Cartanの定理A・B

thm-cartan-ab の 1（定理 A）を示す。$x\in X$ を固定する。$\mathcal{F}$ は有限型なので、$x$ の開近傍 $U$ と、$U$ の上で $\mathcal{F}$ を生成する $f_1,\dots,f_q\in\mathcal{F}(U)$ がある。$q=0$ なら $\mathcal{F}_x=0$ で示すことはないので、$q\ge1$ とする。

1 点集合 $\{x\}$ は $\mathcal{O}(X)$ 凸である。実際 $y\ne x$ なら、Stein 多様体の点の分離により $g(y)\ne g(x)$ となる $g\in\mathcal{O}(X)$ があり、$g-g(x)$ は $\{x\}$ の上で $0$、$y$ で $0$ でないので $y$ は $\{x\}$ の正則凸包に入らない。$\{x\}$ の近くの切断の半ノルムを生成元 $f_1,\dots,f_q$ で測る。すなわち $\|s\|_{\{x\}}$ は、$x$ のある近傍の上で $s=\sum_kc_kf_k$ と書いたときの $\bigl(\sum_k|c_k(x)|^2\bigr)^{1/2}$ の下限である。生成元を取り替えても半ノルムは同値なので（同記事の命題「半ノルムの基本性質」の 2）、同記事の定理「切断の近似」はこの半ノルムについて使える。

$\varepsilon:=1/(2\sqrt q)$ とする。各 $f_j$ に「切断の近似」を使うと、$g_j\in\Gamma(X,\mathcal{F})$ と、$x$ のある近傍 $V\subset U$（$j$ によらずにとる）の上で正則な $c_{jk}$ で$$g_j-f_j=\sum_{k=1}^qc_{jk}f_k\quad(V\text{ の上}),\qquad\Bigl(\sum_k|c_{jk}(x)|^2\Bigr)^{1/2}< \varepsilon$$となるものがある。行列 $C:=(c_{jk})$ について、$C(x)$ の成分の 2 乗和は $q\varepsilon^2=\frac14$ 未満なので、Cauchy–Schwarz の不等式により $|C(x)v|\le\frac12|v|$（$v\in\mathbb{C}^q$）である。よって $(I_q+C(x))v=0$ なら $|v|=|C(x)v|\le\frac12|v|$ から $v=0$ となり、$I_q+C(x)$ は可逆である。$\det(I_q+C)$ は $x$ で $0$ でない正則関数なので、$x$ のある近傍 $V'\subset V$ で $0$ にならず、そこで $B:=(I_q+C)^{-1}$ の成分は正則である（余因子行列を行列式で割る）。列ベクトル $f:=(f_k)$、$g:=(g_j)$ について $V'$ の上で $g=(I_q+C)f$ なので、$f=Bg$ である。したがって各 $f_{k,x}$ は $g_{1,x},\dots,g_{q,x}$ の $\mathcal{O}_{X,x}$ 係数の一次結合であり、$f_{k,x}$ が $\mathcal{F}_x$ を生成するので、大域切断の芽 $g_{j,x}$ も $\mathcal{F}_x$ を生成する。$\square$

$n=0$ なら $X$ は離散集合で、離散空間の層はすべて脆弱なので（層コホモロジー の定理「脆弱層の非輪状性」）主張は明らかである。以下 $n\ge1$ とする。

段 1（$\overline Y$ の近くの有限な生成）．$\mathcal{G}$ を $X$ 上の連接層とする。各 $y\in\overline Y$ について、定理 A（prf-cartan-a）により $\mathcal{G}_y$ は大域切断の芽で生成され、$\mathcal{G}_y$ は有限生成なので、有限個の大域切断 $t_1,\dots,t_k$ の芽で生成される。$\mathcal{O}_X^{\oplus k}\to\mathcal{G}$、$(c_l)\mapsto\sum c_lt_l$ は $y$ の茎で全射なので、$y$ のある開近傍の上で全射である（連接解析層 の命題「茎での性質の近傍への広がり」）。$\overline Y$ はコンパクトなので、有限個の大域切断 $t_1,\dots,t_p\in\Gamma(X,\mathcal{G})$ で、$\overline Y$ のある開近傍の各点の茎を生成するものがある。これらが定める $\alpha\colon\mathcal{O}_X^{\oplus p}\to\mathcal{G}$ は $X$ 全体で定義された連接層の射なので、核 $\ker\alpha$ は $X$ 上の連接層である（連接解析層 の命題「連接解析層の基本性質」の 2）。

$\mathcal{G}_0:=\mathcal{F}$ とし、$0\le i\le n-1$ について、$\mathcal{G}_i$ に段 1 を使って $\alpha_i\colon\mathcal{O}_X^{\oplus p_i}\to\mathcal{G}_i$ を作り、$\mathcal{G}_{i+1}:=\ker\alpha_i$ とおく。$\alpha_i$ が全射になる $\overline Y$ の開近傍の共通部分を $W$ とすると、$W$ の上で短完全列 $0\to\mathcal{G}_{i+1}\to\mathcal{O}^{\oplus p_i}\to\mathcal{G}_i\to0$（$0\le i\le n-1$）がある。

段 2（最後の核は局所自由）．$y\in W$ とする。茎をとると、$\mathcal{O}_{X,y}$ 加群の完全列 $0\to\mathcal{G}_{n,y}\to\mathcal{O}_{X,y}^{\oplus p_{n-1}}\to\cdots\to\mathcal{O}_{X,y}^{\oplus p_0}\to\mathcal{F}_y\to0$ が得られる。$\mathcal{O}_{X,y}\cong\mathbb{C}\{z_1,\dots,z_n\}$ は次元 $n$ の正則局所環なので（収束冪級数環 の定理「収束冪級数環の正則性」）、その大域次元は $n$ であり（大域次元 の定理「正則局所環の全加群上界」）、$\mathcal{F}_y$ の射影次元は $n$ 以下である。$\mathcal{G}_{n,y}$ の射影分解をつなげれば $\mathcal{F}_y$ の射影分解ができ、$\mathcal{G}_{n,y}$ はその第 $n$ 関係加群なので、射影次元 の定理「全係数Extの消滅判定」により射影的である。$\mathcal{G}_n$ は連接なので $\mathcal{G}_{n,y}$ は有限生成で、局所環の上の有限生成射影加群なので自由である（射影加群 の定理「可換局所環上の有限生成射影加群」）。その基底を代表する $y$ の近くの切断 $u_1,\dots,u_r$ が定める $\mathcal{O}^{\oplus r}\to\mathcal{G}_n$ は $y$ の茎で同型なので、$y$ のある開近傍の上で同型である（連接解析層 の命題「茎での性質の近傍への広がり」）。よって $\mathcal{G}_n|_W$ は局所自由であり、その階数 $r$ は $W$ の連結成分ごとに一定である。$\mathcal{G}_{n,y}\subset\mathcal{O}_{X,y}^{\oplus p_{n-1}}$ で $\mathcal{O}_{X,y}$ は整域なので、商体とのテンソル積を比べて $r\le p_{n-1}$ である。

段 3（次数のずらし）．$Y\subset W$ の各連結成分 $Y_c$ の上で $\mathcal{G}_n$ の階数を $r_c$ とし、$Y_c$ の上では $\mathcal{O}^{\oplus(p_{n-1}-r_c)}$ に等しい $Y$ 上の層を $\mathcal{L}$ とする。$\mathcal{H}:=\mathcal{G}_n|_Y\oplus\mathcal{L}$ は階数 $p_{n-1}$ の局所自由層なので、ある正則ベクトル束 $E$ の正則な切断の層である（正則ベクトル束 の定義の後の説明）。$Y$ は Stein なので、Stein多様体 の系「Stein 多様体の上のコホモロジーの消滅」により $q\ge1$ で $H^q(Y,\mathcal{H})=0$ であり、$H^q(Y,\mathcal{G}_n)$ はその直和因子なので $0$ である。同じ系により $H^q(Y,\mathcal{O})=0$（$q\ge1$）でもある。$Y$ の上の短完全列 $0\to\mathcal{G}_{i+1}\to\mathcal{O}^{\oplus p_i}\to\mathcal{G}_i\to0$ の長完全列（層コホモロジー の定理「層コホモロジーの長完全列」）の一部 $H^q(Y,\mathcal{O}^{\oplus p_i})\to H^q(Y,\mathcal{G}_i)\to H^{q+1}(Y,\mathcal{G}_{i+1})\to H^{q+1}(Y,\mathcal{O}^{\oplus p_i})$ の両端は $q\ge1$ で $0$ なので、$H^q(Y,\mathcal{G}_i)\cong H^{q+1}(Y,\mathcal{G}_{i+1})$ である。これを $i=0,\dots,n-1$ と繰り返すと、$q\ge1$ について $H^q(Y,\mathcal{F})\cong H^{q+n}(Y,\mathcal{G}_n)=0$ である。$\square$

段 1（尽くし）．Stein 多様体は正則凸なので、正則凸包 の定理「正則凸性の言い換え」の 2 により、$\mathcal{O}(X)$ 凸なコンパクト集合 $K_1\subset K_2\subset\cdots$ で $K_j\subset\operatorname{int}K_{j+1}$、$\bigcup_jK_j=X$ となるものがある。解析的多面体 の定理「解析的多面体による近似」により、解析的多面体 $X_j$ で $K_j\subset X_j$、$\overline{X_j}\subset\operatorname{int}K_{j+1}$ となるものをとる。同記事の定理「Stein 空間の中の解析的多面体」により $X_j$ は Stein で、$\overline{X_j}$ はコンパクトである。$X_j\subset K_{j+1}\subset X_{j+1}$、$\bigcup_jX_j=X$ である。$\mathcal{O}(X)$ の関数は $X_{j+1}$ の上の正則関数でもあるので、$K_j$ の $X_{j+1}$ での正則凸包は $K_j$ の $X$ での正則凸包 $K_j$ に含まれ、$K_j$ は $\mathcal{O}(X_{j+1})$ 凸である（正則凸包 の命題「正則写像と正則凸包」の 1）。

段 2（被覆）．各点 $x\in X$ に、座標近傍の中の多重円板に双正則に写り、閉包が $X$ のコンパクト集合である開近傍 $U_x$ をとる。多重円板は Stein なので（Stein空間 の例「複素 Euclid 空間と多重円板」）、$U_x$ は Stein である。$\mathfrak{U}=(U_i)_{i\in I}$ をこれらの全体とし、$\mathfrak{U}_j:=(U_i\cap X_j)_{i\in I}$ を $X_j$ の開被覆とする。$s=(i_0,\dots,i_p)\in I^{p+1}$ について $U_s$ と $U_s\cap X_j$ は Stein で（lem-cartan-stein-intersection）、閉包はコンパクトである。よって lem-cartan-relatively-compact により $\mathfrak{U}$ は $\mathcal{F}$ について、$\mathfrak{U}_j$ は $\mathcal{F}|_{X_j}$ について非輪状であり、Lerayの定理(非輪状被覆) の定理「Lerayの定理」により $H^p(X,\mathcal{F})\cong\check H^p(\mathfrak{U},\mathcal{F})$、$H^p(X_j,\mathcal{F})\cong\check H^p(\mathfrak{U}_j,\mathcal{F})$ である。$X_j$ 自身も相対コンパクトな Stein 開集合なので、$p\ge1$ で $\check H^p(\mathfrak{U}_j,\mathcal{F})=0$ である。以下 $p\ge1$ とし、$c\in\check C^p(\mathfrak{U},\mathcal{F})$ を余輪体（$dc=0$）とする。$c^j$ を $c$ の成分を $U_s\cap X_j$ に制限した $\check C^p(\mathfrak{U}_j,\mathcal{F})$ の余輪体とする。各 $U_i$ の閉包はコンパクトで $\operatorname{int}K_j$ の増大列に覆われるので、ある $j$ で $U_i\subset X_j$ となる。$s\in I^{p+1}$ について、$s$ に現れるすべての $U_{i_l}$ が $X_j$ に含まれる最小の $j$ を $j(s)$ と書く。$j\ge j(s)$ なら $U_s\cap X_j=U_s$ である。

段 3（$p\ge2$）．$d b^1=c^1$ となる $b^1\in\check C^{p-1}(\mathfrak{U}_1,\mathcal{F})$ をとる。$d b^j=c^j$ となる $b^j$ が決まったら、$d b'=c^{j+1}$ となる $b'\in\check C^{p-1}(\mathfrak{U}_{j+1},\mathcal{F})$ をとる。$b'$ を $\mathfrak{U}_j$ に制限したものと $b^j$ の差は $\check C^{p-1}(\mathfrak{U}_j,\mathcal{F})$ の余輪体で、$p-1\ge1$ なので $a\in\check C^{p-2}(\mathfrak{U}_j,\mathcal{F})$ の $da$ に等しい。$t\in I^{p-1}$ について、$t$ に現れるすべての $U_{i_l}$ が $X_j$ に含まれるなら $a'_t:=a_t$（このとき $U_t\cap X_j=U_t\cap X_{j+1}$）、そうでなければ $a'_t:=0$ として $a'\in\check C^{p-2}(\mathfrak{U}_{j+1},\mathcal{F})$ を定め、$b^{j+1}:=b'-da'$ とおく。$d b^{j+1}=c^{j+1}$ である。$s\in I^p$ のすべての $U_{i_l}$ が $X_j$ に含まれるなら、$s$ から添字を 1 つ除いた $t$ もそうなので $(da')_s=(da)_s=b'_s-b^j_s$ であり、$b^{j+1}_s=b^j_s$ となる。したがって各 $s\in I^p$ について $b^j_s$ は $j\ge j(s)$ で $j$ によらず、これを $b_s\in\mathcal{F}(U_s)$ とおける。$u\in I^{p+1}$ について $j\ge j(u)$ をとると、$u$ から添字を 1 つ除いたものはすべて $j$ 以下の $j(\cdot)$ をもつので $(db)_u=(db^j)_u=c^j_u=c_u$ である。よって $c=db$ である。

段 4（$p=1$）．各 $\nu$ について $K_\nu$ の近くで $\mathcal{F}$ を生成する有限個の切断を固定し、大域切断空間のFréchet位相 の定義「正則凸なコンパクト集合の上の半ノルム」の半ノルムを $\|\cdot\|_\nu$ と書く。同記事の命題「半ノルムの基本性質」の 3 により、$\nu\le\mu$ なら $K_\mu$ の近くの切断について $\|\cdot\|_\nu\le C_{\nu\mu}\|\cdot\|_\mu$ となる定数がある。$d b^1=c^1$ となる $b^1\in\check C^0(\mathfrak{U}_1,\mathcal{F})$ をとる。$d b^j=c^j$ となる $b^j$ が決まったら、$d b'=c^{j+1}$ となる $b'\in\check C^0(\mathfrak{U}_{j+1},\mathcal{F})$ をとる。成分ごとの差 $b'_i-b^j_i$（$U_i\cap X_j$ の上）は $\check C^0(\mathfrak{U}_j,\mathcal{F})$ の余輪体なので、層の貼り合わせにより $\delta^j\in\Gamma(X_j,\mathcal{F})$ を定める。$K_j$ は $\mathcal{O}(X_{j+1})$ 凸で、$X_{j+1}$ は Stein なので、同記事の定理「切断の近似」を $X_{j+1}$ の上で使うと（生成元の取り替えで半ノルムは同値である。同命題の 2）、$a^j\in\Gamma(X_{j+1},\mathcal{F})$ で $\|\delta^j-a^j\|_\nu< 2^{-j}$（$\nu\le j$）となるものがある。$b^{j+1}_i:=b'_i-a^j|_{U_i\cap X_{j+1}}$ とおくと、$d b^{j+1}=c^{j+1}$ であり、$e^j:=\delta^j-a^j|_{X_j}\in\Gamma(X_j,\mathcal{F})$ について $U_i\cap X_j$ の上で $b^{j+1}_i=b^j_i+e^j$、$\|e^j\|_\nu< 2^{-j}$（$\nu\le j$）である。

$\nu$ を固定する。$j\ge\nu+1$ なら $e^j$ は $K_{\nu+1}$ の近傍 $X_j$ の上の切断で、$\sum_{j>\nu}\|e^j\|_{\nu+1}< \infty$ なので、同記事の補題「絶対収束する級数」により、$\operatorname{int}K_{\nu+1}$ の上の切断 $S_\nu$ で $m\to\infty$ のとき $\bigl\|S_\nu-\sum_{\nu< j\le m}e^j\bigr\|_\nu\to0$ となるものがある。$K_\nu$ の近傍 $\operatorname{int}K_{\nu+1}$ の上の切断 $S_\nu-e^{\nu+1}-S_{\nu+1}$ について、三角不等式と上の定数から$$\|S_\nu-e^{\nu+1}-S_{\nu+1}\|_\nu\le\Bigl\|S_\nu-\sum_{\nu< j\le m}e^j\Bigr\|_\nu+C_{\nu,\nu+1}\Bigl\|\sum_{\nu+1< j\le m}e^j-S_{\nu+1}\Bigr\|_{\nu+1}\to0$$なので、同記事の補題「半ノルムが 0 の切断」により $\operatorname{int}K_\nu$ の上で $S_\nu=e^{\nu+1}+S_{\nu+1}$ である。$U_i\cap\operatorname{int}K_\nu$ の上で $B^\nu_i:=b^{\nu+1}_i+S_\nu$ とおくと（$\operatorname{int}K_\nu\subset X_{\nu+1}$）、$U_i\cap\operatorname{int}K_\nu$ の上で $B^{\nu+1}_i=b^{\nu+2}_i+S_{\nu+1}=b^{\nu+1}_i+e^{\nu+1}+S_{\nu+1}=B^\nu_i$ である。$\operatorname{int}K_\nu$ は増大して $X$ を覆うので、層の貼り合わせにより $b_i\in\mathcal{F}(U_i)$ で $U_i\cap\operatorname{int}K_\nu$ の上で $B^\nu_i$ に等しいものが定まる。$S_\nu$ は 1 つの切断なので、$U_i\cap U_k\cap\operatorname{int}K_\nu$ の上で $b_k-b_i=b^{\nu+1}_k-b^{\nu+1}_i=c_{ik}$ であり、$db=c$ である。

段 5．段 3・4 により $p\ge1$ で $\check H^p(\mathfrak{U},\mathcal{F})=0$、したがって $H^p(X,\mathcal{F})=0$ である。$\square$