Hodge数の上半連続性

Sobolev ノルム $\|\cdot\|_m$ を、上の座標近傍と自明化、それに従う 1 の分割 $\{\chi_i\}$（$K_i:=\operatorname{supp}\chi_i\subset U_i$ はコンパクト）で定める（Green作用素 の節「設定」。ノルムの同値類はこの選び方によらない）。$\mathcal N:=\ker L_{t_0}$ とおくと、Green作用素 の補題「楕円型作用素の核と核の補空間での評価」により $\mathcal N$ は有限次元で、定数 $C$ について
$$ \|u\|_m\le C\|L_{t_0}u\|\qquad(u\in W^m(M,F),\ u\perp\mathcal N) $$
が成り立つ。
係数の差の評価．微分作用素は局所的なので、$u\in C^\infty(M,F)$ について $(L_t-L_{t_0})u=\sum_i(L_t-L_{t_0})(\chi_iu)$ であり、第 $i$ 項は $K_i$ に台をもち、$U_i$ の上で $\sum_\alpha\bigl(a^{(i)}_\alpha(x,t)-a^{(i)}_\alpha(x,t_0)\bigr)\partial^\alpha(\chi_iu)$ に等しい。$K_i$ の上で $dV$ と計量は自明化の標準のものと比べて有界なので、定数 $c_i$ について
$$ \|(L_t-L_{t_0})u\|\le\varepsilon(t)\|u\|_m,\qquad\varepsilon(t):=\sum_ic_i\sum_{|\alpha|\le m}\sup_{x\in K_i}\bigl|a^{(i)}_\alpha(x,t)-a^{(i)}_\alpha(x,t_0)\bigr| $$
である（$\|\partial^\alpha(\chi_iu)\|_{L^2(\mathbb R^{\dim M})}\le\|u\|_m$ はノルムの定め方による）。$t_0$ を中心とする閉球 $\bar D\subset V$ をとると、$a^{(i)}_\alpha$ はコンパクト集合 $K_i\times\bar D$ の上で一様連続なので、$t\to t_0$ で $\varepsilon(t)\to0$ である。$C\varepsilon(t)< 1$ となる $t_0$ の近傍を $W$ とする。
核の比較．$t\in W$ とし、$u\in\ker L_t$ が $\mathcal N$ に直交するとする。$u$ は滑らかなので $u\in W^m$ で、
$$ \|u\|_m\le C\|L_{t_0}u\|=C\|(L_{t_0}-L_t)u\|\le C\varepsilon(t)\|u\|_m $$
となり、$C\varepsilon(t)< 1$ から $u=0$ である。したがって $\mathcal N$ への直交射影を $\ker L_t$ に制限した線形写像は単射であり、$\dim\ker L_t\le\dim\mathcal N$ である。$\square$

$n=0$ ならファイバーは有限集合で、$h^{0,0}(X_t)$ は $X_t$ の点の個数であり、次の段 1 の局所自明化から局所的に一定である。以下 $n\ge1$ とし、$t_0\in B$ と $p$ を固定する。
段 1：一つの多様体の上の複素構造の族．$t_0$ を含み、ある $\mathbb C^{\dim B}$ の開球と双正則な $B$ の座標近傍 $V$ をとる。Ehresmannのファイブレーション定理 の定理「Ehresmann の補題」により、$M:=X_{t_0}$ とおくと、微分同相 $\Phi\colon V\times M\to\pi^{-1}(V)$ で $\pi\circ\Phi=\mathrm{pr}_1$ を満たすものがある。$\Phi_{t_0}:=\Phi(t_0,\cdot)$ は $M$ の微分同相なので、$\Phi$ を $\Phi\circ(\mathrm{id}_V\times\Phi_{t_0}^{-1})$ に取り替えて $\Phi_{t_0}=\mathrm{id}_M$ としてよい。$\Phi_t:=\Phi(t,\cdot)\colon M\to X_t$ は微分同相であり、$X_t$ の正則座標を $\Phi_t$ で引き戻して $M$ に複素構造を入れたものを $M_t$ と書くと、$\Phi_t\colon M_t\to X_t$ は双正則である。Dolbeaultコホモロジー の命題「外積と引き戻し」の 2 により $h^{p,q}(X_t)=h^{p,q}(M_t)$ である。$M_t$ の概複素構造 $J_t$ は $J_t=(d\Phi_t)^{-1}\circ J_{\mathcal X}\circ d\Phi_t$ で与えられる（$\pi$ は正則なので $J_{\mathcal X}$ は $\ker d\pi=TX_t$ を保つ）ので、$J_t$ は $(t,x)$ について滑らかに動き、$J_{t_0}$ は $M$ のもとの複素構造である。
段 2：固定したベクトル束の上の複体．$\Lambda^kT^*M\otimes\mathbb C$ の $J_t$ に関する型 $(p,q)$ の部分束を $\Lambda^{p,q}_t$、その上への射影を $\Pi^{p,q}_t$ と書く。余接ベクトル $\alpha$ の $J_t$ に関する $(1,0)$ 成分と $(0,1)$ 成分は $\frac12(\alpha\mp i\,\alpha\circ J_t)$ で、$\Pi^{p,q}_t(\alpha_1\wedge\cdots\wedge\alpha_{p+q})$ は各因子をどちらかの成分に替えた積のうち $(1,0)$ 成分がちょうど $p$ 個のものの和なので、$\Pi^{p,q}_t$ は $(t,x)$ について滑らかである。$E_q:=\Lambda^{p,q}_{t_0}$ とおき、$\Lambda^{p+q}T^*M\otimes\mathbb C$ に Hermite 計量を一つ固定する。$M$ はコンパクトなので、$V$ を小さくして $t\in V$ で $\sup_{x}\|\Pi^{p,q}_t-\Pi^{p,q}_{t_0}\|\le\frac12$（すべての $q$）としてよい。すると $\mu_{q,t}:=\Pi^{p,q}_t|_{E_q}\colon E_q\to\Lambda^{p,q}_t$ は $|\mu_{q,t}v-v|\le\frac12|v|$ から単射で、両辺の階数はともに $\binom np\binom nq$ なので束の同型であり、逆も $(t,x)$ について滑らかである。$M_t$ の $\bar\partial$ 作用素は $\bar\partial_t=\Pi^{p,q+1}_t\circ d$ なので
$$ D_{q,t}:=\mu_{q+1,t}^{-1}\circ\bar\partial_t\circ\mu_{q,t}\colon C^\infty(M,E_q)\to C^\infty(M,E_{q+1}) $$
とおくと、$D_{q+1,t}D_{q,t}=0$ であり、$\mu_{\bullet,t}$ は複体の同型 $(C^\infty(M,E_\bullet),D_{\bullet,t})\cong(\mathcal A^{p,\bullet}(M_t),\bar\partial_t)$ を与える。よってこの複体の $q$ 次のコホモロジーは $H^{p,q}_{\bar\partial}(M_t)$ と同型である。$D_{q,t}$ は 1 階の微分作用素で、局所表示の係数は $\mu^{\pm1}$、$\Pi$ の成分とその $x$ についての 1 階導関数の多項式なので、$(t,x)$ について滑らかである。楕円型作用素 の命題「主表象の乗法性」により $\sigma_{D_{q,t}}=\mu_{q+1,t}^{-1}\,\sigma_{\bar\partial_t}\,\mu_{q,t}$ であり、楕円型複体 の命題「Dolbeault 複体は楕円型複体」により $(E_\bullet,D_{\bullet,t})$ は楕円型複体である。
段 3：Laplacian の核．$E_q$ に（$t$ によらない）Hermite 計量、$M$ に滑らかな正の密度を固定し、それに関する形式的随伴で
$$ L_t:=D_{q,t}^*D_{q,t}+D_{q-1,t}D_{q-1,t}^*\colon C^\infty(M,E_q)\to C^\infty(M,E_q) $$
とおく。楕円型複体 の命題「楕円型複体と Laplacian の楕円性」により $L_t$ は 2 階の楕円型作用素であり、同記事の主定理「楕円型複体の Hodge 分解」の 3 により
$$ \dim\ker L_t=\dim H^{p,q}_{\bar\partial}(M_t)=h^{p,q}(X_t) $$
である。形式的随伴の局所表示（楕円型作用素 の節「合成と形式的随伴」の式）は係数の 1 階の $x$ 導関数までしか使わないので、$L_t$ の係数も $(t,x)$ について滑らか、とくに連続である。
段 4：結論．$V$ を $\mathbb C^{\dim B}=\mathbb R^{2\dim B}$ の開集合とみて、lem-hsc-kernel を $F=E_q$、$m=2$ の族 $L_t$ に当てると、$t_0$ の近傍 $W$ があって $t\in W$ で $h^{p,q}(X_t)=\dim\ker L_t\le\dim\ker L_{t_0}=h^{p,q}(X_{t_0})$ となる。これで 1 が示された。
2 の証明．$B$ は連結なので、Ehresmannのファイブレーション定理 の系「ファイバーの微分同相型の一定性」によりファイバーはすべて微分同相であり、微分同相は de Rham コホモロジーの同型を引き起こすので、Betti 数 $b_k(X_t)=\dim H^k_{\mathrm{dR}}(X_t;\mathbb C)$ は $t$ によらない。$X_t$ は Kähler なので、Hodge分解 の命題「Hodge 数の関係」の 1（同記事の定理「Hodge 分解定理」の 3 により、そこでの $h^{p,q}$ は Dolbeault コホモロジーの次元と一致する）から
$$ b_k(X_t)=\sum_{p+q=k}h^{p,q}(X_t) $$
である。$t_0\in B$ を固定し、有限個の $(p,q)$ すべてについて 1 が成り立つ共通の近傍 $W$ をとる。$t\in W$ なら
$$ \sum_{p+q=k}\bigl(h^{p,q}(X_{t_0})-h^{p,q}(X_t)\bigr)=b_k(X_{t_0})-b_k(X_t)=0 $$
で、左辺の各項は $0$ 以上なので、すべての項が $0$ である。よって各 $h^{p,q}(X_t)$ は局所的に一定であり、$B$ が連結なので一定である（値 $c$ をとる点の集合とその補集合がともに開集合になる）。$\square$