中線定理（高校数学）

方針：$M$ を原点、直線 $BC$ を $x$ 軸にとり、4 つの長さを座標で書いて比べる（図1）。
段 1（座標のとり方）。$A$、$B$、$C$ を含む平面をとり（$A$ が直線 $BC$ 上にあるときは、直線 $BC$ を含む平面のどれか 1 つ）、その平面で $M$ を原点、直線 $BC$ を $x$ 軸とする座標を入れる。$BM=MC=c$（$c>0$）とおくと $B(-c,0)$、$C(c,0)$ である。$A$ の座標を $(p,q)$ とする。
段 2（左辺）。2 点間の距離の公式で
$$ AB^2=(p+c)^2+q^2=p^2+2cp+c^2+q^2,\qquad AC^2=(p-c)^2+q^2=p^2-2cp+c^2+q^2 $$
である。足すと $2cp$ と $-2cp$ が打ち消し合い、$AB^2+AC^2=2p^2+2q^2+2c^2$ となる。
段 3（右辺）。$AM^2=p^2+q^2$、$BM^2=c^2$ なので $2(AM^2+BM^2)=2p^2+2q^2+2c^2$ である。
段 4（まとめ）。段 2 と段 3 の値は等しい。$A$ の位置には何の条件も使っていないので、$A$ が直線 $BC$ 上にあっても成り立つ。$\square$

方針：中線 $AM$ で三角形を 2 つに分け、それぞれで $M$ の角について余弦定理を使う。$M$ の 2 つの角は互いに補角なので、余弦が符号だけ違い、足すと消える。ここでは $A$ が直線 $BC$ 上にない場合を示す（ある場合は prf-mdn-coordinates で示した）。
段 1（2 つの角）。$\varphi:=\angle AMB$ とおくと、$B$、$M$、$C$ はこの順に一直線上にあるので $\angle AMC=180^\circ-\varphi$ である。$\cos(180^\circ-\varphi)=-\cos\varphi$ である。
段 2（余弦定理を 2 回）。三角形 $ABM$ と三角形 $ACM$ で、$M$ の角について余弦定理を使う。$MC=BM$ なので
$$ AB^2=AM^2+BM^2-2\cdot AM\cdot BM\cos\varphi,\qquad AC^2=AM^2+BM^2+2\cdot AM\cdot BM\cos\varphi $$
である。2 つ目の式では、段 1 の $\cos(180^\circ-\varphi)=-\cos\varphi$ を使った。
段 3（足す）。2 式を足すと $\cos\varphi$ を含む項が打ち消し合い、$AB^2+AC^2=2AM^2+2BM^2$ となる。$\square$

方針：$M$ を始点とするベクトルで書くと、$\overrightarrow{MC}=-\overrightarrow{MB}$ となる。これを使って $AB^2$ と $AC^2$ を内積で展開し、足す。内積の計算規則は ベクトルの内積（高校数学） で示したものを使う。
段 1（ベクトルをおく）。$\vec a:=\overrightarrow{MA}$、$\vec b:=\overrightarrow{MB}$ とおく。$M$ は $BC$ の中点なので $\overrightarrow{MC}=-\vec b$ である。
段 2（2 つの長さを展開する）。$\overrightarrow{AB}=\vec b-\vec a$、$\overrightarrow{AC}=-\vec b-\vec a$ なので、内積の分配法則と対称性により
$$ AB^2=|\vec b-\vec a|^2=|\vec a|^2-2\,\vec a\cdot\vec b+|\vec b|^2,\qquad AC^2=|\vec b+\vec a|^2=|\vec a|^2+2\,\vec a\cdot\vec b+|\vec b|^2 $$
である（$|-\vec b-\vec a|=|\vec b+\vec a|$ を使った）。
段 3（足す）。$\vec a\cdot\vec b$ の項が打ち消し合い、$AB^2+AC^2=2|\vec a|^2+2|\vec b|^2=2(AM^2+BM^2)$ となる。$\square$

thm-mdn-median に $BM=\frac a2$ を入れると $c^2+b^2=2AM^2+\frac{a^2}2$ である。両辺を $2$ で割って移項すると $AM^2=\frac{2b^2+2c^2-a^2}4$ となる。$AM>0$ なので、正の平方根をとって主張を得る。$\square$

方針：左辺の 2 つの項を、内積の計算規則（分配法則・対称性・$\vec a\cdot\vec a=|\vec a|^2$。ベクトルの内積（高校数学））で展開する。
段 1（展開）。
$$ |\vec a+\vec b|^2=(\vec a+\vec b)\cdot(\vec a+\vec b)=|\vec a|^2+2\,\vec a\cdot\vec b+|\vec b|^2, $$
$$ |\vec a-\vec b|^2=(\vec a-\vec b)\cdot(\vec a-\vec b)=|\vec a|^2-2\,\vec a\cdot\vec b+|\vec b|^2 $$
である。
段 2（足す）。$2\,\vec a\cdot\vec b$ と $-2\,\vec a\cdot\vec b$ が打ち消し合い、$2|\vec a|^2+2|\vec b|^2$ が残る。
段 3（図形の言葉）。平行四辺形 $OACB$ で $\vec a=\overrightarrow{OA}$、$\vec b=\overrightarrow{OB}$ とすると、対角線は $\overrightarrow{OC}=\vec a+\vec b$ と $\overrightarrow{BA}=\vec a-\vec b$ であり、4 辺の長さは $|\vec a|$、$|\vec b|$、$|\vec a|$、$|\vec b|$ である。したがって段 2 の式は「対角線の 2 乗の和 $=$ 4 辺の 2 乗の和」を表す。$\square$

方針：平行四辺形の法則の 4 つの長さを、三角形 $ABC$ の辺と中線で書き直す。
段 1（対角線 $\vec a+\vec b$）。$M$ は $BC$ の中点なので $\overrightarrow{AM}=\frac12(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})=\frac12(\vec a+\vec b)$ である（中点の位置ベクトル）。よって $|\vec a+\vec b|=2AM$、$|\vec a+\vec b|^2=4AM^2$ である。$AM$ を $M$ の先へ同じ長さだけ延ばした点を $D$ とすると $\overrightarrow{AD}=2\overrightarrow{AM}=\vec a+\vec b$ で、四角形 $ABDC$ は $\vec a$、$\vec b$ を 2 辺とする平行四辺形、$AD$ はその対角線である（図2）。
段 2（対角線 $\vec a-\vec b$）。$\vec a-\vec b=\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{CB}$ なので $|\vec a-\vec b|=BC=2BM$、$|\vec a-\vec b|^2=4BM^2$ である。
段 3（書き直す）。prop-mdn-parallelogram の式は、段 1・段 2 と $|\vec a|=AB$、$|\vec b|=AC$ により
$$ 4AM^2+4BM^2=2AB^2+2AC^2 $$
となる。両辺を $2$ で割ると $2(AM^2+BM^2)=AB^2+AC^2$ で、これは thm-mdn-median の式である。逆向きにたどれば、中線定理の式から平行四辺形の法則の式が出る。$\square$

prf-mdn-parallelogram の段 1 の 1 つ目の式から 2 つ目の式を引くと、$|\vec a|^2$ と $|\vec b|^2$ が消えて $|\vec a+\vec b|^2-|\vec a-\vec b|^2=4\,\vec a\cdot\vec b$ となる。両辺を $4$ で割ると 1 つ目の式である。段 1 の 1 つ目の式を $\vec a\cdot\vec b$ について解くと 2 つ目の式になる。$\square$

方針：1 と 4 はノルムの条件だけから出る。いちばん難しいのは 2（分配法則）で、平行四辺形の法則はここでだけ使う。3 は、2 から整数・有理数の場合を示し、最後に有理数で近づけて実数の場合を示す。
段 1（1 と 4）。ノルムの条件 2 を $k=-1$ で使うと $\|-w\|=\|w\|$ である。よって $\|v-u\|=\|-(u-v)\|=\|u-v\|$ で、$\langle v,u\rangle=\frac14(\|v+u\|^2-\|v-u\|^2)=\frac14(\|u+v\|^2-\|u-v\|^2)=\langle u,v\rangle$ である。これが 1 である。また $\langle u,u\rangle=\frac14(\|2u\|^2-\|\vec 0\|^2)=\frac14\cdot4\|u\|^2=\|u\|^2$ である（条件 2 で $\|2u\|=2\|u\|$、条件 1 で $\|\vec 0\|=0$）。後半は条件 1 から出る。これが 4 である。
段 2（すぐわかる 2 つの式）。$\langle\vec 0,v\rangle=\frac14(\|v\|^2-\|-v\|^2)=0$ である。また $\langle -u,v\rangle=\frac14(\|-u+v\|^2-\|-u-v\|^2)=\frac14(\|u-v\|^2-\|u+v\|^2)=-\langle u,v\rangle$ である（段 1 の $\|-w\|=\|w\|$ を使った）。
段 3（平行四辺形の法則を使う鍵の式）。すべての $u$、$u'$、$v$ について
$$ \langle u,v\rangle+\langle u',v\rangle=2\Bigl\langle\frac{u+u'}2,v\Bigr\rangle $$
を示す。平行四辺形の法則を $\|x\|^2+\|y\|^2=\frac12\bigl(\|x+y\|^2+\|x-y\|^2\bigr)$ の形で使う。

• $x=u+v$、$y=u'+v$ とすると、$x+y=(u+u')+2v$、$x-y=u-u'$ なので $\|u+v\|^2+\|u'+v\|^2=\frac12\bigl(\|(u+u')+2v\|^2+\|u-u'\|^2\bigr)$。
• $x=u-v$、$y=u'-v$ とすると、$x+y=(u+u')-2v$、$x-y=u-u'$ なので $\|u-v\|^2+\|u'-v\|^2=\frac12\bigl(\|(u+u')-2v\|^2+\|u-u'\|^2\bigr)$。
  上の式から下の式を引くと $\|u-u'\|^2$ が消え、左辺は $4\langle u,v\rangle+4\langle u',v\rangle$ になるので
  $$ 4\langle u,v\rangle+4\langle u',v\rangle=\frac12\bigl(\|(u+u')+2v\|^2-\|(u+u')-2v\|^2\bigr) $$
  である。$w:=\frac{u+u'}2$ とおくと $(u+u')\pm2v=2(w\pm v)$ なので、条件 2 により $\|(u+u')\pm2v\|^2=4\|w\pm v\|^2$ である。よって右辺は $\frac12\cdot4\bigl(\|w+v\|^2-\|w-v\|^2\bigr)=2\cdot4\langle w,v\rangle=8\langle w,v\rangle$ である。両辺を $4$ で割ると示したい式になる。
  段 4（2：分配法則）。段 3 で $u'=\vec 0$ とすると、段 2 の $\langle\vec 0,v\rangle=0$ により $\langle u,v\rangle=2\bigl\langle\frac u2,v\bigr\rangle$ である。これはすべての $u$ で成り立つので、$u$ を $u+u'$ に替えると $\langle u+u',v\rangle=2\bigl\langle\frac{u+u'}2,v\bigr\rangle$ である。段 3 の右辺と同じなので、$\langle u,v\rangle+\langle u',v\rangle=\langle u+u',v\rangle$ となる。これが 2 である。
  段 5（3：整数と有理数）。正の整数 $n$ について $\langle nu,v\rangle=n\langle u,v\rangle$ を $n$ についての数学的帰納法で示す。$n=1$ では等式そのものである。$n$ で成り立てば、段 4 により $\langle(n+1)u,v\rangle=\langle nu,v\rangle+\langle u,v\rangle=(n+1)\langle u,v\rangle$ である。$n=0$ では段 2 により両辺 $0$、負の整数 $-n$ では段 2 により $\langle-nu,v\rangle=-\langle nu,v\rangle=-n\langle u,v\rangle$ である。次に有理数 $s=\frac mn$（$m$ は整数、$n$ は正の整数）とする。整数の場合をベクトル $su$ と整数 $n$ に使うと $n\langle su,v\rangle=\langle nsu,v\rangle=\langle mu,v\rangle=m\langle u,v\rangle$ である。両辺を $n$ で割ると $\langle su,v\rangle=s\langle u,v\rangle$ である。
  段 6（ノルムの差の不等式）。すべての $x$、$y$ について $\bigl|\|x\|-\|y\|\bigr|\le\|x-y\|$ である。実際、条件 3 により $\|x\|=\|(x-y)+y\|\le\|x-y\|+\|y\|$ なので $\|x\|-\|y\|\le\|x-y\|$ であり、$x$ と $y$ を入れ替えると $\|y\|-\|x\|\le\|y-x\|=\|x-y\|$ である（段 1 の $\|-w\|=\|w\|$）。
  段 7（3：実数）。実数 $t$ を固定する。正の整数 $k$ について、$t$ を小数第 $k$ 位までで切り捨てた有理数を $s_k$ とすると、$|t-s_k|\le10^{-k}$、$|s_k|\le|t|+1$ である。$K:=(|t|+1)\|u\|+\|v\|$ とおく。
• $X:=\|tu+v\|$、$Y:=\|s_ku+v\|$ とおく。段 6 と条件 2 により $|X-Y|\le\|(t-s_k)u\|=|t-s_k|\,\|u\|$ である。条件 3・2 により $X\le|t|\|u\|+\|v\|\le K$、$Y\le|s_k|\|u\|+\|v\|\le K$ である。よって $|X^2-Y^2|=|X-Y|(X+Y)\le2K\|u\|\,|t-s_k|$ である。
• $v$ を $-v$ に替えた $\|tu-v\|^2$ と $\|s_ku-v\|^2$ の差も、同じ理由で $2K\|u\|\,|t-s_k|$ 以下である。
  $\langle tu,v\rangle-\langle s_ku,v\rangle$ は、この 2 つの差の差を $4$ で割ったものなので、$|\langle tu,v\rangle-\langle s_ku,v\rangle|\le\frac14\cdot4K\|u\|\,|t-s_k|=K\|u\|\,|t-s_k|$ である。段 5 から $\langle s_ku,v\rangle=s_k\langle u,v\rangle$ なので、$C:=K\|u\|+|\langle u,v\rangle|$ とおくと
  $$ d:=\bigl|\langle tu,v\rangle-t\langle u,v\rangle\bigr|\le|\langle tu,v\rangle-s_k\langle u,v\rangle|+|s_k-t|\,|\langle u,v\rangle|\le C\,|t-s_k|\le C\cdot10^{-k} $$
  である。$d\ge0$ は $k$ によらない数で、すべての正の整数 $k$ について $d\le C\cdot10^{-k}$ である。もし $d>0$ なら、$C\cdot10^{-k}< d$ となる $k$ をとれる（$C=0$ ならどの $k$ でもよく、$C>0$ なら $10^{-k}<\frac dC$ となる $k$ をとる）ので矛盾する。よって $d=0$、すなわち $\langle tu,v\rangle=t\langle u,v\rangle$ である。これが 3 である。
  段 8（逆）。4 つの性質をもつ $\langle\cdot,\cdot\rangle$ から $\|u\|:=\sqrt{\langle u,u\rangle}$ と定めると、prf-mdn-parallelogram の段 1・段 2 の計算は、分配法則（性質 2 と 1）・実数倍（性質 3）・$\langle u,u\rangle=\|u\|^2$ だけを使っているので、そのまま平行四辺形の法則が出る。$\square$