Jacobson環
概要
Jacobson環（Jacobson ring）とは、任意の素イデアルが、それを含む極大イデアルすべての共通部分に等しい可換環である。これは任意のイデアル $I$ の根基 $\sqrt I$ が $I$ を含む極大イデアルの共通部分に等しいことと同値で、$\operatorname{Spec}A$ の各閉集合で閉点が稠密であることとも同値である。Jacobson性は剰余環と一元の反転 $A_f$ に保存され、任意の体上の有限生成代数はJacobson環である。一方、非零局所環がJacobson環であるのは次元が零のときに限るので、$k[t]_{(t)}$ のように一般の局所化では保存されない。
動機
環の元がどこで消えるかを調べるとき、すべての素イデアルを検査するのは大きな仕事である。極大イデアルだけで同じ情報が得られるなら、検査対象を閉点に絞れる。ただし、元の環でだけ極大イデアルを検査できることと、どの剰余環でも同じ検査ができることは違う。Jacobson環は後者を要求する。任意のイデアルから作った閉集合の中で、その閉点が稠密になるという幾何学的な性質でもある。
体上有限生成の代数ではこの性質が成り立つ。基礎体が代数閉であれば閉点は座標の値を指定した点になり、Hilbertの零点定理の根基と零点の対応につながる。基礎体が代数閉でなくてもJacobson環であることは失われない。閉点の剰余体が基礎体の有限次拡大になるだけである。一方、一つの極大イデアルに局所化すると閉点が一つになり、正の次元の情報を閉点だけで回収できなくなる。この違いが、有限型の環と局所環を区別する重要な例になる。
定義と検査の意味
以下の根基による定義と同値条件は AM69 Chapter 5, Exercise 23 のJacobson環に対応する。商と局所化に関する性質も以下で証明する。
以下、環は単位元をもつ可換環とする。零環も許す。空の族のイデアルの共通部分は環全体とする。イデアル $I$ の根基を $\sqrt I$、環のJacobson根基を $\operatorname{Jac}(A)$、冪零根基を $\operatorname{nil}(A)$ と書く。根基は元の正整数乗が $I$ に属する元の全体であり、$I$ を含むすべての素イデアルの共通部分に等しい。この最後の基本定理の証明は、冪零根基の「根基と素イデアル」で扱っている。
可換環 $A$ が Jacobson環であるとは、任意の素イデアル $\mathfrak p$ について
$$
\mathfrak p=\bigcap_{\substack{\mathfrak m\in\operatorname{Max}A\\\mathfrak p\subset\mathfrak m}}\mathfrak m
$$
が成り立つことをいう。ここで $\operatorname{Max}A$ は極大イデアル全体である。
この等式の片側の包含はつねに成り立つ。実質的な条件は、$a\notin\mathfrak p$ ならば $\mathfrak p$ を含み $a$ を含まない極大イデアルが存在することである。素イデアルから外れた一つの元を、適切な極大イデアルが検出する。この元ごとの条件は、検出する極大イデアルがすべての元について共通であることを要求しない。
Jacobson根基は一つの環に付随するイデアルであり、Jacobson環は環が満たす性質である。名称が似ていても同じ対象ではない。とくに $\operatorname{Jac}(A)=0$ は、$A$ がJacobson環であるための十分条件ではない。定義は零イデアルだけでなく、すべての素イデアルに条件を課している。
可換環 $A$ について次の条件は同値である。
- $A$ はJacobson環である。
- 任意のイデアル $I$ について $\sqrt I$ は $I$ を含むすべての極大イデアルの共通部分である。
- 任意のイデアル $I$ と $a\notin\sqrt I$ に対し、$I$ を含み $a$ を含まない極大イデアルがある。
- 任意のイデアル $I$ について $\operatorname{Jac}(A/I)=\operatorname{nil}(A/I)$ である。
1から2を示す。$I$ を含む素イデアルを $\mathfrak p$ とすると、定義によって $\mathfrak p$ はそれを含む極大イデアルの共通部分である。したがって、$I$ を含むすべての極大イデアルに属する元は、$I$ を含むすべての素イデアルに属する。素イデアルの共通部分の定理から、その元は $\sqrt I$ に属する。逆に極大イデアルは素イデアルなので、$I$ を含む各極大イデアルは $\sqrt I$ を含む。これで等式を得る。$I=A$ の場合は、両辺とも $A$ である。
2から1は $I=\mathfrak p$ とおけばよい。素イデアルの根基は自分自身だからである。2と3は共通部分に属さないことの意味を書き直しただけで同値である。
2と4の同値を示す。剰余写像 $\pi:A\to A/I$ によって、$A/I$ の極大イデアルは $I$ を含む $A$ の極大イデアルに対応する。したがって
$$
\pi^{-1}\bigl(\operatorname{Jac}(A/I)\bigr)
=\bigcap_{\mathfrak m\supset I}\mathfrak m.
$$
一方、$a+I$ が冪零であることは、ある正整数 $n$ について $a^n\in I$ となることと同値なので、$\pi^{-1}(\operatorname{nil}(A/I))=\sqrt I$ である。$\pi$ は全射であり、剰余環のイデアルは逆像によって一意に決まる。よって二つの等式は同値である。零環の剰余を含む場合も、空の共通部分の規約によって同じ計算が通る。$\square$
この定理の4で「任意の $I$」を落とすと弱い性質になる。$I=0$ の等式だけなら、閉点が素スペクトル全体で稠密であることしか述べない。Jacobson環は、すべての閉集合の内部で閉点が稠密であることを要求する。後で、この量化の差を実際の環で確認する。
剰余環と閉集合
$A$ がJacobson環なら、任意のイデアル $I$ に対して $A/I$ もJacobson環である。逆に、$A/\operatorname{nil}(A)$ がJacobson環なら $A$ はJacobson環である。
$A/I$ の素イデアルは $I$ を含む $A$ の素イデアル $\mathfrak p$ による $\mathfrak p/I$ である。それを含む極大イデアルも、$\mathfrak p$ を含む $A$ の極大イデアル $\mathfrak m$ による $\mathfrak m/I$ である。定義の共通部分の等式を剰余環で読めば
$$
\mathfrak p/I=\bigcap_{\mathfrak m\supset\mathfrak p}(\mathfrak m/I)
$$
を得る。共通部分と剰余を交換するという表現は、すべてのイデアルが $I$ を含む場合に限って使っている。元 $a+I$ の所属を $a$ の所属に戻せば、無限族でも等式は直接確認できる。
逆方向では、すべての素イデアルと極大イデアルが $\operatorname{nil}(A)$ を含む。したがって被約化の素イデアル・極大イデアルとの対応はすべての素イデアル・極大イデアルを覆う。被約化での共通部分の等式を $A$ に逆像で戻せば定義の等式になる。$\square$
この保存性は、Jacobson環が冪零元をもたないことを要求していないことも示す。たとえば体 $k$ 上の $k[\varepsilon]/(\varepsilon^2)$ はJacobson環である。唯一の素イデアルは $(\varepsilon)$ で、これは極大イデアルでもある。環は被約でないが、すべての素イデアルに対する要求は満たす。
$A$ がJacobson環であることは、$\operatorname{Spec}A$ の任意の閉集合 $V(I)$ に含まれる閉点全体が $V(I)$ で稠密であることと同値である。
素スペクトルの閉点は極大イデアルである。$V(I)$ に含まれる閉点の集合を $S_I$ とすると、その閉包は
$$
\overline{S_I}=V\left(\bigcap_{\mathfrak m\supset I}\mathfrak m\right)
$$
である。実際、$S_I\subset V(J)$ となることは、$J$ がすべての $\mathfrak m\in S_I$ に含まれることと同値であり、その最大の $J$ が表示の共通部分である。共通部分は素イデアルの共通部分なので根基イデアルである。$V(I)=V(\sqrt I)$ であり、二つの根基イデアルが同じ閉集合を定めるときは同じイデアルになる。よって $\overline{S_I}=V(I)$ は前定理の2と同値である。空の閉集合についても、その閉点は空集合で閉包は空集合である。$\square$
ここで閉点は $V(I)$ の相対位相だけで閉じている点を新たに選び直すのではない。ただし閉部分集合 $V(I)$ の点の閉包はもとのスペクトルにおける閉包に等しく、その閉包は $V(I)$ に含まれるため、結局二つの閉点の意味は一致する。この一致は開部分集合に変えると成立しないことがある。局所化で現れる閉点の違いを考えるときに重要である。
体上有限生成代数
$k$ を任意の体とし、$A$ を $k$ 上有限生成の可換代数とする。このとき $A$ はJacobson環である。基礎体の代数閉性は仮定しない。
まず $R$ が $k$ 上有限生成の整域である場合を考える。$0\ne f\in R$ を選ぶ。局所化 $R_f$ は $R$ に $f^{-1}$ を加えた環であり、$k$ 上有限生成である。$R$ が整域で $f\ne0$ なので $R_f\ne0$ であり、極大イデアル $\mathfrak n$ が存在する。剰余体 $L=R_f/\mathfrak n$ は $k$ 上の環として有限生成である。
Hilbertの零点定理の「Zariskiの補題」により、$L$ は $k$ の有限次拡大である。$\mathfrak m=\mathfrak n\cap R$ とおく。$R/\mathfrak m$ は $L$ の部分 $k$-代数であるため、有限次元 $k$-ベクトル空間であり整域である。任意の非零元 $u$ による乗法写像は、この有限次元ベクトル空間の単射な自己写像なので全射である。したがって $uv=1$ となる $v$ が存在し、$R/\mathfrak m$ は体である。よって $\mathfrak m$ は $R$ の極大イデアルである。$f$ は $R_f$ の単元なので $\mathfrak n$ に属さず、$f\notin\mathfrak m$ である。これにより、$R$ の任意の非零元を避ける極大イデアルが得られた。
一般の $A$ の素イデアル $\mathfrak p$ を選ぶ。$R=A/\mathfrak p$ は $k$ 上有限生成の整域である。$a\notin\mathfrak p$ の像は $R$ の非零元なので、上の議論によってその像を避ける $R$ の極大イデアルがある。これを $A$ に逆像で戻すと、$\mathfrak p$ を含み $a$ を含まない極大イデアルになる。定義の元ごとの検査条件から $A$ はJacobson環である。$A=0$ の場合には素イデアルがなく、条件は自動的に成り立つ。$\square$
この証明のポイントは、局所化で作った極大イデアルの縮約がもとの環でも極大であることを、剰余体の有限次元性から証明したところにある。一般の環では極大イデアルの縮約は極大とは限らない。たとえば $\mathbb Z\to\mathbb Q$ では、体 $\mathbb Q$ の極大イデアル $(0)$ は $\mathbb Z$ の $(0)$ に縮約するが、これは極大ではない。この段で、有限生成という条件が本質的に使われている。
Zariskiの補題と、代数閉体上で閉点を座標の値に同定する証明は Hilbertの零点定理 にある。本記事の証明はZariskiの補題を使って、任意の体と任意の素イデアルに対するJacobson性を示したものである。代数閉体上の強零点定理のRabinowitschの証明も Hilbertの零点定理 にある。
たとえば $\mathbb R[x]$ の $(x^2+1)$ は閉点を与える極大イデアルで、剰余体は $\mathbb C$ である。実数の座標を代入した点ではないが、極大イデアルとしての閉点である。Jacobson性を実数の点だけの交叉と取り違えると、この例を落としてしまう。有限体上でも同様に、基礎体自身に値をもつ点だけでは足りず、その有限次拡大に値をもつ閉点を含めて考える。
一元を反転する局所化
$A$ がJacobson環なら、任意の $f\in A$ に対して $A_f$ もJacobson環である。
$A_f$ の素イデアル $\mathfrak q$ は、$f$ を含まない $A$ の素イデアル $\mathfrak p$ による $\mathfrak pA_f$ である。$a/f^r\notin\mathfrak q$ を選ぶ。素イデアルの対応によって $a\notin\mathfrak p$ であり、$f\notin\mathfrak p$ なので $af\notin\mathfrak p$ である。$A$ がJacobson環であることから、$\mathfrak p$ を含み $af$ を含まない極大イデアル $\mathfrak m$ が存在する。$\mathfrak m$ は素なので、$a$ と $f$ のどちらも含まない。
このとき $A_f/\mathfrak mA_f\cong(A/\mathfrak m)_{\bar f}$ である。$A/\mathfrak m$ は体で $\bar f\ne0$ だから、右辺は同じ体である。したがって $\mathfrak mA_f$ は極大イデアルであり、$\mathfrak q$ を含む。一方 $a/f^r$ はそこに属さない。これで任意の素イデアルから外れた元を極大イデアルで検出できた。$A_f=0$ の場合は素イデアルがなく、やはりJacobson環である。$\square$
有限個の元 $f_1,\ldots,f_s$ を反転する場合も、積 $f_1\cdots f_s$ 一つを反転する場合と同じなので保存される。積の逆元があれば、$f_i$ の逆元は他の因子の積にその逆元を掛けて得られるからである。この有限性は重要で、任意の乗法的集合について同じ保存性を主張することはできない。
$k$ を体とし、$A=k[t]$ とする。これは体上有限生成なのでJacobson環である。ところが $A_{(t)}$ はJacobson環でない。
実際、$A_{(t)}$ は極大イデアル $\mathfrak m=tA_{(t)}$ を唯一にもつ局所整域である。その素イデアル $(0)$ を含む極大イデアルの共通部分は $\mathfrak m$ であり、$t\ne0$ だから $(0)$ と一致しない。この局所化では $t$ の倍数でない多項式をすべて反転している。一元を反転する前の定理とは異なり、有限個の反転には縮められない。
幾何学的には、$\operatorname{Spec}A_{(t)}$ には一般点 $(0)$ と閉点 $(t)$ の二点がある。唯一の閉点の閉包は一つの点だけで、一般点を含まない。この例は、Jacobson環の局所環がJacobson環であるとは限らないことも示す。$k[t]$ の閉点 $(t)$ における局所環そのものが反例だからである。
局所環・零次元環・有限直積
非零局所環 $(A,\mathfrak m)$ がJacobson環であることは、$A$ の素イデアルが $\mathfrak m$ 一つだけであること、すなわち $\dim A=0$ と同値である。したがって、局所整域がJacobson環であることは体であることと同値である。
$A$ がJacobson環なら、任意の素イデアル $\mathfrak p$ を含む極大イデアルは $\mathfrak m$ だけであるため、定義は $\mathfrak p=\mathfrak m$ を与える。逆に素イデアルが $\mathfrak m$ 一つだけなら、その素イデアルに対する共通部分の等式は自明に成り立つ。
局所環の次元が零であることは、この唯一性と同値である。別の素イデアル $\mathfrak p$ があれば $\mathfrak p\subsetneq\mathfrak m$ という長さ一の鎖ができるからである。最後に整域の場合、$(0)$ が素イデアルなので $\mathfrak m=(0)$ となる。非零局所環で極大イデアルが零なら、すべての非零元が単元であり体である。逆に体は唯一の素イデアル $(0)$ が極大なのでJacobson環である。$\square$
局所環というだけでは、Jacobson環から体を結論してはいけない。前述の双対数環 $k[\varepsilon]/(\varepsilon^2)$ は零次元の局所Jacobson環だが、$\varepsilon$ が非零冪零元なので体でない。局所環に被約性を追加すれば、唯一の素イデアル $\mathfrak m$ は冪零根基に等しく、それが零となるため体になる。整域という仮定より弱い被約性でも、この限定された結論は得られる。
一般の零次元環もJacobson環である。次元が零なら、すべての素イデアルが極大だからである。この主張にNoether性は不要である。Artin環は零次元なのでJacobson環であるが、Jacobson環がArtin環であるとは限らない。$k[t]$ はJacobson環であり、イデアル $(t)\supsetneq(t^2)\supsetneq\cdots$ が無限に降下するためArtin環でない。
有限個の環 $A_1,\ldots,A_s$ の直積がJacobson環であることは、各 $A_i$ がJacobson環であることと同値である。
二つの環の場合を示せば反復できる。$A\times B$ の素イデアル $P$ について $(1,0)(0,1)=0$ なので、$P$ は $(1,0)$ または $(0,1)$ を含む。両方を含むと単位元を含んでしまう。したがって $P$ は $\mathfrak p\times B$ または $A\times\mathfrak q$ の形であり、$\mathfrak p$、$\mathfrak q$ はそれぞれの環の素イデアルである。同じ対応は極大イデアルにも成立する。$\mathfrak p\times B$ を含む極大イデアルは $\mathfrak m\times B$ に限り、共通部分は $(\bigcap_{\mathfrak m\supset\mathfrak p}\mathfrak m)\times B$ である。他方の形も同様なので、両因子がJacobson環なら直積もそうである。逆方向は射影による剰余環への保存から従う。零因子環を含む場合も同じ対応が通る。$\square$
条件を弱めたときの反例
Jacobson環の定義は、Noether環であることとも、被約環であることとも異なる。$k[t]$ はNoether・被約・Jacobsonの三つを満たすが、$k[t]_{(t)}$ はNoether・被約でありながらJacobsonでない。双対数環はNoether・Jacobsonだが被約でない。これらの性質を一つの名称でまとめないことが、仮定の確認に役立つ。
また、$\operatorname{Jac}(A)=\operatorname{nil}(A)$ だけでは不十分である。体 $k$ に対して $R=k[\![t]\!]$、$A=R[y]$ を考える。Jacobson根基の「冪零根基との比較」で証明されている多項式環の公式により、$\operatorname{Jac}(A)=\operatorname{nil}(A)$ である。$A$ は整域なので両辺とも零である。しかし $A/(y)\cong R$ は正の次元の局所整域なのでJacobson環でない。剰余環への保存性から $A$ もJacobson環でない。この例は、その公式を使って「零イデアルだけの条件」と「全イデアルの条件」の差を示している。
閉点がスペクトル全体で稠密であることだけでも、この例は満たす。満たさないのは閉集合 $V(y)$ の内部での稠密性である。$V(y)\cong\operatorname{Spec}R$ には唯一の閉点しかなく、その点は一般点に近づくことができない。閉集合ごとの検査が必要な理由がここに現れる。
整数環 $\mathbb Z$ はJacobson環である。素イデアルは $(0)$ と素数で生成される極大イデアル $(p)$ に限る。非零整数 $a$ を選ぶと、それを割る素数は有限個であり、素数は無限個なので、$a$ を含まない $(p)$ がある。したがってすべての $(p)$ の共通部分は零であり、$(0)$ にも定義が成立する。一方 $\mathbb Z_{(p)}$ は正の次元の局所整域なのでJacobson環でない。体上の例だけの現象ではない。
計算への使い方
イデアル $I$ の根基を極大イデアルで調べたいときは、最初に環のJacobson性を確認する。体上有限生成代数なら本記事の定理が適用できる。商を取っていても有限生成性は保たれる。有限個の元を反転した環については、一元の反転への保存性も使える。これに対して素イデアルでの局所化では保存性が失われ得るため、同じ手順をそのまま使わない。
次に、極大イデアルをどの意味の点で検査するかを確認する。代数閉体上なら座標の値を指定した点でよいが、任意の体では有限次拡大の剰余体をもつ点も必要である。最後に、極大イデアルの共通部分から得られるのは $I$ 自身ではなく $\sqrt I$ である。たとえば体 $k$ 上の $k[t]$ で $I=(t^2)$ とすると、$I$ を含む極大イデアルは $(t)$ 一つであり、共通部分は $(t)$ になる。$t\notin(t^2)$ だが $t^2\in I$ なので、この結果は正確に根基を表している。
この例では点の情報が重複度を忘れている。閉点だけで根基が回収できることと、イデアルの生成関係や局所的な長さまで回収できることを混同してはいけない。Jacobson性は素イデアルと閉点の関係についての性質であり、冪の指数や有限生成加群の構造を決定する定理ではない。
関連項目
参考文献
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