組成列

(1)⇔(2)：対応定理（群準同型 の記事の注意「第2・第3同型定理と対応定理」）により、$G_i/G_{i-1}$ の正規部分群は、$G_{i-1}$ を含む $G_i$ の正規部分群 $N$ の像 $N/G_{i-1}$ と一対一に対応する。$G_i/G_{i-1}\neq\{e\}$ が単純であることは、正規部分群が自明群と全体だけであること、すなわち $N=G_{i-1}$ か $N=G_i$ であることと同値である。
(2)⇔(3)：(3) の $H$ は $H\trianglelefteq G_i$ なので (2) の $N$ の条件を満たす。逆に (2) の $N$ があれば、$G_{i-1}\trianglelefteq G_i$ かつ $G_{i-1}\subset N$ から $G_{i-1}\trianglelefteq N$ なので、$H:=N$ は (3) の条件を満たす。$\square$

$W:=U\cap V$ とおく。$u$ は $U$ の正規部分群で $W\subset U$ なので、$uW$ と $u(U\cap v)$ は $U$ の部分群である（正規部分群と部分群の積は部分群）。同様に $Wv=vW$ と $(u\cap V)v$ は $V$ の部分群である。
$x\in W$ について $x(u\cap V)x^{-1}\subset u\cap V$（$x\in U$ と $u\trianglelefteq U$、$x\in V$ から）、$x(U\cap v)x^{-1}\subset U\cap v$（$x\in V$ と $v\trianglelefteq V$、$x\in U$ から）なので、$u\cap V$ と $U\cap v$ はともに $W$ の正規部分群であり、その積 $D:=(u\cap V)(U\cap v)$ も $W$ の正規部分群である。
写像 $f\colon uW\to W/D$ を、$a\in u$、$x\in W$ について $f(ax):=xD$ と定める。

• 代表の取り方によらない：$ax=a'x'$（$a,a'\in u$、$x,x'\in W$）なら $x'x^{-1}=a'^{-1}a\in u\cap W=u\cap V\subset D$ なので $x'D=xD$ である。
• 準同型である：$(ax)(a'x')=a\,(xa'x^{-1})\,xx'$ で、$xa'x^{-1}\in u$（$x\in U$）なので $f((ax)(a'x'))=xx'D=f(ax)f(a'x')$ である。
• 全射であり、核は $\{ax\mid a\in u,\ x\in D\}=uD$ である。$u(u\cap V)=u$ なので $uD=u(U\cap v)$ である。
  核は正規部分群なので $u(U\cap v)\trianglelefteq uW$ であり、第1同型定理（群準同型 の記事の定理「群の第1同型定理」）により $uW/u(U\cap v)\cong W/D$ である。$U$ と $V$、$u$ と $v$ の役割を入れ替えると、$D=(U\cap v)(u\cap V)$（$W$ の二つの正規部分群の積は順序によらない）なので、同じ議論で $(u\cap V)v\trianglelefteq Wv$ と $Wv/(u\cap V)v\cong W/D$ を得る。二つの同型を合わせればよい。$\square$

二つの正規列を $\{e\}=G_0\trianglelefteq\cdots\trianglelefteq G_r=G$、$\{e\}=H_0\trianglelefteq\cdots\trianglelefteq H_s=G$ とする。$0\le i< r$、$0\le j\le s$ について
$$ G_{i,j}:=G_i\,(G_{i+1}\cap H_j),\qquad H_{j,i}:=H_j\,(H_{j+1}\cap G_i)\quad(0\le j< s,\ 0\le i\le r) $$
とおく。$G_{i,0}=G_i$、$G_{i,s}=G_iG_{i+1}=G_{i+1}$ であり、$G_{i,j}\subset G_{i,j+1}$ なので、
$$ G_0=G_{0,0}\subset G_{0,1}\subset\cdots\subset G_{0,s}=G_1=G_{1,0}\subset\cdots\subset G_{r-1,s}=G_r $$
は $\mathcal{G}$ の項をすべて含む長さ $rs$ の列である。同様に $H_{j,i}$ を並べた列は $\mathcal{H}$ の項をすべて含む長さ $rs$ の列である。
lem-composition-zassenhaus を $U:=G_{i+1}$、$u:=G_i$、$V:=H_{j+1}$、$v:=H_j$ に適用する。$u(U\cap v)=G_{i,j}$、$u(U\cap V)=G_{i,j+1}$、$(u\cap V)v=H_j(G_i\cap H_{j+1})=H_{j,i}$、$(U\cap V)v=H_j(G_{i+1}\cap H_{j+1})=H_{j,i+1}$ なので、
$$ G_{i,j}\trianglelefteq G_{i,j+1},\qquad H_{j,i}\trianglelefteq H_{j,i+1},\qquad G_{i,j+1}/G_{i,j}\cong H_{j,i+1}/H_{j,i} $$
である。よって二つの列はともに正規列（つまり $\mathcal{G}$、$\mathcal{H}$ の細分）であり、$G$ 側の第 $(i,j)$ 段と $H$ 側の第 $(j,i)$ 段を対応させる置換で同値である。$\square$

$G_{i-1}$ と $G_i$ の間に挿入された項を $G_{i-1}=K_0\trianglelefteq K_1\trianglelefteq\cdots\trianglelefteq K_t=G_i$ とし、この部分の商因子が「$G_i/G_{i-1}$ と同型なもの一つと自明群 $t-1$ 個」であることを $t$ についての帰納法で示す。$t=1$ は明らかである。$t\ge2$ とする。$G_{i-1}\trianglelefteq G_i$ で $G_{i-1}\subset K_{t-1}$ なので $G_{i-1}\trianglelefteq K_{t-1}$ であり、$K_{t-1}\trianglelefteq G_i$ だから、$K_{t-1}/G_{i-1}$ は単純群 $G_i/G_{i-1}$ の正規部分群である。よって $K_{t-1}=G_{i-1}$ か $K_{t-1}=G_i$ である。$K_{t-1}=G_i$ なら最後の商因子は自明群で、残りの $K_0\trianglelefteq\cdots\trianglelefteq K_{t-1}$ に帰納法の仮定を使えばよい。$K_{t-1}=G_{i-1}$ なら $K_0=\cdots=K_{t-1}=G_{i-1}$ であり、商因子は自明群 $t-1$ 個と $G_i/G_{i-1}$ である。$\square$

1：二つの組成列 $\mathcal{G}$（長さ $r$）と $\mathcal{H}$（長さ $s$）に thm-composition-schreier を使い、同値な細分 $\mathcal{G}'$、$\mathcal{H}'$ をとる。同値な正規列の商因子は、同型類ごとに数えると個数が一致する。lem-composition-refine-composition により、$\mathcal{G}'$ の自明でない商因子は $\mathcal{G}$ の組成因子 $r$ 個であり、$\mathcal{H}'$ の自明でない商因子は $\mathcal{H}$ の組成因子 $s$ 個である。自明群でない同型類ごとに個数を比べると、$\mathcal{G}$ と $\mathcal{H}$ の組成因子は並べ方と同型を除いて一致し、とくに $r=s$ である。
2：正規列 $\mathcal{N}$ と組成列 $\mathcal{G}$ に thm-composition-schreier を使い、同値な細分 $\mathcal{N}'$、$\mathcal{G}'$ をとる。lem-composition-refine-composition により $\mathcal{G}'$ の商因子は単純群か自明群なので、$\mathcal{N}'$ の商因子も単純群か自明群である。$\mathcal{N}'$ で隣り合う等しい項を一つにまとめると、自明な商因子だけが消え、残る商因子はすべて単純群である。これは $\mathcal{N}$ の項をすべて含む組成列である。$\square$

正規列 $\{e\}\trianglelefteq N\trianglelefteq G$ に thm-composition-jordan-holder の 2 を使うと、$N$ を項として含む組成列
$$ \{e\}=K_0\trianglelefteq\cdots\trianglelefteq K_m=N\trianglelefteq K_{m+1}\trianglelefteq\cdots\trianglelefteq K_r=G $$
が得られる。前半 $K_0\trianglelefteq\cdots\trianglelefteq K_m$ は $N$ の組成列である。後半について、$N\subset K_{j-1}\trianglelefteq K_j$ なので $K_{j-1}/N\trianglelefteq K_j/N$ であり、第3同型定理により $(K_j/N)/(K_{j-1}/N)\cong K_j/K_{j-1}$ は単純群である。よって $K_m/N\trianglelefteq\cdots\trianglelefteq K_r/N$ は $G/N$ の組成列で、その組成因子は $K_{m+1}/K_m,\dots,K_r/K_{r-1}$ と同型である。thm-composition-jordan-holder の 1 により、組成因子と長さは組成列の選び方によらない。$\square$

1：$G$ を可解群とし、商因子がアーベル群の正規列 $\{e\}=G_0\trianglelefteq\cdots\trianglelefteq G_k=G$ をとる（可解群 の記事の定義「可解群」）。$G$ は有限群なので組成列をもち（ex-composition-integers の後の段落）、thm-composition-jordan-holder の 2 により、この正規列を細分した組成列がある。その組成因子は、ある $i$ と $G_{i-1}\subset K\trianglelefteq K'\subset G_i$ について $K'/K$ の形である。$G_{i-1}\trianglelefteq K'$、$K/G_{i-1}\trianglelefteq K'/G_{i-1}$ であり、第3同型定理により $K'/K\cong(K'/G_{i-1})/(K/G_{i-1})$ は、アーベル群 $G_i/G_{i-1}$ の部分群の剰余群なのでアーベル群である。可換な単純群は素数位数の巡回群なので（単純群 の記事の命題「可換な単純群の分類」）、組成因子はすべて素数位数の巡回群である。thm-composition-jordan-holder の 1 により、他の組成列でも同じである。逆に、組成因子がすべて素数位数の巡回群なら、組成列そのものが商因子がアーベル群の正規列なので、$G$ は可解群である。
2：組成因子がすべて位数 $p$ なら、$|G|$ は商因子の位数の積（正規列 の記事の命題「商因子の位数の積」）なので $p$ の冪である。逆に $|G|=p^n$ なら、$G$ は位数 $p^i$ の正規部分群 $N_i$ の鎖 $\{e\}=N_0\subset N_1\subset\cdots\subset N_n=G$ をもつ（p群 の記事の定理「中心的な正規部分群の鎖」）。商因子の位数は $p$ なので単純であり、これは組成因子がすべて位数 $p$ の組成列である。thm-composition-jordan-holder の 1 により、どの組成列でも同じである。$\square$

$1\le d$ が $n$ を割るとき、$n/d$ の類 $\overline{n/d}\in\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ の位数は $d$ である。実際 $k\cdot(n/d)$ が $n$ の倍数であることは、$k(n/d)=mn$、すなわち $k=md$ となる整数 $m$ があることと同値である。$0\le k\le r$ について $d_k:=q_1\cdots q_k$（$d_0=1$）とし、$G_k:=\langle\overline{n/d_k}\rangle$ とおくと、$|G_k|=d_k$、$G_0=\{0\}$、$G_r=\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ である。$n/d_{k-1}=q_k\cdot(n/d_k)$ なので $G_{k-1}\subset G_k$ であり、アーベル群なので $G_{k-1}\trianglelefteq G_k$ である。$|G_k/G_{k-1}|=d_k/d_{k-1}=q_k$ は素数なので、$G_k/G_{k-1}$ は位数 $q_k$ の巡回群で単純である。よって $(G_k)$ は組成因子が $\mathbb{Z}/q_1\mathbb{Z},\dots,\mathbb{Z}/q_r\mathbb{Z}$ の組成列である。別の分解 $n=q'_1\cdots q'_{r'}$ からも組成列が作れ、thm-composition-jordan-holder の 1 により二つの組成列は同値である。位数を比べれば $r=r'$ で、$q'_1,\dots,q'_{r'}$ は $q_1,\dots,q_r$ の並べ替えである。$\square$