $P$ になる。$Q$ 自身は $(Q,P,0)$ の像である。よって $\operatorname{Sec}X$ は $g_{ij}$ たちによる閉点の像の和に等しい。$W_{ij}$ の閉点は $W_{ij}$ で稠密なので（閉点 の定理「有限型スキームにおける閉点の稠密性」）、$\operatorname{Sec}X$ の閉包は $g_{ij}(W_{ij})$ の閉包の和であり、lem-ecp-image-dimension によりその次元は $\max\dim R_{ij}=3$ 以下である。
接線。 prop-ecp-tangent の 2 の開集合 $U$ で $X$ を有限個で覆う。$\Gamma(U,\mathcal{O}_X)[c]$ の元 $\tilde y_b+c\,\tilde y'_b$ は、閉点 $(Q,c)$ で値 $\tilde y(Q)+c\,\tilde y'(Q)\ne0$ をとるので、同様に閉点を $L_Q$ の点 $[\tilde y(Q)+c\,\tilde y'(Q)]$ に写す射 $g_U$ を定める。その像は $L_Q$ から 1 点 $[\tilde y'(Q)]$ を除いたもので、閉包は $L_Q$ を含む。よって $\operatorname{Tan}X$ は $g_U$ の像の閉包の和に含まれ、その次元は $\dim\Gamma(U,\mathcal{O}_X)[c]=2$ 以下である。

要点：割線と接線の一意性の定理により、$\operatorname{Tan}C_0$ の閉包の外はすべて $\operatorname{Sec}C_0$ に入るので $\operatorname{Sec}C_0$ は稠密である。局所閉なら開集合になるが、点 $P\in C_0$ の接線 $L_P$ から $P$ を除いた点は割線に乗らず、$P$ のどの近傍にもそのような点がある。

$S$ を $\operatorname{Sec}X$ の閉包、$T$ を $\operatorname{Tan}X$ の閉包とする。prop-ecp-secant-dimension により $\dim(S\cup T)\le3< n=\dim\mathbb{P}^n$ なので、$G:=\mathbb{P}^n\setminus(S\cup T)$ は空でない開集合であり、閉点 $O\in G$ がとれる（閉点 の定理「有限型スキームにおける閉点の稠密性」）。$X\subset\operatorname{Sec}X\subset S$ なので $O\notin X$ である。$O$ はどの割線にも接線にも乗らないので、thm-ecp-projection の 3 により $O$ からの射影は閉埋め込みである。$G$ のどの閉点も同じ性質をもつ。$\square$

Riemann–Rochの定理 の系「Riemann–Rochの定理の帰結」の 3 により、次数が $2g-2$ より大きい因子 $E$ について $\ell(E)=\deg E+1-g$ である。$d-2\ge2g-1$ なので、任意の点 $P,Q$（$P=Q$ も許す）について
$$ \ell(D)=N+1,\qquad\ell(D-P)=N,\qquad\ell(D-P-Q)=N-1 $$
である。点 $P$ での $D$ の係数を $n_P$、一意化元を $\pi$ とすると $\mathcal{O}_X(D)_P=\pi^{-n_P}\mathcal{O}_{X,P}$ なので、$f\in L(D)$ について、$f$ が $\mathfrak{m}_P\mathcal{O}_X(D)_P$ に入ることは $f\in L(D-P)$ と、$\mathfrak{m}_P^2\mathcal{O}_X(D)_P$ に入ることは $f\in L(D-2P)$ と同値である。
$L(D-P)\ne L(D)$ なので、各点 $P$ で $\mathcal{O}_X(D)_P$ の基底になる $f\in L(D)$ があり、$f_0,\dots,f_N$ は $\mathcal{O}_X(D)$ を生成して射 $X\to\mathbb{P}^N$ を定める。$X$ は射影スキームなので、射影空間への射 の定理「点と接ベクトルの分離による判定」を当てる。相異なる $P,Q$ について $f\in L(D-P)\setminus L(D-P-Q)$ は $P$ で消え $Q$ で消えないので、点が分離される。$f\in L(D-P)\setminus L(D-2P)$ は 1 次元の空間 $\mathfrak{m}_P\mathcal{O}_X(D)_P/\mathfrak{m}_P^2\mathcal{O}_X(D)_P$ で $0$ でない類をもつので、接ベクトルが分離される。よって閉埋め込みである。$\square$

$X$ の種数を $g$ とし、点 $P_0\in X$ をとって $D:=(2g+1)P_0$ とする。lem-ecp-very-ample により閉埋め込み $X\to\mathbb{P}^N$（$N=g+1\ge1$）がある。
$N\le3$ なら、1 次の閉埋め込み $\mathbb{P}^N\to\mathbb{P}^3$、$[a_0:\dots:a_N]\mapsto[a_0:\dots:a_N:0:\dots:0]$（像は $V_+(x_{N+1},\dots,x_3)$）と合成すればよい。
$N\ge4$ とする。像 $X_N\subset\mathbb{P}^N$ は $X$ と同型な閉部分スキームなので、それ自身が曲線である。thm-ecp-lower-dimension により、点からの射影で閉埋め込み $X_N\to\mathbb{P}^{N-1}$ が得られ、その像 $X_{N-1}$ も $X$ と同型な曲線である。これを $N-3$ 回くり返すと $X\cong X_3\subset\mathbb{P}^3$ を得る。閉埋め込みの合成は閉埋め込みである（閉埋め込み の命題「閉埋め込みの合成」）。$\square$