田中の公式

1。 $H^n,H'^m$ がともに $H$ に近づく列なら、伊藤の公式 の定理「伊藤積分の存在と等長性」と線形性から $E[(\int H^n\,dB-\int H'^m\,dB)^2]=E\int(H^n-H'^m)^2\,dt\to0$ である。よって $\int H^n\,dB$ は Cauchy 列で、極限は列によらない。期待値 $0$ と等長性は $L^2$ の極限に移る。閉包の閉包が閉包であることは、各 $H^{(k)}$ に近い $\mathcal L_T$ の元を選ぶ対角線論法による。

2。 $H^n\in\mathcal L_T$、$E\int(H^n-H)^2\to0$ とし、確率微分方程式 の定理「伊藤積分の連続な版と極大不等式」の連続な版 $I^n$ をとる。同じ定理を $H^n-H^m$ に当てて $E[\sup_t\lvert I^n_t-I^m_t\rvert^2]\le4E\int(H^n-H^m)^2\,dt$ である。部分列をとって右辺を $8^{-k}$ 以下にすると、Chebyshev の不等式と Borel–Cantelliの補題 から、確率 $1$ で $I^{n_k}$ は一様に Cauchy 列になる。その極限を $I$ とし、収束しない確率 $0$ の事象の上では $I\equiv0$ とおく（$\mathcal F_t$ は確率 $0$ の事象を含むので $I$ は適合する）。各 $t$ で $I^{n_k}_t$ は $\int_0^tH\,dB$ に $L^2$ で、$I_t$ に確率 $1$ で収束するので両者は確率 $1$ で等しい。極大不等式は Fatouの補題 で極限に移る。

3。 $g$ の不連続点の集合を $D$、$M:=\sup\lvert g\rvert$ とする。$n$ が大きいとき、$D$ の各点 $d$ の $1/n$ 近傍で $g$ を両端の値 $g(d\pm1/n)$ を結ぶ 1 次関数に置き換えたものを $g_n$ とすると、$g_n$ は連続で $\lvert g_n\rvert\le M$、近傍の外では $g_n=g$ である。$g_n(B_t)$ は適合し道が連続で、$s\to t$ で $g_n(B_s)\to g_n(B_t)$ が各点で成り立ち有界なので、優収束定理 により $L^2$ 連続であり、$g_n(B)\in\mathcal L_T$ である。$t>0$ では $B_t$ は正規分布に従うので $P(B_t\in D)=0$ であり、$E\int_0^T(g_n(B_t)-g(B_t))^2dt\le4M^2\int_0^TP(\operatorname{dist}(B_t,D)< 1/n)\,dt\to0$（優収束定理）である。可測性は、道の連続性から $(t,\omega)\mapsto B_t(\omega)$ が可測であることによる。

4。 まず $H\in\mathcal L_T$ とする。$\psi_n\colon[0,T]\to[0,1]$ を、$[0,u]$ と $[v,T]$ で $0$、$[u+\frac1n,v-\frac1n]$ で $1$、その間は 1 次関数とする連続関数とし、$K^n:=\xi\psi_nH$ とおく。$t\le u$ では $K^n_t=0$、$t>u$ では $\xi$ は $\mathcal F_u\subset\mathcal F_t$-可測なので $K^n$ は適合し、道は連続、$\xi$ が有界なので $L^2$ 連続であり、$K^n\in\mathcal L_T$ である。左端の和は $S_\Pi(K^n)=\xi S_\Pi(\psi_nH)$ なので、$\int K^n\,dB=\xi\int\psi_nH\,dB$ である。$n\to\infty$ で $K^n\to\xi1_{(u,v]}H$、$\psi_nH\to1_{(u,v]}H$（$L^2(dt\times P)$、優収束定理）なので、1 から $\xi1_{(u,v]}H\in\overline{\mathcal L}_T$ で、その積分は $\xi\int1_{(u,v]}H\,dB=\xi(\int_0^vH\,dB-\int_0^uH\,dB)$ である（$1_{(u,v]}=1_{[0,v]}-1_{[0,u]}$ と線形性）。一般の $H\in\overline{\mathcal L}_T$ は、$\mathcal L_T$ の近似列について上の等式を書き、$\xi$ が有界なことと 1 を使って極限に移る。$\square$

ならした式。 $\rho$ を lem-tnk-mollify のものとし、$A^\varepsilon_t:=\int_0^t\rho_\varepsilon(B_s-a)\,ds$ とおく。$f_\varepsilon''$ は有界なので、伊藤の公式 の定理「伊藤の公式」により、各 $t$ で確率 $1$ で $f_\varepsilon(B_t)-f_\varepsilon(0)=\int_0^tf_\varepsilon'(B_s)\,dB_s+A^\varepsilon_t$ である。両辺は（確率積分を連続な版にとると）$t$ について連続なので、有理数の $t$ で成り立てば確率 $1$ ですべての $t$ で成り立つ。

一様な評価。 $I_t:=\int_0^t\operatorname{sgn}(B_s-a)\,dB_s$、$\Lambda_t:=\lvert B_t-a\rvert-\lvert a\rvert-I_t$ とおく。上の式から

$$A^\varepsilon_t-\Lambda_t=\bigl(f_\varepsilon(B_t)-\lvert B_t-a\rvert\bigr)-\bigl(f_\varepsilon(0)-\lvert a\rvert\bigr)-\int_0^t\bigl(f_\varepsilon'(B_s)-\operatorname{sgn}(B_s-a)\bigr)\,dB_s$$

で、最初の 2 項の絶対値は合わせて $2R\varepsilon$ 以下である。lem-tnk-mollify から被積分関数の絶対値は $2\cdot1_{\{\lvert B_s-a\rvert< R\varepsilon\}}$ 以下であり、$P(\lvert B_s-a\rvert< R\varepsilon)\le2R\varepsilon/\sqrt{2\pi s}$（$N(0,s)$ の密度は $1/\sqrt{2\pi s}$ 以下）なので、prop-tnk-extended の 2 の極大不等式から

$$E\Bigl[\sup_{t\le T}\lvert A^\varepsilon_t-\Lambda_t\rvert^2\Bigr]\le8R^2\varepsilon^2+2\cdot4\cdot4\int_0^T\frac{2R\varepsilon}{\sqrt{2\pi s}}\,ds=8R^2\varepsilon^2+\frac{128R\sqrt T}{\sqrt{2\pi}}\,\varepsilon$$

である。$\varepsilon_n:=4^{-n}$ とすると、Chebyshev の不等式と Borel–Cantelliの補題 により、確率 $1$ で $A^{\varepsilon_n}\to\Lambda$ が $[0,T]$ で一様に成り立つ。

局所時間の定義。 $A^\varepsilon$ は $t$ について連続、非減少で $A^\varepsilon_0=0$ なので、一様収束の極限 $\Lambda$ も確率 $1$ で同じ性質をもつ。この事象の上で $L^a:=\Lambda$、残りの確率 $0$ の事象の上で $L^a:\equiv0$ とおく。$\Lambda_t$ は $\mathcal F_t$-可測で、確率 $0$ の事象は $\mathcal F_0$ に入るので、$L^a$ は適合する。$L^a$ の定義から公式が成り立つ。

箱形の核。 上の評価は $\rho$ によらない極限 $\Lambda$ を与えるので、台が有界で連続な $g\ge0$（$c:=\int g>0$）については $\rho=g/c$ に当てて、$\int_0^tg_\varepsilon(B_s-a)\,ds\to cL^a_t$（2 乗平均）である。$0< \delta< 1$ について、連続な $g,h\ge0$ を、$g\le\frac12 1_{(-1,1)}\le h$、$c_g:=\int g\ge1-\delta$、$c_h:=\int h\le1+\delta$ となるようにとる（台形の関数でよい。$1-\delta\le c_g\le1\le c_h\le1+\delta$）。$g_\varepsilon(y):=g(y/\varepsilon)/\varepsilon$ などとし、$X_\varepsilon:=\frac1{2\varepsilon}\int_0^t1_{(a-\varepsilon,a+\varepsilon)}(B_s)\,ds$、$D_\varepsilon:=\int_0^tg_\varepsilon(B_s-a)\,ds$、$U_\varepsilon:=\int_0^th_\varepsilon(B_s-a)\,ds$ とおくと $D_\varepsilon\le X_\varepsilon\le U_\varepsilon$ で、$D_\varepsilon\to c_gL^a_t$、$U_\varepsilon\to c_hL^a_t$（2 乗平均）である。$\eta>0$ とし、$\delta L^a_t\le\eta/2$ のときを考える。$X_\varepsilon>L^a_t+\eta$ なら $U_\varepsilon-c_hL^a_t>\eta-(c_h-1)L^a_t\ge\eta/2$、$X_\varepsilon< L^a_t-\eta$ なら $c_gL^a_t-D_\varepsilon>\eta-(1-c_g)L^a_t\ge\eta/2$ である。よって $\limsup_{\varepsilon\to0}P(\lvert X_\varepsilon-L^a_t\rvert>\eta)\le P(\delta L^a_t>\eta/2)$ で、$\delta\to0$ として右辺は $0$ に近づく。$\square$

$0< s< t$ とし、$[s,t]$ の分割 $s=t_0< \cdots< t_k=t$ について $\varepsilon_j:=\operatorname{sgn}(B_{t_{j-1}})$、$\Delta_j:=B_{t_j}-B_{t_{j-1}}$、$S:=\sum_{j=1}^k\varepsilon_j\Delta_j$ とおく。prop-tnk-extended の 4 から $S=\int_0^TH^\Pi\,dB$、$H^\Pi:=\sum_j\varepsilon_j1_{(t_{j-1},t_j]}$ である。$B_u\ne0$ となる $u\in(s,t)$ では、分割が十分細かければ道の連続性から $u$ を含む小区間の左端でも符号が同じなので $H^\Pi_u\to\operatorname{sgn}(B_u)$ であり、$\{u:B_u=0\}$ は確率 $1$ で Lebesgue 測度 $0$ である。有界なので優収束定理から $E\int_s^t(H^\Pi_u-\operatorname{sgn}(B_u))^2du\to0$ で、等長性から $S\to W_t-W_s$（2 乗平均）である。

$A\in\mathcal F_s$、$\lambda\in\mathbb R$ とし、$S_m:=\sum_{j\le m}\varepsilon_j\Delta_j$ とおく。$1_Ae^{i\lambda S_{m-1}}$ と $\varepsilon_m$ は $\mathcal F_{t_{m-1}}$-可測、$\Delta_m$ は $\mathcal F_{t_{m-1}}$ と独立で $N(0,t_m-t_{m-1})$ に従い、$t_{m-1}\ge s>0$ なので確率 $1$ で $\varepsilon_m^2=1$ である。条件付き期待値 の定理「条件付き期待値の基本性質」から $E[e^{i\lambda\varepsilon_m\Delta_m}\mid\mathcal F_{t_{m-1}}]=e^{-\lambda^2\varepsilon_m^2(t_m-t_{m-1})/2}=e^{-\lambda^2(t_m-t_{m-1})/2}$ なので、$E[1_Ae^{i\lambda S_m}]=e^{-\lambda^2(t_m-t_{m-1})/2}E[1_Ae^{i\lambda S_{m-1}}]$ である。繰り返して $E[1_Ae^{i\lambda S}]=P(A)e^{-\lambda^2(t-s)/2}$ を得る。$\lvert e^{ix}-e^{iy}\rvert\le\lvert x-y\rvert$ から極限に移り、$E[1_Ae^{i\lambda(W_t-W_s)}]=P(A)e^{-\lambda^2(t-s)/2}$ である。

$A=\Omega$ とすると $W_t-W_s$ の特性関数は $N(0,t-s)$ のものなので、特性関数(確率論) の系「特性関数は分布を決める」により $W_t-W_s\sim N(0,t-s)$ である。$P(A)>0$ なら、$P(\cdot\mid A)$ のもとでの $W_t-W_s$ の特性関数も同じなので、同じ分布をもち、$P(A\cap\{W_t-W_s\in C\})=P(A)P(W_t-W_s\in C)$ である。これが $\mathcal F_s$ との独立性である。$s=0$ のときは $\mathcal F_0$ の事象の確率は $0$ か $1$ なので独立性は自明で、$W_t-W_s\to W_t$（$s\to0$）から $W_t\sim N(0,t)$ である。

$0\le t_0< \cdots< t_k$ について、$W_{t_1}-W_{t_0},\dots,W_{t_{k-1}}-W_{t_{k-2}}$ は $\mathcal F_{t_{k-1}}$-可測で、最後の増分はこれと独立なので、帰納法で増分たちは独立である。$W_0=0$ で道は連続なので、$W$ は Brown運動 の定義「Brown 運動」を満たす。$\square$