Bochnerの定理

同義語：ボホナーの定理Bochner's theorem

概要

前提知識: 特性関数(確率論), 正定値行列, 正規分布, 優収束定理

Bochner の定理（Bochner's theorem）は、$\mathbb R^n$ の上の連続関数 $\varphi$ が、ある有限な正の測度 $\mu$ の Fourier 変換
$$ \varphi(t)=\int_{\mathbb R^n}e^{it\cdot x}\,\mu(dx) $$
として書けるための必要十分条件を与える定理である。条件は、どんな有限個の点 $x_1,\dots,x_m$ をとっても行列 $\bigl(\varphi(x_j-x_k)\bigr)_{j,k}$ が半正定値になること、すなわち $\varphi$ が 正定値 であることである。とくに $\varphi(0)=1$ の場合、連続な正定値関数とは確率分布の特性関数にほかならない。
特性関数が正定値であることは計算ですぐに分かる（$\sum_{j,k}c_j\overline{c_k}\varphi(x_j-x_k)=\int\bigl\lvert\sum_jc_je^{ix_j\cdot\xi}\bigr\rvert^2\mu(d\xi)\ge0$）。定理の内容はその逆で、行列の半正定値性という代数的な条件だけから、測度が復元できるということである。証明の筋は、$\varphi$ に Gauss 関数を掛けて可積分にし、その Fourier 変換が $0$ 以上の密度になることを正定値性から示し、最後に Gauss 関数を外す極限を Lévy の連続性定理でとる、というものである。
この記事では定理を証明し、例として Gauss 関数・Cauchy 分布・三角形の関数を扱い、応用としてユニタリ表現の行列要素と弱定常過程の共分散関数がスペクトル測度をもつことを示す。最後に、連続性を外すと成り立たないこと、正定値性が初等的な必要条件より真に強いことを反例で示す。Riemann 幾何の Bochner の消滅定理（Bochnerの技法）や多変数複素解析の Bochnerの管状領域定理とは別の定理である。
以下、$t\cdot x$ は $\mathbb R^n$ の標準内積、$\lvert x\rvert$ はそのノルムを表す。$\mathbb R^n$ の Borel 集合の上の有限な正の測度 $\mu$ について
$$ \widehat\mu(t):=\int_{\mathbb R^n}e^{it\cdot x}\,\mu(dx)\qquad(t\in\mathbb R^n) $$
と書く。$\mu$ が確率測度なら、これは特性関数(確率論) の定義「特性関数」の特性関数（$n\ge2$ では確率ベクトルの特性関数）である。$\mathbb C^m$ の元 $c=(c_1,\dots,c_m)$ を係数として使う。

正定値関数

正定値関数の定義

関数 $\varphi\colon\mathbb R^n\to\mathbb C$ が 正定値（positive definite）であるとは、任意の $m\ge1$、$x_1,\dots,x_m\in\mathbb R^n$、$c_1,\dots,c_m\in\mathbb C$ について
$$ \sum_{j,k=1}^mc_j\overline{c_k}\,\varphi(x_j-x_k)\ge0 $$
が成り立つことをいう（左辺が実数であることも要求に含む）。

行列で言えば、$A=(\varphi(x_j-x_k))_{j,k}$ と $d_j:=\overline{c_j}$ について左辺は $\sum_{j,k}\overline{d_j}A_{jk}d_k=d^*Ad$ なので、条件は $A$ が Hermite 行列で半正定値であることと同値である（正定値行列）。文献によっては「半正定値関数」と呼ぶ。添字の名前を付け替えれば、局所コンパクト群のユニタリ表現の定義「正定値関数」を加法群 $G=\mathbb R^n$ に当てはめたものと同じ条件である。$n=1$ なら、連続な正定値関数 $\varphi$ から作る核 $k(s,t)=\varphi(s-t)$ は有界閉区間の上の正の型の核であり、積分作用素の固有関数による一様収束する展開をもつ（Mercerの定理）。

正定値関数の初等的な性質

$\varphi$ を正定値関数とする。

$\varphi(0)\ge0$、$\varphi(-x)=\overline{\varphi(x)}$、$\lvert\varphi(x)\rvert\le\varphi(0)$ である。とくに $\varphi(0)=0$ なら $\varphi=0$ である。
正定値関数の $0$ 以上の定数倍・和・各点での極限は正定値である。
$\mu$ が有限な正の測度なら $\widehat\mu$ は連続な正定値関数で、$\widehat\mu(0)=\mu(\mathbb R^n)$ である。

1：$m=1$ で $\lvert c_1\rvert^2\varphi(0)\ge0$ である。$m=2$、点 $0,x$ の行列 $\begin{pmatrix}\varphi(0)&\varphi(-x)\\\varphi(x)&\varphi(0)\end{pmatrix}$ は Hermite 行列で半正定値なので、$\varphi(-x)=\overline{\varphi(x)}$ であり、行列式から $\varphi(0)^2-\lvert\varphi(x)\rvert^2\ge0$ である（局所コンパクト群のユニタリ表現の命題「正定値関数の基本評価」と同じ議論）。
2：定義の左辺は $\varphi$ について線形で、$0$ 以上の数の集合は和・正の数倍・極限で閉じている。
3：$\sum_{j,k}c_j\overline{c_k}\,\widehat\mu(x_j-x_k)=\int\sum_{j,k}c_je^{ix_j\cdot\xi}\,\overline{c_ke^{ix_k\cdot\xi}}\,\mu(d\xi)=\int\Bigl\lvert\sum_jc_je^{ix_j\cdot\xi}\Bigr\rvert^2\mu(d\xi)\ge0$ である。連続性は、$\lvert e^{it\cdot x}\rvert=1$ と $\mu$ が有限であることから優収束定理による。$\square$

1 の 3 つの性質は正定値性の必要条件だが、十分条件ではない（ex-bo-counterexamples の 2 行目）。

Bochner の定理

$\varphi\colon\mathbb R^n\to\mathbb C$ を連続関数とする。$\varphi$ が正定値であることと、$\mathbb R^n$ の上の有限な正の Borel 測度 $\mu$ で $\varphi=\widehat\mu$ となるものが存在することは同値である。このとき $\mu$ はただ一つで、$\mu(\mathbb R^n)=\varphi(0)$ である。とくに、$\varphi(0)=1$ を満たす連続な正定値関数は、確率測度の特性関数とちょうど一致する。

証明の組み立て

証明（prf-thm-bo-main）には 2 つの補題を使う。1 つめの lem-bo-integral は正定値性を和から積分へ移し、2 つめの lem-bo-integrable は可積分な正定値関数の Fourier 変換が $0$ 以上の密度になることを示す。

1 つめの補題は次のとおりである。

積分の形の正定値性

$\varphi$ を連続な正定値関数、$R>0$、$Q:=[0,R]^n$、$x\in\mathbb R^n$ とする。このとき
$$ 0\le\frac1{R^n}\int_Q\int_Q\varphi(s-u)e^{-i(s-u)\cdot x}\,ds\,du=\int_{[-R,R]^n}\varphi(v)e^{-iv\cdot x}\prod_{l=1}^n\Bigl(1-\frac{\lvert v_l\rvert}R\Bigr)dv $$
である。

要点：Riemann 和は正定値性の定義の左辺の形をしている。

詳しい証明を開く

$N\ge1$ について $Q$ を一辺 $R/N$ の $N^n$ 個の小立方体に分け、各小立方体の頂点のうち原点にもっとも近いものを $s_1,\dots,s_{N^n}$ とする。$c_j:=e^{-is_j\cdot x}(R/N)^n$ とおくと、正定値性から $\sum_{j,k}\varphi(s_j-s_k)e^{-i(s_j-s_k)\cdot x}(R/N)^{2n}=\sum_{j,k}c_j\overline{c_k}\varphi(s_j-s_k)\ge0$ である。被積分関数 $(s,u)\mapsto\varphi(s-u)e^{-i(s-u)\cdot x}$ は $Q\times Q$ で一様連続なので、左辺は $N\to\infty$ で $\int_Q\int_Q\varphi(s-u)e^{-i(s-u)\cdot x}\,ds\,du$ に近づき、この積分は $0$ 以上の実数である。

等式は、$s=u+v$ と置換して Fubiniの定理を使うと $\int_Q\int_QF(s-u)\,ds\,du=\int_{\mathbb R^n}F(v)\,\lambda\bigl(\{u\in Q:u+v\in Q\}\bigr)\,dv$（$\lambda$ は Lebesgue 測度）であり、$\{u\in Q:u+v\in Q\}$ は各辺の長さが $\max\{R-\lvert v_l\rvert,0\}$ の直方体であることによる。$\square$

2 つめは、可積分な場合に密度を作るものである。ここで Gauss 関数の Fourier 変換
$$ \int_{\mathbb R^n}e^{-iy\cdot x}e^{-\varepsilon\lvert x\rvert^2/2}\,dx=\Bigl(\frac{2\pi}\varepsilon\Bigr)^{n/2}e^{-\lvert y\rvert^2/(2\varepsilon)}\qquad(\varepsilon>0) $$
を使う。これは平均 $0$、分散 $1/\varepsilon$ の正規分布の特性関数 $e^{-y^2/(2\varepsilon)}$（正規分布の定理「積率母関数と特性関数」）を座標ごとに掛け、密度 $(\varepsilon/2\pi)^{1/2}e^{-\varepsilon x^2/2}$ の規格化の定数を戻して $(2\pi/\varepsilon)^{n/2}$ 倍したものである。言い換えると、$G_\varepsilon(y):=(2\pi)^{-n}\int e^{-iy\cdot x}e^{-\varepsilon\lvert x\rvert^2/2}\,dx=(2\pi\varepsilon)^{-n/2}e^{-\lvert y\rvert^2/(2\varepsilon)}$ は、各座標が独立に平均 $0$、分散 $\varepsilon$ の正規分布に従う確率ベクトルの密度である。

可積分な正定値関数の密度

$\psi$ を連続で可積分な正定値関数とし、$g(x):=(2\pi)^{-n}\int_{\mathbb R^n}\psi(v)e^{-iv\cdot x}\,dv$ とおく。このとき $g\ge0$、$g$ は可積分で $\int g\,dx=\psi(0)$ であり、すべての $t$ について $\psi(t)=\int g(x)e^{it\cdot x}\,dx$ である。

$g\ge0$。 lem-bo-integral の右辺の被積分関数は $\lvert\psi\rvert$ で押さえられ、$R\to\infty$ で $\psi(v)e^{-iv\cdot x}$ に各点で近づく。優収束定理により右辺は $(2\pi)^ng(x)$ に近づき、左辺が $0$ 以上なので $g(x)\ge0$ である。
反転。 $\varepsilon>0$ とする。$\lvert\psi(v)\rvert e^{-\varepsilon\lvert x\rvert^2/2}$ は $\mathbb R^n\times\mathbb R^n$ で可積分なので、Fubiniの定理と上の Gauss 関数の式から
$$ \int g(x)e^{it\cdot x}e^{-\varepsilon\lvert x\rvert^2/2}\,dx=\int\psi(v)\,G_\varepsilon(v-t)\,dv=E\bigl[\psi(t+\sqrt\varepsilon\,Z)\bigr] $$
である。ここで $Z$ は各座標が独立に標準正規分布に従う確率ベクトルである。$\psi$ は有界連続なので（prop-bo-basic の 1）、$\varepsilon\downarrow0$ で右辺は $\psi(t)$ に近づく（優収束定理）。$t=0$ とすると、$g\ge0$ なので単調収束定理により左辺は $\int g\,dx$ に近づき、$\int g\,dx=\psi(0)<\infty$ である。$g$ が可積分になったので、一般の $t$ について左辺は優収束定理により $\int g(x)e^{it\cdot x}\,dx$ に近づく。よって $\psi(t)=\int g(x)e^{it\cdot x}\,dx$ である。$\square$

Gauss 関数を掛けて外す

測度が存在すれば正定値。 prop-bo-basic の 3 による。
正定値なら測度が存在する。 prop-bo-basic の 1 により、$\varphi(0)=0$ なら $\varphi=0$ で $\mu=0$ とすればよい。$\varphi(0)>0$ なら $\varphi/\varphi(0)$ を考えて、$\varphi(0)=1$ としてよい。
段 1（Gauss 関数を掛ける）：$N\ge1$ について $\varphi_N(t):=\varphi(t)e^{-\lvert t\rvert^2/(2N)}$ とおく。$\gamma_N$ を各座標が独立に平均 $0$、分散 $1/N$ の正規分布に従う確率ベクトルの分布とすると、$e^{-\lvert t\rvert^2/(2N)}=\widehat{\gamma_N}(t)$ である。点 $x_j$ と係数 $c_j$ について
$$ \sum_{j,k}c_j\overline{c_k}\,\varphi_N(x_j-x_k)=\int\sum_{j,k}\bigl(c_je^{ix_j\cdot y}\bigr)\overline{\bigl(c_ke^{ix_k\cdot y}\bigr)}\,\varphi(x_j-x_k)\,\gamma_N(dy)\ge0 $$
である。被積分関数は係数 $c_je^{ix_j\cdot y}$ についての正定値性の式の左辺なので、各 $y$ で $0$ 以上だからである。よって $\varphi_N$ は連続な正定値関数で、$\lvert\varphi_N(t)\rvert\le e^{-\lvert t\rvert^2/(2N)}$ なので可積分である。
段 2（密度）：lem-bo-integrable により、確率密度 $g_N\ge0$（$\int g_N=\varphi_N(0)=1$）で $\varphi_N=\widehat{\mu_N}$、$\mu_N(dx)=g_N(x)\,dx$ となるものがある。
段 3（極限）：$N\to\infty$ で各点 $t$ について $\varphi_N(t)\to\varphi(t)$ であり、$\varphi$ は $t=0$ で連続である。Lévy の連続性定理（$n=1$ では特性関数(確率論) の定理「Lévy の連続性定理」の 2、$n\ge2$ では Dur19 Theorem 3.10.5 とその後の注意（p. 200））により、$\varphi$ はある確率測度 $\mu$ の特性関数であり、$\varphi=\widehat\mu$ である。
一意性。 特性関数は分布を決める（$n=1$ では特性関数(確率論) の系「特性関数は分布を決める」、$n\ge2$ では Dur19 Theorem 3.10.4（p. 199）の反転公式。2 つの有限な測度のどちらかで正の重みをもつ座標超平面 $\{x_l=c\}$ は各 $l$ について可算個なので、それ以外の超平面だけを面にもつ直方体は両方の測度で境界が零集合になり、共通部分について閉じていて Borel 集合族を生成する。反転公式からこれらの直方体の測度が一致し、Dynkinのπ-λ定理により測度が一致する）。$\varphi(0)$ 倍に戻せば一般の場合になり、$\mu(\mathbb R^n)=\widehat\mu(0)=\varphi(0)$ である。$\square$

段 3 の Lévy の連続性定理は、確率が無限遠へ逃げないこと（緊密性）を $\varphi$ の原点での連続性から引き出している。連続性を外すと結論が成り立たない（ex-bo-counterexamples の 1 行目）。

例

正定値関数と対応する測度

$\varphi(t)=e^{-\lvert t\rvert^2/2}$ は、各座標が独立に標準正規分布に従う確率ベクトルの分布に対応する。
$n=1$、$\varphi(t)=e^{-\lvert t\rvert}$ は、密度 $\frac1{\pi(1+x^2)}$ の Cauchy 分布に対応する（特性関数(確率論) の例「Cauchy 分布の特性関数」）。$\varphi$ は $t=0$ で微分できないが、正定値性には滑らかさは要らない。
$n=1$、$\varphi(t)=\cos t$ は、$\pm1$ に確率 $\frac12$ ずつをおく測度 $\frac12(\delta_1+\delta_{-1})$ に対応する。$\varphi$ は可積分でなく、測度は密度をもたない。一般に $a_1,\dots,a_r\in\mathbb R^n$ と $p_l\ge0$ について $\sum_lp_le^{ia_l\cdot t}$ は点 $a_l$ に重み $p_l$ をおく測度に対応する。
$n=1$、$\varphi(t)=(1-\lvert t\rvert)_+:=\max\{1-\lvert t\rvert,0\}$ は、密度 $g(x)=\dfrac{1-\cos x}{\pi x^2}$（$g(0)=\frac1{2\pi}$）の確率分布に対応する（Dur19 Example 3.3.15（p. 131））。

要点：1〜3 は測度の側から $\widehat\mu$ を計算し、4 は反転公式で密度を確かめる。

詳しい確かめを開く

1 は正規分布の定理「積率母関数と特性関数」と独立な確率変数の和の特性関数の積の公式（特性関数(確率論) の命題「特性関数の基本性質」の 4。$n$ 次元では座標ごとの積分の積）による。3 は $\int e^{itx}\,\frac12(\delta_1+\delta_{-1})(dx)=\frac12(e^{it}+e^{-it})=\cos t$ である。

4：部分積分により $\int_{-1}^1(1-\lvert t\rvert)e^{-itx}\,dt=2\int_0^1(1-t)\cos tx\,dt=2\Bigl[\frac{(1-t)\sin tx}x\Bigr]_0^1+2\int_0^1\frac{\sin tx}x\,dt=\frac{2(1-\cos x)}{x^2}$（$x\ne0$）である。$\varphi$ は連続で可積分であり、Fourier変換の規格化での変換は $\widehat\varphi(\xi)=\int\varphi(t)e^{-2\pi it\xi}\,dt=2\pi g(2\pi\xi)$ で、$g\ge0$ は $0\le g(x)\le\min\{\frac1{2\pi},\frac2{\pi x^2}\}$ を満たすので可積分である。同じ記事の定理「Fourier反転公式」により、すべての $t$ で $\varphi(t)=\int2\pi g(2\pi\xi)e^{2\pi it\xi}\,d\xi=\int g(x)e^{itx}\,dx$ である（$x=2\pi\xi$）。$t=0$ から $\int g=1$ である。$\square$

4 の例は、Dur19 Theorem 3.3.22（Pólya の判定法、p. 137）の出発点である。実数値で偶関数の $\varphi$ が $\varphi(0)=1$、$(0,\infty)$ で単調非増加かつ凸で、$t\downarrow0$ で $1$ に、$t\to\infty$ で $0$ に近づくなら、$\varphi$ は確率測度の特性関数である。たとえば $0<\alpha\le1$ について $e^{-\lvert t\rvert^\alpha}$ がそうである（この記事では証明しない）。

応用：スペクトル測度

正定値関数は「何かの自己相関」として現れることが多く、Bochner の定理はそれに測度（スペクトル測度）を与える。

ユニタリ表現の行列要素のスペクトル測度

$\pi$ を $\mathbb R^n$ の Hilbert 空間 $\mathcal H$ 上の強連続ユニタリ表現とし、$\xi\in\mathcal H$ とする（内積 $\langle\cdot,\cdot\rangle$ は第 1 引数について共役線形とする）。このとき有限な正の測度 $\mu_\xi$ がただ一つあり、
$$ \langle\xi,\pi(t)\xi\rangle=\int_{\mathbb R^n}e^{it\cdot x}\,\mu_\xi(dx)\qquad(t\in\mathbb R^n),\qquad\mu_\xi(\mathbb R^n)=\|\xi\|^2 $$
が成り立つ。逆に、連続な正定値関数はどれもこの形に書ける。

$\varphi_\xi(t):=\langle\xi,\pi(t)\xi\rangle$ は、局所コンパクト群のユニタリ表現の定理「正定値関数のGNS表現」の前の段落により連続な正定値関数である（$\sum_{j,k}\overline{c_j}c_k\varphi_\xi(x_k-x_j)=\|\sum_kc_k\pi(x_k)\xi\|^2$ で、添字を付け替えれば def-bo-pd の条件になる）。thm-bo-main により $\mu_\xi$ が存在してただ一つで、$\mu_\xi(\mathbb R^n)=\varphi_\xi(0)=\|\xi\|^2$ である。逆の主張は同じ記事の定理「正定値関数のGNS表現」である。$\square$

たとえば $L^2(\mathbb R)$ 上の平行移動 $(\pi(t)f)(x)=f(x-t)$ では、Plancherelの定理により $\langle f,\pi(t)f\rangle=\int\overline{f(x)}f(x-t)\,dx=\int e^{-2\pi it\xi}\lvert\widehat f(\xi)\rvert^2\,d\xi$ なので、$\mu_f$ は測度 $\lvert\widehat f(\xi)\rvert^2d\xi$ を写像 $\xi\mapsto-2\pi\xi$ で写したものである。関数の自己相関のスペクトル測度は、Fourier 変換の絶対値の 2 乗である。

弱定常過程の共分散関数

$(X_t)_{t\in\mathbb R}$ を実数値の確率変数の族で、$E[X_t^2]<\infty$、$E[X_t]=0$ であり、$E[X_{s+t}X_s]=:r(t)$ が $s$ によらないもの（弱定常）とする。$r$ が連続なら、有限な正の測度 $F$ で $r(t)=\int e^{itx}F(dx)$、$F(\mathbb R)=E[X_0^2]$ となるものがただ一つある。実際、$r(x_j-x_k)=E[X_{x_j}X_{x_k}]$ なので
$$ \sum_{j,k}c_j\overline{c_k}\,r(x_j-x_k)=E\Bigl[\Bigl\lvert\sum_jc_jX_{x_j}\Bigr\rvert^2\Bigr]\ge0 $$
であり、$r$ は連続な正定値関数である。thm-bo-main を当てればよい。$r$ は実数値で $r(-t)=r(t)$ なので、一意性から $F$ は原点について対称である。$F$ を過程の スペクトル測度 といい、この表示を共分散関数のスペクトル表示（Wiener–Khinchin の定理）という。

反例：条件を外すと成り立たない

外す条件	反例（$n=1$）	成り立たなくなること
$\varphi$ の連続性	$\varphi=\mathbf 1_{\{0\}}$（$\varphi(0)=1$、$t\ne0$ で $0$）	正定値だが、どんな有限な正の測度 $\mu$ についても $\widehat\mu$ にならない
正定値性（初等的な必要条件だけを課す）	$\varphi(t)=e^{-t^4}$	連続で $\varphi(0)=1\ge\lvert\varphi\rvert$、$\varphi(-t)=\overline{\varphi(t)}$ を満たすが、$\widehat\mu$ にならない
測度の正値性	$\nu=\delta_1+\delta_{-1}-\delta_0$、$\varphi(t)=\int e^{itx}\nu(dx)=2\cos t-1$	符号付き測度の変換は正定値とは限らない

反例：表の各行の確かめ

要点：1 行目は特性関数の連続性、2 行目は 2 次の積率の評価、3 行目は 2 点の行列式で確かめる。

詳しい確かめを開く

1 行目：点 $x_1,\dots,x_m$ を値ごとにまとめると $\sum_{j,k}c_j\overline{c_k}\mathbf 1_{\{0\}}(x_j-x_k)=\sum_v\bigl\lvert\sum_{j:x_j=v}c_j\bigr\rvert^2\ge0$ なので正定値である。$\widehat\mu$ は連続（prop-bo-basic の 3）だが $\varphi$ は $0$ で連続でないので、$\varphi=\widehat\mu$ となる $\mu$ はない。

2 行目：まず、有限な正の測度 $\mu$ について $\varphi=\widehat\mu$ なら $\int x^2\mu(dx)\le\liminf_{h\to0}\frac{2\varphi(0)-\varphi(h)-\varphi(-h)}{h^2}$ であることを示す。$\frac{2\varphi(0)-\varphi(h)-\varphi(-h)}{h^2}=\int\frac{2(1-\cos hx)}{h^2}\,\mu(dx)$ で、被積分関数は $0$ 以上で $h\to0$ のとき $x^2$ に近づくので、Fatouの補題による。$\varphi(t)=e^{-t^4}$ では $\frac{2-2e^{-h^4}}{h^2}\le2h^2\to0$ なので、$\varphi=\widehat\mu$ なら $\int x^2\mu(dx)=0$、すなわち $\mu$ は原点だけに重み $\mu(\mathbb R)=\varphi(0)=1$ をもち、$\widehat\mu\equiv1$ となって $\varphi(1)=e^{-1}$ に矛盾する。thm-bo-main により $e^{-t^4}$ は正定値でない。初等的な性質は $e^{-t^4}$ が実数値の偶関数で $0< e^{-t^4}\le1$ であることから明らかである。

3 行目：$\varphi(0)=1$、$\varphi(\pm\pi)=-3$ で、点 $0,\pi$ の行列 $\begin{pmatrix}1&-3\\-3&1\end{pmatrix}$ の行列式は $-8<0$ なので半正定値でない。prop-bo-basic の 1 の $\lvert\varphi\rvert\le\varphi(0)$ も破れている。$\square$

2 行目は、正定値性が「$\varphi(0)\ge\lvert\varphi\rvert$ で Hermite 対称」よりずっと強い条件であることを示している。同じ議論により、$\alpha>2$ なら $e^{-\lvert t\rvert^\alpha}$ も正定値でない（$\frac{2-2e^{-h^\alpha}}{h^2}\le2h^{\alpha-2}\to0$）。

補足

定理を $\varphi(0)=1$ の場合に言い換えると、「連続な関数 $\varphi$ が確率分布の特性関数であるための必要十分条件は、$\varphi(0)=1$ かつ正定値であること」になる。特性関数の凸結合が特性関数であることは、正定値性の側からは prop-bo-basic の 2 で直ちに分かる。積については、$\widehat\mu\,\widehat\nu$ が畳み込み $\mu*\nu$（独立な和の分布）の変換であることから分かり、連続な正定値関数の積が正定値であることも定理を通して従う。
正定値関数の考え方は、$\mathbb R^n$ 以外の群の上でも使われる。群の上の連続な正定値関数とユニタリ表現の対応は局所コンパクト群のユニタリ表現にある。コンパクト群では Peter–Weylの定理が表現の離散的な分解を与える。

参考文献

[1]

Rick Durrett, Probability: Theory and Examples (Version 5, January 11, 2019), Rick Durrett, 閲覧日 2026年10月1日, https://services.math.duke.edu/~rtd/PTE/PTE5_011119.pdf

Mathpediaは寄付と、参考文献の書籍リンク（Amazonアソシエイト）の紹介料で運営されています。支援について／寄付する

Bochnerの定理

Bochnerの定理

概要

正定値関数

Bochner の定理

例

応用：スペクトル測度

反例：条件を外すと成り立たない

補足

関連項目

参考文献