写像

同義語：map

概要

前提知識: 集合, 直積

概要

写像（map）とは、集合 $X$ の各元に集合 $Y$ の元をただ一つ対応させる規則であり、$f\colon X\to Y$ と書く。定義域・終域・値を区別することで、集合上の対応を代数・幾何・解析に共通する形で扱える。
写像は数学的対象のあいだの対応を表す基本言語である。定義域・終域・各元の値を一組のデータとして扱い、像・逆像・合成などの操作の出発点になる。

定義

集合のあいだの写像

集合 $X,Y$ が与えられたとき、$X$ の各元 $x$ に対して $Y$ の元 $f(x)$ をただ一つ対応させる規則 $f$ を $X$ から $Y$ への写像（map, mapping）といい、$f\colon X\to Y$ と書く。$X$ を $f$ の定義域（domain）、$Y$ を $f$ の終域（codomain）、$f(x)$ を $x$ における $f$ の値という。対応の規則を $x\mapsto f(x)$ と書く。二つの写像 $f,g$ が等しいとは、定義域と終域がそれぞれ一致し、定義域のすべての元 $x$ に対して $f(x)=g(x)$ が成り立つことをいう。$X$ から $Y$ への写像全体の集合を $\operatorname{Map}(X,Y)$ または $Y^{X}$ と書く。

各元をそれ自身へ送る写像

集合 $X$ に対し、$X$ の各元 $x$ を $x$ 自身へ送る写像
$$ \mathrm{id}_X\colon X\to X,\qquad \mathrm{id}_X(x)=x $$
を $X$ の恒等写像（identity map）という。そのグラフ $\Gamma_{\mathrm{id}_X}=\{(x,x)\mid x\in X\}$ は $X$ の対角線集合である。

性質と証明

写像の定義が要請することと許すこと

「各 $x\in X$ に対して $Y$ の元がただ一つ定まる」という要請は、次の二つを同時に課している。

定義域のどの元も、終域に少なくとも一つの対応先を持つ。対応先を数式で書き下せる必要はなく、存在すればよい。
定義域のどの元も、終域に二つ以上の対応先を持たない。
その一方で、次の二つは禁じられていない。
どの定義域の元の対応先にもなっていない終域の元があってよい。
定義域の相異なる二つの元が、終域の同じ元に対応してよい。
3 が起こらない写像が全射、4 が起こらない写像が単射である（それぞれの詳しい定義と性質は各記事が扱う）。逆に 1 を要請しない対応は部分写像、2 を要請しない対応は多価関数とよばれ、いずれも本記事でいう写像ではない。
「規則」という言葉を集合の言葉だけで済ませたいときは、写像のグラフにより、写像 $f\colon X\to Y$ を組 $(X,Y,\Gamma_f)$ と同一視して、「各 $x\in X$ に対して $(x,y)\in G$ となる $y\in Y$ がただ一つ存在するような部分集合 $G\subseteq X\times Y$」を写像の定義に採ることができる。

基本例

定値写像と包含写像

$Y$ の元 $y_0$ を固定すると、任意の集合 $X$ に対して
$$ c_{y_0}\colon X\to Y, \qquad x\longmapsto y_0 $$
という定値写像が定まる。$X$ が二元以上をもてば単射でなく、$Y$ が一点集合でなければ全射でない。
部分集合 $A\subseteq X$ に対して
$$ \iota_A\colon A\to X, \qquad a\longmapsto a $$
を包含写像という。これは常に単射であり、$A=X$ のときに限り全射である。集合として同じ元を送っていても、恒等写像 $\operatorname{id}_A\colon A\to A$ とは終域が異なるため、一般には別の写像である。

直積からの射影

集合 $X,Y$ の直積には標準的な写像
$$ \pi_X\colon X\times Y\to X, \quad (x,y)\longmapsto x, \qquad \pi_Y\colon X\times Y\to Y, \quad (x,y)\longmapsto y $$
がある。$X,Y$ がともに空でなければ各射影は全射である。$Y$ が一点集合なら $\pi_X$ は全単射である。一方、$X\neq\emptyset$ かつ $Y$ が二元以上なら、$x\in X$ と相異なる $y_1,y_2\in Y$ を取ることで、異なる $(x,y_1),(x,y_2)$ が同じ $x$ へ写るため $\pi_X$ は単射でない。なお $X=\emptyset$ なら $X\times Y=\emptyset$ であり、$\pi_X\colon\emptyset\to\emptyset$ は全単射なので、この仮定は必要である。

数列と添数付き族

数列 $(a_n)_{n\in\mathbb N}$ は、写像
$$ a\colon\mathbb N\to X, \qquad n\longmapsto a_n $$
と同じデータである。一般に、$I$ で添数づけられた $X$ の元の族 $(x_i)_{i\in I}$ は写像 $I\to X$ である。添数の反復や値の重複は許されるので、族は部分集合と同じではない。

写像の相等と端の場合

写像の外延性

$f,g\colon X\to Y$ に対して、
$$ f=g \quad\Longleftrightarrow\quad \text{すべての }x\in X\text{ について }f(x)=g(x) $$
が成り立つ。ただし定義域と終域が一致していることを前提とする。

写像の外延性の証明

$f=g$ なら各 $x$ における値は一致する。逆にすべての $x$ で値が一致するとする。二つのグラフは
$$ \Gamma_f=\{(x,f(x)):x\in X\}, \qquad \Gamma_g=\{(x,g(x)):x\in X\} $$
であり、仮定から同じ部分集合である。定義域・終域も共通なので、写像として $f=g$ である。

終域を変えると値がすべて同じでも写像は同じでない。たとえば $f\colon\mathbb R\to\mathbb R$、$f(x)=x^2$ と、同じ規則をもつ $g\colon\mathbb R\to[0,\infty)$ は対応する値を共有するが終域が異なる。

空集合を始域または終域にもつ写像

任意の集合 $Y$ に対し、空集合から $Y$ への写像はただ一つ存在する。集合 $X$ から空集合への写像が存在するための必要十分条件は $X=\emptyset$ である。

空集合に関する写像の証明

空集合には元がないので、「各元へ値を一つ割り当てる」という条件を空虚に満たす規則が一つだけある。そのグラフは $\emptyset\subseteq\emptyset\times Y$ である。
逆に $f\colon X\to\emptyset$ が存在し $x\in X$ なら、$f(x)\in\emptyset$ となって矛盾する。従って $X=\emptyset$ でなければならない。$X=\emptyset$ なら先の一意な空写像が存在する。

有限集合間の写像の個数

$X,Y$ が有限集合で $|X|=m$、$|Y|=n$ なら
$$ |\operatorname{Map}(X,Y)|=n^m $$
である。$m=0$ の場合も $n^0=1$ として空写像の一意性と一致する。

有限集合間の写像の個数の証明

$X$ の各元について、その値を $Y$ の $n$ 個の元から一つ選ぶ。異なる入力に対する選択は独立であり、$m$ 回の選択列と写像が一対一に対応するため、積の法則から $n^m$ 個である。

像・逆像・グラフ

写像 $f\colon X\to Y$ は、部分集合 $A\subseteq X$ を像 $f(A)\subseteq Y$ へ送り、部分集合 $B\subseteq Y$ を逆像 $f^{-1}(B)\subseteq X$ へ引き戻す。前者は定義域側から終域側へ進み、後者は反対向きに進む。
像は任意の和集合を保つが、一般には共通部分や差集合を保たない。逆像は任意の和集合・任意の共通部分・差集合・補集合をすべて保つ。詳細と証明は像(写像)と逆像で扱う。
グラフ
$$ \Gamma_f=\{(x,f(x)):x\in X\}\subseteq X\times Y $$
は写像を直積の部分集合として表す。各 $x\in X$ の上に点がちょうど一つあることが、一般の二項関係と写像を区別する。グラフからの復元、合成、閉グラフの性質は写像のグラフで扱う。

単射・全射・全単射

写像 $f\colon X\to Y$ が単射であるとは
$$ f(x)=f(x')\Longrightarrow x=x' $$
がすべての $x,x'\in X$ について成り立つことをいう。$f$ が全射であるとは、すべての $y\in Y$ に対して $f(x)=y$ となる $x\in X$ が存在することをいう。単射かつ全射な写像を全単射という。

単射は異なる入力を区別し、全射は終域に取り残された元がないことを表す。全射性は $f(X)=Y$ と同値である。全単射には逆写像 $f^{-1}\colon Y\to X$ が存在し、集合 $X,Y$ の元を一対一に対応させる。詳しい特徴づけと合成に対する性質は単射・全射・全単射へ委ねる。

反例：単射と全射は互いに含意しない

包含写像 $\mathbb N\hookrightarrow\mathbb Z$ は単射だが全射でない。定値写像 $\{0,1\}\to\{0\}$ は全射だが単射でない。従って定義域・終域が任意の集合である場合、「単射なら全射」「全射なら単射」はどちらも成り立たない。有限集合で定義域と終域の元数が等しい場合には、どちらか一方から全単射性が従う。

合成・制限・拡大

写像 $f\colon X\to Y$ と $g\colon Y\to Z$ は
$$ (g\circ f)(x)=g(f(x)) $$
により合成できる。合成は結合律を満たし、恒等写像を単位元とする。適用順、像・逆像との関係、反復合成は写像の合成で扱う。
$A\subseteq X$ で定義域だけを狭めた $f|_A\colon A\to Y$ が写像の制限である。逆に $g\colon A\to Y$ と一致する $F\colon X\to Y$ を探すことが写像の拡大である。制限は元の写像から一意に定まるが、拡大は存在しないことも複数存在することもあり、連続性や線形性を保つには追加条件が必要である。

直積の普遍性

二つの写像 $f\colon T\to X$、$g\colon T\to Y$ は、一つの写像
$$ \langle f,g\rangle\colon T\to X\times Y, \qquad t\longmapsto(f(t),g(t)) $$
を定める。

直積への写像の特徴づけ

写像 $h\colon T\to X\times Y$ に対し
$$ f=\pi_X\circ h, \qquad g=\pi_Y\circ h $$
とおくと $h=\langle f,g\rangle$ である。従って $T\to X\times Y$ という写像を与えることと、$T\to X$、$T\to Y$ という二つの写像を与えることは同値である。

直積への写像の特徴づけの証明

任意の $t\in T$ について
$$ \langle\pi_X\circ h,\pi_Y\circ h\rangle(t) =\bigl(\pi_X(h(t)),\pi_Y(h(t))\bigr) =h(t) $$
であるから、写像の外延性により等しい。逆に $\langle f,g\rangle$ を各射影と合成すれば、それぞれ $f,g$ を得る。

カリー化

写像全体の集合を使うと、二変数写像を一変数ずつ扱える。

写像のカリー化

集合 $X,Y,Z$ に対して標準的な全単射
$$ \operatorname{Map}(X\times Y,Z) \longrightarrow \operatorname{Map}(X,\operatorname{Map}(Y,Z)) $$
がある。左辺の $F$ は、$x$ を写像 $y\mapsto F(x,y)$ へ送る写像に対応する。

カリー化の証明

$F\colon X\times Y\to Z$ に対し
$$ \widehat F(x)(y):=F(x,y) $$
と定めると、$\widehat F(x)$ は $Y\to Z$ の写像であり、$x\mapsto\widehat F(x)$ は $X\to\operatorname{Map}(Y,Z)$ の写像である。
逆に $G\colon X\to\operatorname{Map}(Y,Z)$ に対し
$$ \check G(x,y):=G(x)(y) $$
と定める。二つの操作を続ければ各 $(x,y)$ における値が元に戻るので、互いに逆な対応である。

誤解しやすい点

写像のデータには対応規則だけでなく定義域と終域が含まれる。同じ式でも型が異なれば別の写像である。
値 $f(x)$ は $Y$ の元、像 $f(A)$ は $Y$ の部分集合である。
逆像 $f^{-1}(B)$ は任意の写像に対して定義でき、逆写像の存在を意味しない。
数列や添数付き族は写像であり、値の集合だけでは重複や添数の情報が失われる。
部分写像や多価関係は有用だが、本記事でいう全域的な一価写像とは区別する。
定義、写像の相等、単射・全射、合成、直積との関係については Hara20（第3章 §§3.1--3.3、第4章 §4.2）、Matsusaka68（第1章 §§3--5, pp. 22--51）を参照した。