Martinの公理

$p_{-1}:=p$ とおく。$D_0$ の稠密性から $p_0\le p_{-1}$ を満たす $p_0\in D_0$ を選び、以下同様に $p_n\le p_{n-1}$ を満たす $p_n\in D_n$ を順に選ぶ（各段の選択が前の段の結果に依存するので、使うのは従属選択公理である）。すると $p_{-1}\ge p_0\ge p_1\ge\cdots$ である。
$$ G:=\{q\in P\mid q\ge p_n\text{ となる }n\ge-1\text{ がある}\} $$
とおく。$p=p_{-1}\in G$ なので (i) が成り立つ。$q\in G$ の証人を $p_n$ とすると、$q\le q'$ なら $q'\ge q\ge p_n$ なので (ii) が成り立つ。$q_1,q_2\in G$ の証人を $p_m,p_n$ とし $k=\max(m,n)$ とおくと、列が減少するので $p_k\le p_m\le q_1$、$p_k\le p_n\le q_2$ であり、$p_k\in G$ だから (iii) が成り立つ。最後に $p_n\in G\cap D_n$ なので、$G$ はすべての $D_n$ と交わる。$\square$

$\kappa<2^{\aleph_0}=\aleph_1$ なら $\kappa\le\aleph_0$ であり、$\mathrm{MA}_\kappa$ はprop-ma-countableから従う。$\square$

$P=2^{<\omega}$ は可算なので ccc を満たす。各 $n<\omega$ に対し $E_n:=\{s\in P\mid\text{長さが }n\text{ 以上}\}$ とおく。任意の $s$ は $0$ を付け足して長さ $n$ 以上に延長できるので、$E_n$ は稠密である。各 $x\in2^\omega$（無限二値列）に対し
$$ D_x:=\{s\in P\mid s(k)\ne x(k)\text{ となる }k<\operatorname{長さ}(s)\text{ がある}\} $$
とおく。任意の $s$ に、次の位置 $k=\operatorname{長さ}(s)$ の値として $1-x(k)$ を付け足せば $D_x$ の元になるので、$D_x$ も稠密である。$\mathcal D:=\{E_n\mid n<\omega\}\cup\{D_x\mid x\in2^\omega\}$ とおくと、$x\mapsto D_x$ は単射（$x\ne y$ なら $y$ の長さ $k+1$ の初期部分は $D_x$ に入り $D_y$ に入らない、ただし $k$ は $x(k)\ne y(k)$ となる位置）なので $\lvert\mathcal D\rvert=2^{\aleph_0}$ である。

$G$ を $\mathcal D$-ジェネリックなフィルターと仮定する。$G$ の 2 元は共通の延長をもつので、互いに一方が他方の初期部分である。よって $c:=\bigcup G$ は関数であり、$G$ がすべての $E_n$ と交わることから定義域は $\omega$ 全体、すなわち $c\in2^\omega$ である。$G$ は $D_c$ とも交わるので、ある $s\in G$ と $k$ について $s(k)\ne c(k)$ となる。しかし $s\subseteq c$ だから $s(k)=c(k)$ であり、矛盾する。$\square$

$2^{\aleph_0}=\aleph_1$ なら $\mathrm{MA}_{\aleph_1}$ は $\mathrm{MA}_{2^{\aleph_0}}$ そのものであり、prop-ma-continuumに反する。後半は、前半と、$2^{\aleph_0}>\aleph_1$ なら $\aleph_1<2^{\aleph_0}$ なので MA から $\mathrm{MA}_{\aleph_1}$ が従うことによる。$\square$

$n<\omega$ に対し $E_n:=\{p\mid n\in\operatorname{dom}(p)\}$、$\alpha<\omega_1$ に対し $R_\alpha:=\{p\mid\alpha\in\operatorname{ran}(p)\}$ とおく。任意の $p$ に対し、$n\notin\operatorname{dom}(p)$ なら $p\cup\{\langle n,0\rangle\}\in E_n$ が $p$ を延長する。また $\alpha\notin\operatorname{ran}(p)$ なら、$\operatorname{dom}(p)$ は有限なので $m\notin\operatorname{dom}(p)$ を選べて $p\cup\{\langle m,\alpha\rangle\}\in R_\alpha$ が $p$ を延長する。よってどれも稠密であり、族 $\mathcal D:=\{E_n\}_{n<\omega}\cup\{R_\alpha\}_{\alpha<\omega_1}$ の濃度は $\aleph_1$ である。

$\mathcal D$-ジェネリックなフィルター $G$ があれば、prop-ma-continuumの証明と同じ理由で $f:=\bigcup G$ は関数で、$E_n$ と交わることから $\operatorname{dom}(f)=\omega$、$R_\alpha$ と交わることから $\operatorname{ran}(f)\supseteq\omega_1$ となる。すると $f$ は $\omega$ から $\omega_1$ への全射であり、$\omega_1$ が非可算であることに反する。$\square$

痩せた集合 $M_i$（$i<\kappa$）が与えられたとする。各 $M_i$ は疎な集合の可算和であり、$\kappa\cdot\aleph_0=\kappa$ だから、疎な集合 $N_j$（$j<\kappa$）で $\bigcup_iM_i=\bigcup_jN_j$ となるものがとれる。これらの外にある点を作る。

強制概念 $P=2^{<\omega}$（延長を強いとする）を使う。可算なので ccc を満たす。各 $j$ に対し
$$ D_j:=\{s\in P\mid[s]\cap N_j=\emptyset\} $$
とおく。$D_j$ が稠密であることを示す。$s\in P$ を任意にとる。$[s]$ は空でない開集合で、$\overline{N_j}$ の内部は空なので $[s]\not\subseteq\overline{N_j}$ であり、点 $x\in[s]\setminus\overline{N_j}$ がある。$2^\omega\setminus\overline{N_j}$ は開集合なので、$x$ の十分長い初期部分 $t$ について $[t]\subseteq[s]\setminus\overline{N_j}$ となり、$t$ は長さを $s$ 以上にとれば $s$ の延長である。$t\in D_j$ だから $D_j$ は稠密である。

prop-ma-continuumの証明で使った $E_n$（長さ $n$ 以上の列全体）とあわせた族 $\{D_j\}_{j<\kappa}\cup\{E_n\}_{n<\omega}$ の濃度は $\kappa$ なので、$\mathrm{MA}_\kappa$ によりこの族に対するジェネリックなフィルター $G$ がある。prop-ma-continuumの証明と同じく $x:=\bigcup G\in2^\omega$ である。各 $j$ について $s\in G\cap D_j$ をとると、$s\subseteq x$ より $x\in[s]$、そして $[s]\cap N_j=\emptyset$ だから $x\notin N_j$ である。よって $x\notin\bigcup_jN_j$。$\square$

$\mathcal C:=\mathcal A\setminus\mathcal B$ とおく。$P$ を、$s$ が $\omega$ の有限部分集合、$E$ が $\mathcal C$ の有限部分集合であるような対 $\langle s,E\rangle$ 全体とし、
$$ \langle t,F\rangle\le\langle s,E\rangle\iff s\subseteq t,\ E\subseteq F,\ (t\setminus s)\cap\textstyle\bigcup E=\emptyset $$
と定める。$\langle s,E\rangle$ は「$c$ の元のうち $s$ までは確定し、以後 $E$ の元には新しい点を入れない」という約束を表す。$\langle u,H\rangle\le\langle t,F\rangle\le\langle s,E\rangle$ なら $u\setminus s=(u\setminus t)\cup(t\setminus s)$ で、$u\setminus t$ は $\bigcup F\supseteq\bigcup E$ と、$t\setminus s$ は $\bigcup E$ と交わらないので、推移律が成り立つ。反射律・反対称律は明らかである。

ccc。 $\langle s,E\rangle$ と $\langle s,F\rangle$ は $\langle s,E\cup F\rangle$ を共通の延長にもつので両立する。$\omega$ の有限部分集合は可算個しかないので、非可算な部分集合 $W\subseteq P$ には第 1 成分の等しい相異なる 2 元があり、$W$ は反鎖でない。

稠密集合。 $a\in\mathcal C$ に対し $D_a:=\{\langle s,E\rangle\mid a\in E\}$ は稠密である（$\langle s,E\cup\{a\}\rangle\le\langle s,E\rangle$）。$b\in\mathcal B$ と $k<\omega$ に対し $D_{b,k}:=\{\langle s,E\rangle\mid\lvert s\cap b\rvert\ge k\}$ も稠密である。実際、$\langle s,E\rangle$ が与えられたとき、$b\notin E$ で $E$ は有限だから $b\cap\bigcup E$ は有限であり、無限集合 $b\setminus\bigcup E$ から $k$ 個の点を選んで $s$ に加えた $t$ について $\langle t,E\rangle\le\langle s,E\rangle$、$\langle t,E\rangle\in D_{b,k}$ となる。

族 $\{D_a\}_{a\in\mathcal C}\cup\{D_{b,k}\}_{b\in\mathcal B,k<\omega}$ の濃度は $\kappa$ 以下なので、$\mathrm{MA}_\kappa$ によりこれに対するジェネリックなフィルター $G$ がある。$c:=\bigcup\{s\mid\langle s,E\rangle\in G\}$ とおく。

$b\in\mathcal B$ なら、各 $k$ について $G\cap D_{b,k}$ の元 $\langle s,E\rangle$ があり $\lvert c\cap b\rvert\ge\lvert s\cap b\rvert\ge k$ なので、$c\cap b$ は無限である。

$a\in\mathcal C$ なら、$\langle s,E\rangle\in G\cap D_a$ をとる。任意の $\langle t,F\rangle\in G$ に対し、フィルターの条件 (iii) から共通の延長 $\langle u,H\rangle\in G$ がある。$u\setminus s$ は $\bigcup E\supseteq a$ と交わらないので $t\cap a\subseteq u\cap a\subseteq s\cap a$ である。よって $c\cap a\subseteq s$ は有限である。$\square$

ex-ma-ad-familyにより、濃度 $\kappa$ の概素族 $\mathcal A=\{a_\alpha\mid\alpha<\kappa\}$（添字づけは単射）がとれる。各 $u\subseteq\kappa$ に対し、$\mathcal B_u:=\{a_\alpha\mid\alpha\in u\}$ としてlem-ma-codingを適用し、$c_u\subseteq\omega$ を 1 つ選ぶ。

$u\ne v$ なら $c_u\ne c_v$ である。実際、たとえば $\alpha\in u\setminus v$ なら $c_u\cap a_\alpha$ は無限、$c_v\cap a_\alpha$ は有限である。よって $u\mapsto c_u$ は $\mathcal P(\kappa)$ から $\mathcal P(\omega)$ への単射で、$2^\kappa\le2^{\aleph_0}$ となる。逆向きの $2^{\aleph_0}\le2^\kappa$ は $\aleph_0\le\kappa$ から従う。$\square$

$\lambda:=\operatorname{cf}(2^{\aleph_0})$ とし、$\lambda<2^{\aleph_0}$ と仮定する。$\lambda$ は無限基数なので、MA から $\mathrm{MA}_\lambda$ が従い、thm-ma-powerにより $2^\lambda=2^{\aleph_0}$ である。一方、Königの定理の記事の「冪の基数の共終数」により $\operatorname{cf}(2^\lambda)>\lambda$ だから、$\operatorname{cf}(2^{\aleph_0})>\lambda=\operatorname{cf}(2^{\aleph_0})$ となって矛盾する。後半は $\kappa=\aleph_1$ にthm-ma-powerを適用すればよい。$\square$