アデール

$x\mathcal{O}_K=\prod_{\mathfrak{p}}\mathfrak{p}^{n_{\mathfrak{p}}}$ の分解に現れる素イデアルは有限個なので、有限個を除く $\mathfrak{p}$ で $v_{\mathfrak{p}}(x)=0$、すなわち $\lvert x\rvert_{\mathfrak{p}}=1$ である。$\lvert x\rvert_v\le1$ は $x\in\mathcal{O}_v$ と同値である。$\square$

要点：$X_S$ の上では開基の元が直積位相の開基とちょうど一致する。各点はある $X_S$ に入り、$X_S$ はコンパクトな近傍の積と $\prod U_v$ の積でコンパクトな近傍をもつ（Tychonoffの定理）。

要点：位相の主張は prop-adele-restricted-basic である。和と積は開集合 $\mathbb{A}_{K,S}\times\mathbb{A}_{K,S}$ を $\mathbb{A}_{K,S}$ に写し、そこでは直積位相なので成分ごとの連続性で足りる。

前半は prop-adele-almost-all-integral である（無限素点は有限個）。無限素点について、実素点は $\lvert\sigma(x)\rvert$、複素素点は $\lvert\sigma(x)\rvert^2=\lvert\sigma(x)\rvert\,\lvert\bar\sigma(x)\rvert$ を与えるので、積は $n$ 個の埋め込みすべてについての $\lvert\sigma(x)\rvert$ の積であり、$\lvert N_{K/\mathbb{Q}}(x)\rvert$ に等しい（代数体 の記事の定理「ノルムとトレースは共役の積と和」）。
有限素点について。まず $x\in\mathcal{O}_K$、$x\ne0$ とする。$x\mathcal{O}_K=\prod_{\mathfrak{p}}\mathfrak{p}^{v_{\mathfrak{p}}(x)}$ のノルムをとると、イデアル類群 の記事の定理「イデアルのノルムの乗法性」と命題「単項イデアルのノルム」により
$$ \prod_{\mathfrak{p}}N(\mathfrak{p})^{v_{\mathfrak{p}}(x)}=N(x\mathcal{O}_K)=\lvert N_{K/\mathbb{Q}}(x)\rvert $$
であり、左辺の逆数が $\prod_{v\nmid\infty}\lvert x\rvert_v$ である。一般の $x\in K^\times$ は $x=a/b$（$a\in\mathcal{O}_K$、$b\in\mathbb{Z}$、$b\ne0$）と書ける（$x\mathcal{O}_K$ に イデアル類群 の記事の定義「分数イデアル」の直後の段落を当てはめ、$b\,x\mathcal{O}_K\subset\mathcal{O}_K$ となる整数 $b\ne0$ をとり $a:=bx$ とする）。$\lvert\cdot\rvert_v$ と $N_{K/\mathbb{Q}}$ はどちらも乗法的なので、$a$ と $b$ についての等式を割れば $x$ についての等式を得る。2 つの等式を掛ければ積公式になる。$\square$

要点：写像の核は $\mathfrak{p}^m$ なので単射であり、両辺の元の個数はどちらも $N(\mathfrak{p})^m$ なので全射でもある。

$x_v\notin\mathcal{O}_v$ となる有限素点 $v$ の集合 $T$ は有限である。$T=\emptyset$ なら $\alpha=0$ でよい。$v=\mathfrak{p}_v\in T$ について $m_v:=-v_{\mathfrak{p}_v}(x_v)>0$ とおき、$d:=\prod_{v\in T}N(\mathfrak{p}_v)^{m_v}$ とする。$N(\mathfrak{p})$ は加法群 $\mathcal{O}_K/\mathfrak{p}$ の位数なので $N(\mathfrak{p})\in\mathfrak{p}$ であり、$v_{\mathfrak{p}_v}(d)\ge m_v$（$v\in T$）である。よってすべての有限素点で $dx_v\in\mathcal{O}_v$ である。
$v_{\mathfrak{p}}(d)>0$ となる有限素点の集合を $P$ とし（$T\subset P$）、$k_v:=v_{\mathfrak{p}_v}(d)$ とおくと $d\mathcal{O}_K=\prod_{v\in P}\mathfrak{p}_v^{k_v}$ である。異なる素イデアルの冪 $\mathfrak{p}^a,\mathfrak{q}^b$ は $\mathfrak{p}^a+\mathfrak{q}^b=\mathcal{O}_K$ を満たす（両方を含む極大イデアルは $\mathfrak{p}$ と $\mathfrak{q}$ を含み、$0$ でない素イデアルは極大なので両者に等しくなり矛盾する）。中国剰余定理 の記事の定理「可換環における中国剰余定理」と lem-adele-residue により、$\beta\in\mathcal{O}_K$ で、すべての $v\in P$ について $\beta-dx_v\in\mathfrak{p}_v^{k_v}\mathcal{O}_v$ となるものがある。
$\alpha:=\beta/d$ とおく。$v\in P$ なら $v_{\mathfrak{p}_v}(\alpha-x_v)=v_{\mathfrak{p}_v}(\beta-dx_v)-k_v\ge0$ である。$v\notin P$ なら $\lvert d\rvert_v=1$ なので $\alpha=\beta/d\in\mathcal{O}_v$ で、$v\notin T$ から $x_v\in\mathcal{O}_v$ である。いずれの場合も $x_v-\alpha\in\mathcal{O}_v$ である。$\square$

1：$\alpha\in K$ が $\mathbb{A}_{K,\infty}$ に属することは、すべての $\mathfrak{p}$ で $v_{\mathfrak{p}}(\alpha)\ge0$、すなわち $\alpha\mathcal{O}_K$ が整イデアルであること（$\alpha=0$ も含めて）、すなわち $\alpha\in\mathcal{O}_K$ と同値である。
2：$U:=\{y\in K_\infty\mid\text{すべての }v\mid\infty\text{ で }\lvert y_v\rvert_v<1\}\times\prod_{v\nmid\infty}\mathcal{O}_v$ は $0$ の開近傍である。$\alpha\in K\cap U$ なら、1 により $\alpha\in\mathcal{O}_K$ で、thm-adele-product-formula の前半の等式から $\lvert N_{K/\mathbb{Q}}(\alpha)\rvert=\prod_{v\mid\infty}\lvert\alpha\rvert_v<1$ である。$N_{K/\mathbb{Q}}(\alpha)$ は整数なので $0$ であり、$\alpha=0$ である。よって $K\cap U=\{0\}$ で、各 $\beta\in K$ について $K\cap(\beta+U)=\{\beta\}$ だから、$K$ の各点は孤立点である。閉集合であること：$0$ の開近傍 $V$ で $V-V\subset U$ となるものをとる（和と $x\mapsto-x$ の連続性による）。$z+V$ が $K$ の 2 点 $\alpha\ne\alpha'$ を含めば $\alpha-\alpha'\in V-V\subset U$ で矛盾するので、各 $z$ の近傍 $z+V$ は $K$ の点を高々 1 つしか含まない。$z\notin K$ とし、$z+V$ が $K$ の点 $\alpha$ を含むなら、$\mathbb{A}_K$ は Hausdorff なので $\alpha$ を含まない $z$ の近傍 $W$ がとれ、$(z+V)\cap W$ は $K$ と交わらない $z$ の近傍である。よって $K$ の補集合は開集合で、$K$ は閉集合である。
3：存在。lem-adele-approx により $\alpha_1\in K$ で $x-\alpha_1\in\mathbb{A}_{K,\infty}$ となるものがある。$x-\alpha_1$ の $K_\infty$ 成分を $\sum_it_i\,j(\omega_i)$（$t_i\in\mathbb{R}$）と書き、$\beta:=\sum_i\lfloor t_i\rfloor\omega_i\in\mathcal{O}_K$、$\alpha:=\alpha_1+\beta$、$y:=x-\alpha$ とおく。$y$ の $K_\infty$ 成分は $\sum_i(t_i-\lfloor t_i\rfloor)j(\omega_i)\in F$ であり、有限成分は $(x_v-\alpha_1)-\beta\in\mathcal{O}_v$ である。一意性。$\alpha+y=\alpha'+y'$ なら $\alpha-\alpha'=y'-y\in K\cap\mathbb{A}_{K,\infty}=\mathcal{O}_K$ なので、$\alpha-\alpha'=\sum_ic_i\omega_i$（$c_i\in\mathbb{Z}$）と書ける。$j(\alpha-\alpha')=y'_\infty-y_\infty$ の座標は $F-F$ の中にあり $\lvert c_i\rvert<1$ なので、$c_i=0$、$\alpha=\alpha'$ である。
4：3 により、商写像 $\mathbb{A}_K\to\mathbb{A}_K/K$ は $F\times\prod_{v\nmid\infty}\mathcal{O}_v$ 上ですでに全射である。$\overline{F}$ は $\mathbb{R}^n$ の有界閉集合でコンパクトであり、$\prod_{v\nmid\infty}\mathcal{O}_v$ は Tychonoffの定理 によりコンパクトである。その直積は $\mathbb{A}_{K,\infty}$ の直積位相でコンパクトで、prop-adele-topological-ring によりこれは $\mathbb{A}_K$ の中でのコンパクト性と同じである。コンパクト集合の連続写像による像なので $\mathbb{A}_K/K$ はコンパクトである。2 により $K$ は閉部分群なので、$\mathbb{A}_K/K$ は Hausdorff である（位相群 の記事の命題「剰余空間の位相」の 2）。$\square$