級数

同義語：無限級数seriesinfinite series

概要

前提知識: 数列, 数列の極限, 実数, Cauchy列

実数（または複素数）の列の項を順に足していく形式的な和を級数という。無限個の数の和は、はじめの $N$ 項までの部分和の列が $N\to\infty$ で収束するときにだけ、その極限を和として意味をもつ。循環小数 $0.999\cdots$ の値や、半分ずつ小さくなる数の和 $\frac12+\frac14+\frac18+\cdots=1$ は、この意味での級数の和である。

定義

$\frac12+\frac14+\frac18+\cdots$ と、半分ずつ小さくなる数を限りなく足していくとどうなるか。最初の $N$ 項までの和は
$$ \frac12=1-\frac12,\qquad \frac12+\frac14=1-\frac14,\qquad \frac12+\frac14+\frac18=1-\frac18,\qquad\ldots,\qquad \sum_{n=1}^{N}\frac1{2^n}=1-\frac1{2^N} $$
であり、$N$ を大きくすると $1$ に近づく。そこでこの「無限個の和」の値を $1$ と定める。長さ $1$ の線分の半分、残りの半分、さらにその半分、と切り取っていくと、切り取った部分の合計は線分全体に近づく、という図でも理解できる。同じ考え方で、循環小数 $0.999\cdots=\frac9{10}+\frac9{100}+\frac9{1000}+\cdots$ は $1$ に等しく、$0.142857142857\cdots$ は $\frac17$ に等しい（ex-series-decimal）。
一方、$1-1+1-1+\cdots$ の最初の $N$ 項の和は $1,0,1,0,\ldots$ と振動し、どの数にも近づかない。この場合は和を定めない。無限個の数の和は、有限個の和の極限として定義され、その極限が存在するときにだけ意味をもつ。

級数と部分和

実数列（または複素数の列）$(a_n)_{n\geq1}$ に対し、形式的な和
$$ \sum_{n=1}^{\infty}a_n=a_1+a_2+a_3+\cdots $$
を級数（series）または無限級数といい、$a_n$ をその第 $n$ 項という。$N\geq1$ について
$$ S_N:=\sum_{n=1}^{N}a_n=a_1+a_2+\cdots+a_N $$
を第 $N$ 部分和（partial sum）という。部分和の列 $(S_N)$ がある数 $S$ に収束する（数列の極限）とき、級数は $S$ に収束する（converge）といい、$S$ を級数の和と呼んで
$$ \sum_{n=1}^{\infty}a_n=S $$
と書く。$(S_N)$ が収束しないとき、級数は発散する（diverge）という。実数の級数で $S_N\to+\infty$ のとき、$\sum a_n=+\infty$ と書き、級数は $+\infty$ に発散するという（$-\infty$ も同様）。

添字は $n=0$ から始めてもよく、$\sum_{n=0}^\infty a_n$ の部分和は $S_N=\sum_{n=0}^Na_n$ である。記号 $\sum_{n=1}^\infty a_n$ は、「級数という対象」と「その和という数」の両方を表すので、文脈で区別する。「級数が収束する」と言うときは前者、「$\sum a_n=S$」と書くときは後者である。
複素数の級数 $\sum z_n$ が収束することと、実部の級数 $\sum\operatorname{Re}z_n$ と虚部の級数 $\sum\operatorname{Im}z_n$ がともに収束することは同値である。部分和の実部・虚部がそれぞれの部分和なので、数列の極限の記事の命題「実部と虚部による判定」から従う。
級数という語は、収束を問わない形式的な対象（形式的冪級数）や、収束しないが近似に使う級数（漸近展開）にも用いられる。本記事は実数・複素数の級数の収束と和を扱う。

直感

級数は「数列の各項を順に足していく」操作であり、その結果は部分和の列の極限である。したがって級数の問題は、部分和という別の数列の極限の問題に翻訳される。部分和が簡単な式で書ける場合（thm-series-geometric、prop-series-telescoping）は和の値まで求まるが、多くの場合は値がわからないまま「収束するかどうか」だけを判定する。そのための道具が、正の項の級数に対する比較判定・比判定と、符号が交互に変わる級数に対する Leibniz の判定である。
収束するためには項が $0$ に近づかなければならない（prop-series-term-test）が、それだけでは足りない。調和級数 $1+\frac12+\frac13+\cdots$ は項が $0$ に近づくのに発散し、$1+\frac14+\frac19+\cdots$ は収束する。項が小さくなる速さが問題になる。

例と反例

循環小数

$0.999\cdots$ は級数 $\sum_{n=1}^\infty 9\cdot10^{-n}$ の和であり、thm-series-geometric で $a=9/10$、$r=1/10$ として
$$ \sum_{n=1}^{\infty}\frac9{10^n}=\frac{9/10}{1-1/10}=1 $$
である。同様に、$0.142857142857\cdots$ は 6 桁の塊 $142857$ が繰り返すので
$$ \sum_{k=1}^{\infty}\frac{142857}{10^{6k}}=\frac{142857/10^6}{1-1/10^6}=\frac{142857}{999999}=\frac17 $$
である（$999999=7\times142857$）。循環小数がすべて有理数を表すことは、この計算を一般化すれば示せる。

望遠鏡和

$$ \sum_{n=1}^{\infty}\frac1{n(n+1)}=\frac1{1\cdot2}+\frac1{2\cdot3}+\frac1{3\cdot4}+\cdots=1 $$
である。$\frac1{n(n+1)}=\frac1n-\frac1{n+1}$ なので、部分和は隣り合う項が打ち消し合って
$$ S_N=\Bigl(1-\frac12\Bigr)+\Bigl(\frac12-\frac13\Bigr)+\cdots+\Bigl(\frac1N-\frac1{N+1}\Bigr)=1-\frac1{N+1} $$
となり、$N\to\infty$ で $1$ に収束する。これは prop-series-telescoping の例である。

平方数の逆数の級数

$\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac1{n^2}$ は収束し、和は $2$ 以下である。$n\geq1$ で $n^2\geq n(n+1)/2$（$\iff n\geq1$）なので
$$ 0<\frac1{n^2}\leq\frac2{n(n+1)} $$
であり、ex-series-telescoping-example から右辺の級数は $2$ に収束する。比較判定法（比較判定法(級数)）により左辺の級数は収束し、和は $2$ 以下である。実際の和は $\pi^2/6=1.6449\ldots$ であり、これを求める問題が Basel問題である。より一般に、$\sum1/n^p$ が $p>1$ で収束し $p\leq1$ で発散することは、調和級数の記事の命題「冪の逆数の級数」で示されている。

反例：部分和が振動する級数

$\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n=1-1+1-1+\cdots$ の部分和は $S_N=1$（$N$ 偶数）、$S_N=0$（$N$ 奇数）であり、収束しない。項 $(-1)^n$ が $0$ に近づかないので、prop-series-term-test からも発散がわかる。ところが項を 2 つずつ括弧でまとめると
$$ (1-1)+(1-1)+\cdots=0,\qquad 1+(-1+1)+(-1+1)+\cdots=1 $$
となり、まとめ方によって異なる値の「和」が得られてしまう。括弧でまとめてよいのは、もとの級数が収束する場合（または項がすべて $0$ 以上の場合）である（prop-series-grouping）。発散する級数を有限和と同じように扱うと、このような矛盾が生じる。

反例：項が0に近づくが発散する級数

調和級数 $\sum_{n=1}^{\infty}\frac1n$ は、項 $1/n$ が $0$ に収束するにもかかわらず $+\infty$ に発散する（調和級数の記事の定理「調和級数の発散」）。したがって prop-series-term-test の逆「$a_n\to0\Rightarrow\sum a_n$ は収束する」は成り立たない。部分和の増え方は非常に遅く、$S_N>10$ となるには $N=12367$ 項が必要である（同記事）。

性質

基本的な性質

級数の線形性

$\sum a_n=A$、$\sum b_n=B$ がともに収束するならば、定数 $c$ について $\sum(a_n+b_n)$ と $\sum ca_n$ も収束し、
$$ \sum_{n=1}^{\infty}(a_n+b_n)=A+B,\qquad\sum_{n=1}^{\infty}ca_n=cA $$
である。

部分和の極限

部分和について $\sum_{n=1}^N(a_n+b_n)=\sum_{n=1}^Na_n+\sum_{n=1}^Nb_n$、$\sum_{n=1}^Nca_n=c\sum_{n=1}^Na_n$ が成り立つ（有限和の性質）。数列の極限の記事の命題「極限の四則演算」により、右辺はそれぞれ $A+B$、$cA$ に収束する。

積については同じことが言えない。$\sum a_n\cdot\sum b_n$ を項の積 $a_ib_j$ の和として並べ直すには、項の並べ方が和に影響しないことが必要であり、それは絶対収束の記事で扱う。

有限個の項と尾部

級数 $\sum_{n=1}^\infty a_n$ と番号 $M\geq1$ について、$\sum_{n=1}^\infty a_n$ が収束することと、$\sum_{n=M+1}^\infty a_n$ が収束することは同値であり、そのとき
$$ \sum_{n=1}^{\infty}a_n=\sum_{n=1}^{M}a_n+\sum_{n=M+1}^{\infty}a_n $$
である。特に、収束する級数の尾部 $R_M:=\sum_{n=M+1}^{\infty}a_n$ は $M\to\infty$ で $0$ に収束する。

定数だけずれた部分和

要点：部分和が定数 $\sum_{n\leq M}a_n$ だけずれる。

詳しい証明を開く

$N>M$ について $\sum_{n=1}^Na_n=\sum_{n=1}^Ma_n+\sum_{n=M+1}^Na_n$ であり、右辺第 1 項は $N$ によらない定数である。定数を加えても数列の収束は変わらないので、前半と等式が従う。$S:=\sum_{n=1}^\infty a_n$ とすると $R_M=S-S_M$ であり、$S_M\to S$ なので $R_M\to0$ である。

したがって、級数が収束するかどうかは最初の有限個の項によらない（和の値は変わる）。以下の判定法で「ある番号から先で」という仮定で十分なのはこのためである。

収束する級数の項は0に近づく

級数 $\sum a_n$ が収束するならば $a_n\to0$ である。対偶として、$a_n$ が $0$ に収束しなければ級数は発散する。

隣り合う部分和の差

$S_N\to S$ とすると $S_{N-1}\to S$ でもあるので、$n\geq2$ について $a_n=S_n-S_{n-1}\to S-S=0$ である（数列の極限の記事の命題「極限の四則演算」）。

逆は成り立たない（ex-series-harmonic）。この命題は発散を示す最も簡単な判定法であり、ex-series-grandi や $\sum n/(n+1)$ の発散はこれでわかる。
収束の必要十分条件は、部分和の列が Cauchy列であることで与えられる。すなわち $\sum a_n$ が収束することと、任意の $\varepsilon>0$ に対してある $N$ が存在し、$m>n\geq N$ ならば $|a_{n+1}+a_{n+2}+\cdots+a_m|<\varepsilon$ となることは同値である（Cauchy列の記事の系「級数の Cauchy判定法」。実数の級数についての系であり、複素数の級数でも、本文の定義のあとの注意により実部と虚部に分ければ同じことが成り立つ）。この判定法は和の値を使わずに収束を判定でき、絶対収束の記事で「絶対収束する級数は収束する」ことを示すのに使われる。

部分和が計算できる級数

等比級数の和

実数または複素数 $a\ne0$、$r$ について、等比級数 $\sum_{n=0}^{\infty}ar^n=a+ar+ar^2+\cdots$ は、$|r|<1$ ならば収束して
$$ \sum_{n=0}^{\infty}ar^n=\frac a{1-r} $$
であり、$|r|\geq1$ ならば発散する。

部分和の公式

要点：$S_N-rS_N=a-ar^{N+1}$ から部分和の公式が出る。$|r|\geq1$ では項が $0$ に近づかない。

詳しい証明を開く

$r\ne1$ のとき、$S_N:=\sum_{n=0}^Nar^n$ について $S_N-rS_N=a-ar^{N+1}$ なので

$$S_N=\frac{a(1-r^{N+1})}{1-r}$$

である。$|r|<1$ なら $r^{N+1}\to0$（数列の極限の記事の例「等比数列」とその複素数への拡張）なので、$S_N\to a/(1-r)$ である。$|r|\geq1$ なら $|ar^n|=|a||r|^n\geq|a|>0$ なので項は $0$ に収束せず、prop-series-term-test により発散する（$r=1$ の場合もこれに含まれる）。

冒頭の $\sum_{n\geq1}2^{-n}=1$ は $a=r=1/2$ の場合である。等比級数は、比較判定法（比較判定法(級数)）や比判定（thm-series-ratio）の比較の相手として、また冪級数の最も基本的な例（$\sum z^n=1/(1-z)$、$|z|<1$）として、解析学の随所で使われる。

望遠鏡和の公式

数列 $(b_n)_{n\geq1}$ について、級数 $\sum_{n=1}^{\infty}(b_n-b_{n+1})$ が収束することと、$(b_n)$ が収束することは同値であり、そのとき
$$ \sum_{n=1}^{\infty}(b_n-b_{n+1})=b_1-\lim_{n\to\infty}b_n $$
である。

部分和が両端だけ残る

部分和は $S_N=\sum_{n=1}^N(b_n-b_{n+1})=b_1-b_{N+1}$ である。$(S_N)$ が収束することと $(b_{N+1})$ が収束することは同値で、そのとき $\lim S_N=b_1-\lim b_n$ である。

ex-series-telescoping-example は $b_n=1/n$ の場合である。$b_n=\log n$ とすると $\sum(\log n-\log(n+1))=\sum\log\frac n{n+1}$ は、$\log n\to+\infty$ なので $-\infty$ に発散する。

括弧でまとめること

項をまとめても和は変わらない

$0=n_0< n_1< n_2<\cdots$ を整数の狭義増加列とし、$b_k:=a_{n_{k-1}+1}+a_{n_{k-1}+2}+\cdots+a_{n_k}$（連続する項を順序を変えずにまとめたもの）とおく。

$\sum_{n=1}^{\infty}a_n$ が $S$ に収束するならば、$\sum_{k=1}^{\infty}b_k$ も $S$ に収束する。
すべての $n$ で $a_n\geq0$ ならば、逆に $\sum b_k$ が $S$ に収束すれば $\sum a_n$ も $S$ に収束する。

部分和の部分列

要点：まとめた級数の部分和は、もとの部分和の列の部分列 $(S_{n_K})$ である。2. では部分和が単調増加なので、部分列が収束すれば全体も同じ値に収束する。

詳しい証明を開く

$\sum b_k$ の第 $K$ 部分和は $\sum_{k=1}^Kb_k=S_{n_K}$ であり、$(S_{n_K})_K$ は部分和の列 $(S_N)$ の部分列である。

1. $S_N\to S$ なら部分列も $S$ に収束する（点列の記事の命題「収束列の部分列」）。 2. $a_n\geq0$ なら $(S_N)$ は単調増加である。$S_{n_K}\to S$ とすると、任意の $N$ に対して $N\leq n_K$ となる $K$ があり、$S_N\leq S_{n_K}\leq S$ なので $(S_N)$ は上に有界で、点列の記事の定理「単調有界列の収束」によりある値に収束する。その部分列 $(S_{n_K})$ の極限は $S$ なので、極限は $S$ である。

で $a_n\geq0$ を外すと結論は破れる（ex-series-grandi）。逆向きの操作、すなわち括弧を外すことは、一般には許されない。項が $0$ に近づく発散級数でも、括弧のつけ方しだいで和がどんな値にもなりうる。

括弧のつけ方であらゆる実数に収束する発散級数

部分和が次のように動く級数 $\sum a_n$ を作る。第 $m$ 段（$m=1,2,3,\dots$）では、まず部分和が $m$ 以上になるまで項 $+\frac1m$ を足し続け、次に部分和が $-m$ 以下になるまで項 $-\frac1m$ を足し続ける。各段は有限個の項で終わる（$\pm\frac1m$ を有限回足せば $\pm m$ を越える）。
要点：部分和は、刻みを細かくしながら $-m$ と $m$ の間を往復する。どの実数 $x$ の近くも無限回通るので、そこで括弧を閉じれば和は $x$ になる。

構成と証明を開く

項は第 $m$ 段で $\pm\frac1m$ なので $a_n\to0$ だが、部分和は $m$ 以上の値と $-m$ 以下の値を交互にとるので、$+\infty$ にも $-\infty$ にも収束せず、級数は発散する。

一方、任意の実数 $x$ をとる。$m>|x|+1$ となる第 $m$ 段の上り坂では、部分和は $-(m-1)$ 以下（$x$ より小さい）から $m$ 以上（$x$ より大きい）まで刻み $\frac1m$ で増えるので、初めて $x$ 以上になる番号 $N$ で $x\leq S_N< x+\frac1m$ となる。そこで $k=1,2,\dots$ について、$m>|x|+1$ かつ $m\geq k$ を満たす第 $m$ 段を、前に使った段より後から 1 つずつとり、その段の $N$ を $N_k$ とする。後の段ほど番号は大きいので $N_1< N_2<\cdots$ で、$|S_{N_k}-x|<\frac1m\leq\frac1k$ である。prop-series-grouping の記号で $n_k:=N_k$ として連続する項を括弧でまとめると、まとめた級数の部分和は $S_{N_k}\to x$ なので、和は $x$ になる。

1 つの級数が、括弧のつけ方を変えるだけで、すべての実数を和にもつ。もとの級数が収束していれば括弧でまとめても和は変わらない（prop-series-grouping）が、収束しない級数では括弧のつけ方しだいで和が変わりうる。この種の級数は GO03 第 6 章 Example 8（p. 57）にある。

正の項の級数

項がすべて $0$ 以上の級数を正項級数という。部分和が単調増加になるので、収束の判定が特に簡単になる。

正項級数の収束と部分和の有界性

すべての $n$ で $a_n\geq0$ とする。$\sum a_n$ が収束することと、部分和の列 $(S_N)$ が上に有界であることは同値である。そのとき $\sum a_n=\sup_NS_N$ であり、有界でないときは $\sum a_n=+\infty$ である。

単調な部分和

要点：部分和は単調増加なので、上に有界なら上限に収束し、有界でなければ $+\infty$ に発散する。詳しい証明は正項級数の定理「正項級数の収束と部分和の有界性」にある。

したがって正項級数は、収束するか $+\infty$ に発散するかのどちらかであり、振動することはない。項を並べ替えても、グループに分けて先に足しても和が変わらないことは、正項級数の定理「和は足す順序によらない」で扱う。
十分先のすべての $n$ で $0\leq a_n\leq b_n$ なら、$\sum b_n$ が収束すれば $\sum a_n$ も収束し、$\sum a_n$ が発散すれば $\sum b_n$ も発散する。部分和を比べて prop-series-nonnegative を使えばすぐに出るこの判定法を比較判定法という。項が正で比 $a_n/b_n$ が正の実数に収束するとき 2 つの級数がともに収束するかともに発散すること（極限比較判定法）や、比べる相手を前もって可算個そろえても、それらとの比較ではすべての正項級数を判定できないこと（可算個の収束級数のどれとも比べられない収束級数がある）は、比較判定法(級数) で証明とともに扱う。

比判定法

すべての $n$ で $a_n>0$ とし、$\dfrac{a_{n+1}}{a_n}$ が $L$ に収束する（$L=+\infty$ も許す）とする。

$L<1$ ならば $\sum a_n$ は収束する。
$L>1$ ならば $\sum a_n$ は発散する。

等比級数と比べる

要点：1. は十分先で $a_n\leq Cr^n$（$L< r<1$）と等比級数で押さえる。2. は十分先で項が増加し、$0$ に近づかない。

詳しい証明を開く

1. $L< r<1$ となる $r$ をとる。十分大きい $N$ について、$n\geq N$ で $a_{n+1}/a_n< r$、すなわち $a_{n+1}< ra_n$ である。帰納法により $n\geq N$ で $a_n\leq a_Nr^{n-N}=(a_Nr^{-N})r^n$ であり、右辺の級数は $0< r<1$ の等比級数なので収束する（thm-series-geometric）。比較判定法（比較判定法(級数) の定理「比較判定法」）により $\sum a_n$ は収束する。

2. 十分大きい $N$ について、$n\geq N$ で $a_{n+1}/a_n>1$、すなわち $a_{n+1}>a_n$ である。すると $n\geq N$ で $a_n\geq a_N>0$ となり、$a_n$ は $0$ に収束しないので、prop-series-term-test により発散する。

$\sum\frac1{n!}$ は $\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac1{n+1}\to0$ なので収束し、$\sum\frac n{2^n}$ は $\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{n+1}{2n}\to\frac12$ なので収束する。$\sum\frac{2^n}{n^2}$ は比が $\frac{2n^2}{(n+1)^2}\to2$ なので発散する。項の符号が一定でない級数や複素数の級数については、絶対値に比判定を適用する形の判定法が絶対収束の記事にある。

反例：比が1に近づく場合は判定できない

$\sum\frac1n$ と $\sum\frac1{n^2}$ は、どちらも比が
$$ \frac{n}{n+1}\to1,\qquad\frac{n^2}{(n+1)^2}\to1 $$
で $L=1$ となるが、前者は発散し（ex-series-harmonic）、後者は収束する（ex-series-squares）。したがって thm-series-ratio は $L=1$ のとき何も結論せず、「$L=1$ ならば収束する」「$L=1$ ならば発散する」のどちらの含意も成り立たない。

交代級数の判定と誤差

$a_n\geq0$ について、符号が交互に変わる級数
$$ \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}a_n=a_1-a_2+a_3-a_4+\cdots $$
を交代級数という。$(a_n)$ が単調減少で $0$ に収束すれば、交代級数は収束し、その和 $S$ は隣り合う部分和 $S_N$ と $S_{N+1}$ の間にあって $|S-S_N|\leq a_{N+1}$ をみたす。これが Leibnizの判定法である。偶数番目の部分和は増加し、奇数番目の部分和は減少して、互いに挟み合いながら同じ値に近づく。
たとえば交代調和級数 $1-\frac12+\frac13-\frac14+\cdots$ はこの判定法で収束し、和は $\log2=0.6931\ldots$ である（調和級数の記事の系「交代調和級数の和」）。部分和は $S_1=1$、$S_2=0.5$、$S_3=0.8333\ldots$、$S_4=0.5833\ldots$ と $\log2$ の両側を交互にとる。証明と誤差の評価の使い方、および「符号が交互に変わる」「単調減少」「$0$ に収束する」のどの仮定を外しても発散する級数があることは、Leibnizの判定法の定理「Leibnizの判定法」とその後の節にある。

補足

級数と数列の対応

どんな数列 $(c_N)$ も、$a_1:=c_1$、$a_n:=c_n-c_{n-1}$（$n\geq2$）とおけば級数 $\sum a_n$ の部分和の列になる。したがって「数列の極限」と「級数の和」は同じ内容の 2 つの言い方であり、どちらを基本にしてもよい。級数の形にすると、項 $a_n$ の大きさを比べるという判定法が使えるようになる。

並べ替えと積

有限和は足す順序によらないが、級数の和は一般に項の順序に依存する。交代調和級数の項を並べ替えると、和を任意の実数に変えられる（Riemannの再配列定理）。一方、$\sum|a_n|$ が収束する級数は、どう並べ替えても同じ和をもち、2 つの級数の積も項ごとの積の和として計算できる。これらは絶対収束の記事で扱う。関数を項とする級数（関数項級数）の和が連続になるための条件は一様収束の記事で扱う。

出典

部分和による定義は Leb §2.5 の Definition 2.5.1（p. 87）と Ham §13.8 の Definition 13.7（p. 266）による。$\sum2^{-n}=1$ は Leb Example 2.5.4（p. 88）と Ham Example 13.10（p. 266）、等比級数は Leb Proposition 2.5.5（p. 88）と Example 2.5.10（p. 90）、尾部は Proposition 2.5.6（p. 89）、Cauchy 判定は Proposition 2.5.8（p. 89）、項が $0$ に近づくことは Proposition 2.5.9（p. 90）と Ham Theorem 13.11（p. 267）、線形性は Leb Proposition 2.5.12（p. 91）、正項級数は Proposition 2.5.13（p. 92）、比較判定は Proposition 2.5.16（p. 93）、比判定は Proposition 2.5.19（p. 96、絶対値についての形）、交代級数は Proposition 2.6.2（p. 101）にある。Ham は等比級数・比較判定などを §13.8 の演習（p. 268）として挙げている。