開平法：平方根の筆算

$\sqrt{54756}$ を開平法で求める（図 1）。

• 右から 2 桁ずつ区切る：$5\,|\,47\,|\,56$。
• 1 段目：$2^2=4\le5<9=3^2$ なので $2$ を立てる。$5-4=1$。
• 2 段目：残り $1$ に次の 2 桁 $47$ を下ろして $147$。立てた $2$ を 2 倍した $4$ の後ろに数字 $d$ をつけた $(40+d)$ に $d$ を掛けて、$147$ を超えない最大の $d$ を探す。$43\times3=129\le147<176=44\times4$ なので $3$ を立てる。$147-129=18$。
• 3 段目：$18$ に $56$ を下ろして $1856$。ここまでの答え $23$ を 2 倍した $46$ の後ろに $d$ をつけた $(460+d)$ について、$464\times4=1856\le1856$、$465\times5=2325>1856$ なので $4$ を立てる。$1856-1856=0$。
  答えは $234$、余りは $0$ で、$\sqrt{54756}=234$ である。実際 $234^2=54756$ である。

$\sqrt2$ を求める。$2$ の後ろに小数点以下の $00$ を必要なだけつけ、$2\,|\,00\,|\,00\,|\,00\,|\,00$ と区切る。

• $1^2=1\le2<4$ なので $1$。残り $1$。
• $100$：$(20+d)d\le100$ となる最大の $d$ を探す。$100\mathbin{÷}20=5$ から見積もると $25\times5=125>100$ で大きすぎる。$24\times4=96\le100$ なので $4$。残り $4$。
• $400$：$(280+d)d\le400$。$281\times1=281\le400<564=282\times2$ なので $1$。残り $119$。
• $11900$：$(2820+d)d\le11900$。$2824\times4=11296\le11900<14125=2825\times5$ なので $4$。残り $604$。
• $60400$：$(28280+d)d\le60400$。$28282\times2=56564\le60400<84849=28283\times3$ なので $2$。残り $3836$。
  よって $\sqrt2=1.4142\cdots$ である。$14142^2=199996164$ で、$200000000-199996164=3836$ が最後の余りと一致する。

• $a=2$、$d=3$：$23^2=529$、右辺は $100\cdot4+43\cdot3=400+129=529$。
• $a=23$、$d=4$：$234^2=100\cdot23^2+(460+4)\cdot4=52900+1856=54756$。ex-srl-start の 3 段目で引いた $1856$ は、この L 字の面積である。

• $N=1000$：$31^2=961\le1000<1024=32^2$ なので $\lfloor\sqrt{1000}\rfloor=31$、余りは $1000-961=39$。
• $N=54756$：$234^2=54756$ なので $\lfloor\sqrt{54756}\rfloor=234$、余りは $0$。
• $N=2$：$1^2\le2<2^2$ なので $\lfloor\sqrt2\rfloor=1$、余りは $1$。
  3 つの余り $39,0,1$ を $2\lfloor\sqrt N\rfloor$（$62,468,2$）と比べると、どれも $2\lfloor\sqrt N\rfloor$ 以下である。これが次の補題の内容である。

• $N=54756$：$n_2=5$、$n_1=47$、$n_0=56$ で、$N_2=5$、$N_1=547$、$N_0=54756$ である。$N_1=100\cdot5+47$、$N_0=100\cdot547+56$ である。
• $N=1000$：$n_1=10$、$n_0=0$ で、$N_1=10$、$N_0=1000=100\cdot10+0$ である。

• $N=54756$（ex-srl-start）：各段の答えと残りは $(a_2,r_2)=(2,1)$、$(a_1,r_1)=(23,18)$、$(a_0,r_0)=(234,0)$ である。定理のとおり、$\lfloor\sqrt{N_2}\rfloor=\lfloor\sqrt5\rfloor=2$、$5-4=1$；$\lfloor\sqrt{547}\rfloor=23$（$529\le547<576$）、$547-529=18$；$\lfloor\sqrt{54756}\rfloor=234$、余り $0$ である。
• $N=1000$：$n_1=10$、$n_0=0$。$j=1$：$c_1=10$、$3\cdot3=9\le10<16$ なので $d_1=3$、$a_1=3$、$r_1=1$。$j=0$：$c_0=100\cdot1+0=100$、$(60+d)d\le100$ は $d=1$ で $61\le100$、$d=2$ で $124>100$ なので $d_0=1$、$a_0=31$、$r_0=100-61=39$。ex-srl-isqrt の $\lfloor\sqrt{1000}\rfloor=31$、余り $39$ と一致する。

$f=x^4+4x^3+10x^2+12x+9$ の平方根を求める。

• 最高次の項 $x^4$ の平方根 $x^2$ を立てる。$f-(x^2)^2=4x^3+10x^2+12x+9$。
• 残りの最高次の項 $4x^3$ を、立てた $x^2$ の 2 倍 $2x^2$ で割って、次の項 $2x$ を得る。$(2x^2+2x)\cdot2x=4x^3+4x^2$ を引いて $6x^2+12x+9$。
• $6x^2$ を $2x^2$ で割って、次の項 $3$ を得る。ここまでの答え $x^2+2x$ の 2 倍 $2x^2+4x$ に $3$ を足した $(2x^2+4x+3)$ に $3$ を掛けた $6x^2+12x+9$ を引いて $0$。
  よって $f=(x^2+2x+3)^2$ である。$x=10$ を入れると $f(10)=10000+4000+1000+120+9=15129$、$x^2+2x+3$ は $123$ になる。$15129$ の開平法は、$1\,|\,51\,|\,29$ と区切って、$1$；$51$ で $(20+2)\cdot2=44$、残り $7$；$729$ で $(240+3)\cdot3=729$、残り $0$ となり、答え $123$ の数字の並び $1,2,3$ は多項式の係数と同じである。

$f=x^4-2x^3+3x^2-2x+1$ の平方根を求める。

• $x^2$ を立てる。残り $-2x^3+3x^2-2x+1$。
• $-2x^3\mathbin{÷}2x^2=-x$。$(2x^2-x)\cdot(-x)=-2x^3+x^2$ を引いて $2x^2-2x+1$。
• $2x^2\mathbin{÷}2x^2=1$。$(2x^2-2x+1)\cdot1=2x^2-2x+1$ を引いて $0$。
  よって $f=(x^2-x+1)^2$ である。$x=10$ を入れると $f(10)=8281$、$x^2-x+1$ は $91$ で、$91^2=8281$ である。ただし $8281$ の開平法の数字は $9,1$ で、係数 $1,-1,1$ とは違う。負の係数を整数の数字に直すと借りが起きるからである。

$1+x$ に、定数項から順に開平法を使う。

• 定数項 $1$ の平方根 $1$ を立てる。残り $(1+x)-1^2=x$。
• 残りの最低次の項 $x$ を、立てた $1$ の 2 倍 $2$ で割って $\frac x2$。$\bigl(2+\frac x2\bigr)\cdot\frac x2=x+\frac{x^2}4$ を引いて、残り $-\frac{x^2}4$。
• $-\frac{x^2}4$ を $2$ で割って $-\frac{x^2}8$。ここまでの答え $1+\frac x2$ の 2 倍に $-\frac{x^2}8$ を足した $\bigl(2+x-\frac{x^2}8\bigr)$ に $-\frac{x^2}8$ を掛けた $-\frac{x^2}4-\frac{x^3}8+\frac{x^4}{64}$ を引いて、残り $\frac{x^3}8-\frac{x^4}{64}$。
• $\frac{x^3}8$ を $2$ で割って $\frac{x^3}{16}$。
  こうして $1+\frac x2-\frac{x^2}8+\frac{x^3}{16}-\cdots$ が得られる。この級数が $|x|<1$ で $\sqrt{1+x}$ に収束すること、また係数が $\sqrt{1+x}$ の Taylor 展開の係数と一致することは、ここでは証明しない。Taylor 展開の考え方は 関数の近似とテイラー展開 で扱う。$\sqrt{1+x}=(1+x)^{1/2}$ の級数は二項級数と呼ばれる（二項級数）。

上の 4 項 $1+\frac x2-\frac{x^2}8+\frac{x^3}{16}$ に $x=0.1$ を入れると
$$ 1+0.05-0.00125+0.0000625=1.0488125 $$
である。電卓の値は $\sqrt{1.1}=1.0488088\cdots$ で、差は $0.0000037$ ほどである。4 項の 2 乗を展開すると $1+x+\frac{5}{64}x^4-\frac{x^5}{64}+\frac{x^6}{256}$ となり、$x^3$ までは $1+x$ と一致している。

• $45=(101101)_2$ を右から 2 桁ずつ区切ると $10\,|\,11\,|\,01$、つまり 4 進法の区切り $2,3,1$ である。1 段目：$c=2$、$1\le2$ なので $d=1$、$a=1$、残り $1$。2 段目：$c=4\cdot1+3=7$、$4\cdot1+1=5\le7$ なので $d=1$、$a=(11)_2=3$、残り $2$。3 段目：$c=4\cdot2+1=9$、$4\cdot3+1=13>9$ なので $d=0$、$a=(110)_2=6$、残り $9$。よって $\lfloor\sqrt{45}\rfloor=6$、余り $9$ で、$36+9=45$、$9\le2\cdot6$ である。
• $100=(1100100)_2$ を区切ると $1\,|\,10\,|\,01\,|\,00$、区切りは $1,2,1,0$ である。1 段目：$c=1$、$d=1$、$a=1$、残り $0$。2 段目：$c=2$、$5>2$ なので $d=0$、$a=2$、残り $2$。3 段目：$c=4\cdot2+1=9$、$4\cdot2+1=9\le9$ なので $d=1$、$a=5$、残り $0$。4 段目：$c=0$、$21>0$ なので $d=0$、$a=10=(1010)_2$、残り $0$。よって $\sqrt{100}=10$ である。

$54756$ を左から $54\,|\,75\,|\,6$ と区切ると、区切りの並び $(54,75,6)$ は $54\cdot100^2+75\cdot100+6=547506$ を表す。これに開平法を使うと、答えは $\lfloor\sqrt{547506}\rfloor=739$（余り $1385$）となり、$\sqrt{54756}=234$ とは違う。100 進法の区切りは、一の位から 2 桁ずつとらないと、もとの数を表さない。小数点以下は逆に、小数点から右へ 2 桁ずつ区切る（$\sqrt{2}$ の $2\,|\,00\,|\,00$ のように）。

ex-srl-start の 2 段目で、$3$ の代わりに $2$ を立てたとする。$42\times2=84$ を引いた残りは $147-84=63$ で、$63>2\cdot22=44$ となり lem-srl-remainder の評価が崩れる。3 段目は $c=6356$ で、$(440+d)d\le6356$ を満たす $d$ は $d=9$（$449\times9=4041$）でもまだ余裕があり、ちょうど等しくなるのは $d=14$（$454\times14=6356$）である。$14$ は 1 桁の数字ではないので、正しい答え $234=220+14$ に 1 桁ずつでは届かない。prf-srl-main の段 3 で使った「$a=\lfloor\sqrt{N_{j+1}}\rfloor$」が成り立たないからである。

• $x^2+1$：$x$ を立てると残りは $1$ で、次の項は $1\mathbin{÷}2x$ となり多項式の項にならない。実際、$x^2+1=(x+c)^2$ とすると $x$ の係数から $2c=0$、定数項から $c^2=1$ で、両立しない（両辺の係数を比べる考え方は 恒等式と未定係数法 で扱う）。
• $x^4+2x^3+5$：$x^2$ を立て、残り $2x^3+5$。$2x^3\mathbin{÷}2x^2=x$、$(2x^2+x)x=2x^3+x^2$ を引いて $-x^2+5$。$-x^2\mathbin{÷}2x^2=-\frac12$、$\bigl(2x^2+2x-\frac12\bigr)\bigl(-\frac12\bigr)=-x^2-x+\frac14$ を引いて $x+\frac{19}4$。これは次数 $1$ で、答え $x^2+x-\frac12$ の次数 $2$ より低いので止める。$x^4+2x^3+5=\bigl(x^2+x-\frac12\bigr)^2+x+\frac{19}4$ で、残りは $0$ でない。