flasque層

1. $U$ の開集合は $X$ の開集合でもあるので、$V'\subset U'\subset U$ に対する $\mathcal{F}|_U$ の制限写像 $\mathcal{F}(U')\to\mathcal{F}(V')$ は $\mathcal{F}$ の制限写像であり、全射である。
2. $Y$ の開集合 $V\subset U$ に対し、$f_*\mathcal{F}$ の制限写像は $\mathcal{F}(f^{-1}(U))\to\mathcal{F}(f^{-1}(V))$ であり、$f^{-1}(V)\subset f^{-1}(U)$ は $X$ の開集合の組だから全射である。
3. 直積層の切断は $(\prod_\lambda\mathcal{F}_\lambda)(U)=\prod_\lambda\mathcal{F}_\lambda(U)$ であり、制限写像は成分ごとの制限写像の直積である。各成分が全射なら直積も全射である。有限個の直和は直積に等しい。

開集合 $U\subset X$ に対し、前層 $P_U$ を、$W\subset U$ なら $P_U(W):=\mathcal{O}_X(W)$、そうでなければ $P_U(W):=0$ と定め（制限写像は $\mathcal{O}_X$ のもの、または零写像）、その層化を $\mathcal{O}_U:=(P_U)^{+}$ とおく。これは $\mathcal{O}_X|_U$ の零延長 $j_!(\mathcal{O}_X|_U)$（$j\colon U\hookrightarrow X$）である（Har77 II 演習 1.19）。$\mathcal{O}_U$ は $\mathcal{O}_X$ 加群であり、その茎は $x\in U$ で $\mathcal{O}_{X,x}$、$x\notin U$ で $0$ である（層化は茎を変えない、層）。また $\mathcal{O}_U|_U=\mathcal{O}_X|_U$ である（$P_U|_U=\mathcal{O}_X|_U$ はすでに層である）。
任意の $\mathcal{O}_X$ 加群 $\mathcal{G}$ について、自然な全単射
$$ \operatorname{Hom}_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{O}_U,\mathcal{G})\xrightarrow{\ \sim\ }\mathcal{G}(U),\qquad\varphi\mapsto\varphi_U(1) $$
がある。ここで $\varphi_U(1)$ は $\varphi|_U\colon\mathcal{O}_X|_U\to\mathcal{G}|_U$ による $1\in\mathcal{O}_X(U)$ の像である。実際、$s\in\mathcal{G}(U)$ に対し、前層の射 $\psi_s\colon P_U\to\mathcal{G}$ を $W\subset U$ 上で $a\mapsto a\cdot s|_W$、それ以外の $W$ 上で $0$ と定めると、これは制限写像と両立する $\mathcal{O}_X$ 線形な前層の射であり、層化の普遍性（層化）によりただ 1 つの $\varphi_s\colon\mathcal{O}_U\to\mathcal{G}$ に延びる。$\varphi_s\mapsto(\varphi_s)_U(1)=s$ である。逆に $\varphi\colon\mathcal{O}_U\to\mathcal{G}$ が与えられたとき $s:=\varphi_U(1)$ とおくと、$W\subset U$ 上で $\varphi_W(a)=a\cdot\varphi_W(1)=a\cdot s|_W$ であり、$W\not\subset U$ では $P_U(W)=0$ なので、$\varphi$ と $\varphi_s$ は前層 $P_U$ 上で一致し、層化の普遍性の一意性から $\varphi=\varphi_s$ である。
開集合 $V\subset U$ に対し、$P_V\subset P_U$ の包含が誘導する射 $\iota\colon\mathcal{O}_V\to\mathcal{O}_U$ は、茎の上で $x\in V$ なら恒等写像、$x\notin V$ なら $0\to\mathcal{O}_{X,x}$ または $0\to0$ であり、すべて単射なので、$\iota$ は単射な層の射である（層）。$\varphi\colon\mathcal{O}_U\to\mathcal{G}$ に対し $\varphi\circ\iota$ に対応する $\mathcal{G}(V)$ の元は $(\varphi\circ\iota)_V(1)=\varphi_V(1)=\varphi_U(1)|_V$ である。すなわち、上の全単射のもとで $\operatorname{Hom}(\mathcal{O}_U,\mathcal{G})\xrightarrow{\ \circ\iota\ }\operatorname{Hom}(\mathcal{O}_V,\mathcal{G})$ は制限写像 $\mathcal{G}(U)\to\mathcal{G}(V)$ にほかならない。
$\mathcal{I}$ を入射 $\mathcal{O}_X$ 加群とする。入射対象の定義により、単射 $\iota\colon\mathcal{O}_V\to\mathcal{O}_U$ に沿って任意の射 $\mathcal{O}_V\to\mathcal{I}$ は $\mathcal{O}_U\to\mathcal{I}$ に延びる。すなわち $\operatorname{Hom}(\mathcal{O}_U,\mathcal{I})\to\operatorname{Hom}(\mathcal{O}_V,\mathcal{I})$ は全射であり、したがって $\mathcal{I}(U)\to\mathcal{I}(V)$ は全射である。よって $\mathcal{I}$ は flasque である。

まず、任意の開集合 $U$ について $0\to\mathcal{F}'(U)\to\mathcal{F}(U)\to\mathcal{F}''(U)$ が完全であること（切断関手が左完全関手であること）を思い出す（層コホモロジー、Har77 II 演習 1.8）。

1. prop-flasque-basic-operations の 1 により $\mathcal{F}'|_U$ も flasque で、短完全列を $U$ に制限したものも短完全列だから、$U=X$ の場合を示せば十分である。$t\in\mathcal{F}''(X)$ をとり、
   $$ \Sigma:=\{(W,s)\mid W\subset X\ \text{は開集合},\ s\in\mathcal{F}(W),\ v_W(s)=t|_W\} $$
   を $(W,s)\le(W',s')\Leftrightarrow W\subset W'$ かつ $s'|_W=s$ で順序づける。$v$ は層の全射だから各茎で全射であり、任意の点 $x$ に対して $x$ の開近傍 $W$ と $s\in\mathcal{F}(W)$ で $v_W(s)=t|_W$ となるものがある（層の射が全射であることの茎による特徴づけ、層）。とくに $\Sigma\ne\emptyset$ である。$\Sigma$ の全順序部分集合 $\{(W_\lambda,s_\lambda)\}$ に対し、$s_\lambda$ たちは重なりで一致するので層の貼り合わせ条件により $\bigcup_\lambda W_\lambda$ 上のただ 1 つの切断 $\bar{s}$ に貼り合わさり、$v(\bar{s})=t|_{\bigcup W_\lambda}$（各 $W_\lambda$ 上で成り立つので $\mathcal{F}''$ の局所性による）だから $(\bigcup_\lambda W_\lambda,\bar{s})\in\Sigma$ は上界である。よって Zornの補題により極大元 $(W,s)$ がある。$W\ne X$ と仮定して $x\in X\setminus W$ をとり、$x$ の開近傍 $W'$ と $s'\in\mathcal{F}(W')$ で $v_{W'}(s')=t|_{W'}$ となるものをとる。$W\cap W'$ 上で $v(s|_{W\cap W'}-s'|_{W\cap W'})=0$ だから、左完全性により $r\in\mathcal{F}'(W\cap W')$ で $u(r)=s|_{W\cap W'}-s'|_{W\cap W'}$ なるものがある。$\mathcal{F}'$ は flasque なので $r$ は $\tilde{r}\in\mathcal{F}'(W')$ に延長する。$s'':=s'+u(\tilde{r})\in\mathcal{F}(W')$ とおくと、$v(u(\tilde r))=0$ より $v_{W'}(s'')=t|_{W'}$ であり、$W\cap W'$ 上では $s''=s'+u(r)=s$ である。よって $s$ と $s''$ は貼り合わさって $W\cup W'$ 上の切断 $\hat{s}$ を与え、$v(\hat{s})=t|_{W\cup W'}$（両方の開集合上で成り立つので、層 $\mathcal{F}''$ の局所性による）である。$x\in W'\setminus W$ だから $(W\cup W',\hat{s})$ は $(W,s)$ より真に大きく、極大性に反する。ゆえに $W=X$ で、$v_X$ は全射である。
2. 開集合 $V\subset U$ と $t\in\mathcal{F}''(V)$ をとる。1 により $t=v_V(s)$ なる $s\in\mathcal{F}(V)$ があり、$\mathcal{F}$ の flasque 性により $s$ は $\tilde{s}\in\mathcal{F}(U)$ に延長する。$v_U(\tilde{s})\in\mathcal{F}''(U)$ の $V$ への制限は $v_V(s)=t$ である。

$\mathrm{Ab}(X)$ には入射対象が十分にある（各点の茎を入射的アーベル群に埋め込んで摩天楼層の直積をとる。層コホモロジー の定理（入射層の十分性）、Har77 III.2.3）ので、$\mathcal{F}$ を入射層 $\mathcal{I}$ に埋め込み、$\mathcal{G}:=\mathcal{I}/\mathcal{F}$ とおいて短完全列 $0\to\mathcal{F}\to\mathcal{I}\to\mathcal{G}\to0$ を得る。prop-flasque-injective により $\mathcal{I}$ は flasque、prop-flasque-short-exact の 2 により $\mathcal{G}$ も flasque である。

1. すべての flasque 層 $\mathcal{F}$ について $H^q(X,\mathcal{F})=0$ であることを $q\ge1$ に関する帰納法で示す。$H^q(X,-)$ は $\Gamma(X,-)$ の右導来関手だから、短完全列から長完全列（導来関手、層コホモロジー）
   $$ 0\to\mathcal{F}(X)\to\mathcal{I}(X)\to\mathcal{G}(X)\to H^1(X,\mathcal{F})\to H^1(X,\mathcal{I})\to H^1(X,\mathcal{G})\to H^2(X,\mathcal{F})\to H^2(X,\mathcal{I})\to\cdots $$
   が得られ、$\mathcal{I}$ は入射的なので $H^q(X,\mathcal{I})=0$（$q\ge1$）である。prop-flasque-short-exact の 1 により $\mathcal{I}(X)\to\mathcal{G}(X)$ は全射だから、完全性より $H^1(X,\mathcal{F})=0$ である。$q\ge2$ では $H^{q-1}(X,\mathcal{I})=0=H^q(X,\mathcal{I})$ から $H^q(X,\mathcal{F})\cong H^{q-1}(X,\mathcal{G})$ であり、$\mathcal{G}$ が flasque なので帰納法の仮定により右辺は $0$ である。
2. $Y$ の任意の開集合 $V$ について、$0\to\mathcal{F}(f^{-1}(V))\to\mathcal{I}(f^{-1}(V))\to\mathcal{G}(f^{-1}(V))\to0$ は prop-flasque-short-exact の 1 により完全である。これは $0\to f_*\mathcal{F}\to f_*\mathcal{I}\to f_*\mathcal{G}\to0$ が前層として完全であることを意味し、したがって $Y$ 上の層の短完全列である。$R^qf_*$ は左完全関手 $f_*$ の右導来関手であり、右導来関手は入射対象の上で正の次数で消える（$0\to\mathcal{I}\to\mathcal{I}\to0$ が入射分解である、導来関手）から $R^qf_*\mathcal{I}=0$（$q\ge1$）である。長完全列
   $$ 0\to f_*\mathcal{F}\to f_*\mathcal{I}\to f_*\mathcal{G}\to R^1f_*\mathcal{F}\to R^1f_*\mathcal{I}=0 $$
   において $f_*\mathcal{I}\to f_*\mathcal{G}$ は全射だから $R^1f_*\mathcal{F}=0$ であり、$q\ge2$ では $R^qf_*\mathcal{F}\cong R^{q-1}f_*\mathcal{G}$ で、1 と同じ帰納法により $0$ である。

1 は非輪状分解によるコホモロジーの計算の一般原理（層コホモロジー の命題（非輪状分解による計算）、導来関手）を thm-flasque-acyclic と合わせたものである。筋だけ記す。$\mathcal{Z}^q:=\ker(\mathcal{G}^q\to\mathcal{G}^{q+1})$ とおくと（$\mathcal{Z}^0=\mathcal{F}$）、完全性から短完全列 $0\to\mathcal{Z}^q\to\mathcal{G}^q\to\mathcal{Z}^{q+1}\to0$ が得られる。長完全列と $\mathcal{G}^q$ の非輪状性から、$p\ge1$ で $H^{p+1}(X,\mathcal{Z}^q)\cong H^p(X,\mathcal{Z}^{q+1})$、および $H^1(X,\mathcal{Z}^q)\cong\operatorname{coker}(\mathcal{G}^q(X)\to\mathcal{Z}^{q+1}(X))$ である。よって $n\ge1$ に対し $H^n(X,\mathcal{F})\cong H^1(X,\mathcal{Z}^{n-1})\cong\operatorname{coker}(\mathcal{G}^{n-1}(X)\to\mathcal{Z}^n(X))$ であり、左完全性から $\mathcal{Z}^n(X)=\ker(\mathcal{G}^n(X)\to\mathcal{G}^{n+1}(X))$ なので、右辺は $\Gamma(X,\mathcal{G}^\bullet)$ の $n$ 次コホモロジーである。$f_*$ についても、thm-flasque-acyclic の 2 と $f_*$ の左完全性を使って同じ議論を繰り返せばよい。2 は prop-flasque-godement による。

$\mathrm{Mod}(\mathcal{O}_X)$ には入射対象が十分にある（Har77 III.2.2、入射対象）。$\mathcal{O}_X$ 加群 $\mathcal{F}$ の入射 $\mathcal{O}_X$ 加群による分解 $0\to\mathcal{F}\to\mathcal{I}^\bullet$ をとる。prop-flasque-injective により各 $\mathcal{I}^q$ は flasque であり、したがって thm-flasque-acyclic によりアーベル群の層として $\Gamma(X,-)$ について非輪状である。よって cor-flasque-resolution の 1 により $H^q(X,\mathcal{F})\cong H^q(\Gamma(X,\mathcal{I}^\bullet))$ であり、右辺は $\mathrm{Mod}(\mathcal{O}_X)$ における右導来関手の定義そのものである。同型は分解の取り方によらず自然である（導来関手）。

まず、既約空間の空でない開集合は連結である。実際、空でない開集合 $U$ が互いに交わらない空でない開集合 $U_1,U_2$（$U$ で開だから $X$ でも開）の和なら、$X=(X\setminus U_1)\cup(X\setminus U_2)$ は $X$ を 2 つの真の閉集合（$U_i\ne\emptyset$ より $X\setminus U_i\ne X$）の和に書いたことになり、既約性に反する。
次に、連結な空間 $U$ 上の局所定数関数 $f\colon U\to A$ は定数である。各 $a\in A$ について $f^{-1}(a)$ は開集合であり（各点の近傍で $f$ は定数）、その補集合 $\bigcup_{b\ne a}f^{-1}(b)$ も開集合だから $f^{-1}(a)$ は開かつ閉である。$U$ が連結なので $f^{-1}(a)$ は $\emptyset$ か $U$ であり、$U\ne\emptyset$ ならちょうど 1 つの $a$ について $f^{-1}(a)=U$ である。
したがって空でない開集合 $U$ について $A_X(U)=A$（定数関数の全体）であり、空でない開集合の組 $V\subset U$ に対する制限写像は恒等写像 $A\to A$ で全射である。$V=\emptyset$ のときは $A_X(\emptyset)$ が零群（集合の層なら 1 点集合）なので制限写像は全射である。よって $A_X$ は flasque である。整スキームの底空間は既約である（整スキーム）から、最後の主張が従う。

ex-flasque-godement-sheaf により $\mathcal{C}^0(\mathcal{G})$ は任意の層 $\mathcal{G}$ について flasque で、$\mathcal{G}\to\mathcal{C}^0(\mathcal{G})$ は単射である。よって $0\to\mathcal{F}\to\mathcal{C}^0(\mathcal{F})\to\mathcal{Z}^1(\mathcal{F})\to0$ は短完全列であり、同様に各 $n$ について $0\to\mathcal{Z}^n(\mathcal{F})\to\mathcal{C}^n(\mathcal{F})\to\mathcal{Z}^{n+1}(\mathcal{F})\to0$ は短完全列である（$\mathcal{Z}^0(\mathcal{F}):=\mathcal{F}$）。これらをつなぐと、$\mathcal{C}^n(\mathcal{F})\to\mathcal{C}^{n+1}(\mathcal{F})$ の核は $\mathcal{Z}^n(\mathcal{F})\to\mathcal{C}^n(\mathcal{F})$ の像に等しく、$\mathcal{C}^{n-1}(\mathcal{F})\to\mathcal{C}^n(\mathcal{F})$ の像も同じものであるから、複体は完全である。各項が flasque であることは示した。残りは cor-flasque-resolution による。関手性は、層の射 $\mathcal{F}\to\mathcal{G}$ が茎の準同型 $\mathcal{F}_x\to\mathcal{G}_x$ を誘導し、それらの直積が $\varepsilon$ と両立する射 $\mathcal{C}^0(\mathcal{F})\to\mathcal{C}^0(\mathcal{G})$ を与えることから、帰納的に従う。$\mathcal{O}_X$ 加群については、茎 $\mathcal{F}_x$ が $\mathcal{O}_{X,x}$ 加群であり $\prod_{x\in U}\mathcal{F}_x$ が $\mathcal{O}_X(U)$ 加群になることから同様である。

$U_{i_0\cdots i_p}:=U_{i_0}\cap\cdots\cap U_{i_p}$ とおき、その包含写像を $j_{i_0\cdots i_p}\colon U_{i_0\cdots i_p}\hookrightarrow X$ と書く。層の複体（Čech 複体の層版）を
$$ \mathcal{C}^p(\mathfrak{U},\mathcal{F}):=\prod_{(i_0,\dots,i_p)\in I^{p+1}}(j_{i_0\cdots i_p})_*\bigl(\mathcal{F}|_{U_{i_0\cdots i_p}}\bigr),\qquad\mathcal{C}^p(\mathfrak{U},\mathcal{F})(V)=\prod_{(i_0,\dots,i_p)}\mathcal{F}(V\cap U_{i_0\cdots i_p}) $$
と、微分 $d\colon\mathcal{C}^p\to\mathcal{C}^{p+1}$ を $(d\alpha)_{i_0\cdots i_{p+1}}:=\sum_{l=0}^{p+1}(-1)^l\alpha_{i_0\cdots\widehat{i_l}\cdots i_{p+1}}|_{V\cap U_{i_0\cdots i_{p+1}}}$ で定める。$d\circ d=0$ は Čech 複体と同じ計算である。また $\varepsilon\colon\mathcal{F}\to\mathcal{C}^0(\mathfrak{U},\mathcal{F})$ を $\varepsilon(s)_{i}:=s|_{V\cap U_i}$ で定める。
第 1 段：$0\to\mathcal{F}\xrightarrow{\varepsilon}\mathcal{C}^0(\mathfrak{U},\mathcal{F})\xrightarrow{d}\mathcal{C}^1(\mathfrak{U},\mathcal{F})\to\cdots$ は任意の層 $\mathcal{F}$ について完全である。層の複体の完全性は茎で判定できる（層）ので、点 $x\in X$ を固定し、$x\in U_j$ なる $j\in I$ をとる。$x$ の開近傍 $V\subset U_j$ に対し、写像 $k\colon\mathcal{C}^p(\mathfrak{U},\mathcal{F})(V)\to\mathcal{C}^{p-1}(\mathfrak{U},\mathcal{F})(V)$（$p\ge1$）を
$$ (k\alpha)_{i_0\cdots i_{p-1}}:=\alpha_{j\,i_0\cdots i_{p-1}} $$
で定める。$V\subset U_j$ より $V\cap U_{j\,i_0\cdots i_{p-1}}=V\cap U_{i_0\cdots i_{p-1}}$ なので右辺は $\mathcal{F}(V\cap U_{i_0\cdots i_{p-1}})$ の元であり、$k$ は $V$ の縮小と両立するから茎 $\mathcal{C}^p(\mathfrak{U},\mathcal{F})_x\to\mathcal{C}^{p-1}(\mathfrak{U},\mathcal{F})_x$ を誘導する。また $\eta\colon\mathcal{C}^0(\mathfrak{U},\mathcal{F})(V)\to\mathcal{F}(V)$ を $\eta(\alpha):=\alpha_j$（$\mathcal{F}(V\cap U_j)=\mathcal{F}(V)$ の元）で定める。$p\ge1$ と $\alpha\in\mathcal{C}^p(\mathfrak{U},\mathcal{F})(V)$ に対し
$$ (dk\alpha)_{i_0\cdots i_p}=\sum_{l=0}^{p}(-1)^l\alpha_{j\,i_0\cdots\widehat{i_l}\cdots i_p},\qquad(kd\alpha)_{i_0\cdots i_p}=(d\alpha)_{j\,i_0\cdots i_p}=\alpha_{i_0\cdots i_p}+\sum_{l=0}^{p}(-1)^{l+1}\alpha_{j\,i_0\cdots\widehat{i_l}\cdots i_p} $$
であるから $dk+kd=\mathrm{id}$ である（制限はすべて $V\cap U_{i_0\cdots i_p}$ への制限なので省いた）。$p=0$ では $(kd\alpha)_{i_0}=(d\alpha)_{j\,i_0}=\alpha_{i_0}-\alpha_j|_{V\cap U_{i_0}}$、すなわち $kd=\mathrm{id}-\varepsilon\eta$ であり、$\eta\varepsilon(s)=s|_{V\cap U_j}=s$ より $\eta\varepsilon=\mathrm{id}$ である。これらの等式は茎の上でも成り立つ。よって $\varepsilon_x$ は単射（$\eta_x\varepsilon_x=\mathrm{id}$）、$\mathcal{C}^0_x$ において $d\alpha=0$ なら $\alpha=\varepsilon_x\eta_x(\alpha)\in\operatorname{im}\varepsilon_x$、$p\ge1$ で $d\alpha=0$ なら $\alpha=dk\alpha\in\operatorname{im}d$ である。すなわち複体は $x$ における茎で完全であり、$x$ は任意だから層の複体として完全である。
第 2 段：$\mathcal{F}$ が flasque なら各 $\mathcal{C}^p(\mathfrak{U},\mathcal{F})$ は flasque である。実際、$\mathcal{F}|_{U_{i_0\cdots i_p}}$ は prop-flasque-basic-operations の 1 により flasque、その順像は 2 により flasque、それらの直積は 3 により flasque である。
第 3 段：$\Gamma(X,\mathcal{C}^p(\mathfrak{U},\mathcal{F}))=\prod_{(i_0,\dots,i_p)}\mathcal{F}(U_{i_0\cdots i_p})=\check{C}^p(\mathfrak{U},\mathcal{F})$ であり、微分も Čech 複体のものと一致する（ここでは添字の順序を制限しない Čech 複体を用いる。添字を順序づけた交代的な Čech 複体はこれと擬同型で、コホモロジーは同じである。Stacks の「Cohomology of Sheaves, Alternating Čech complex」の節）。第 1 段と第 2 段により $0\to\mathcal{F}\to\mathcal{C}^\bullet(\mathfrak{U},\mathcal{F})$ は $\mathcal{F}$ の flasque 分解だから、cor-flasque-resolution により $\check{H}^p(\mathfrak{U},\mathcal{F})=H^p(\check{C}^\bullet(\mathfrak{U},\mathcal{F}))\cong H^p(X,\mathcal{F})$ であり、thm-flasque-acyclic によりこれは $p\ge1$ で $0$ である。$\check{H}^p(X,\mathcal{F})$ は被覆に関する $\check{H}^p(\mathfrak{U},\mathcal{F})$ の帰納極限なので、やはり $0$ である。