加藤のEuler系

前提知識: Galoisコホモロジー, Selmer群, モジュラー曲線, モジュラー形式, 岩澤主予想

加藤のEuler系 は、加藤和也（Kazuya Kato）が重さ $2$ 以上の固有尖点形式 $f$ について構成した、Galois コホモロジーの類の族である。モジュラー曲線の $K_2$ の元（Beilinson 元）から作られ、Euler 系のノルム関係式をみたし、$p$ 進 Hodge 理論の相互法則によって $f$ の $L$ 値に結びつく（Kat04 pp. 117–120）。この系から Selmer 群の上界が得られ、$L(E,1)\ne0$ なら楕円曲線 $E/\mathbb{Q}$ の Mordell–Weil 群と Tate–Shafarevich群 が有限であること、良い通常素数での岩澤主予想の片側の不等式などが従う。Trotter–加藤の近似定理 や 加藤の不等式 の加藤は関数解析の加藤敏夫で、別の人物である。
加藤の見方では、Euler 系はゼータ関数の「算術的な形」である。Euler 系は Galois コホモロジーの中にあるので、解析的な Euler 積より Selmer 群に近い（Kat04 p. 118）。
この記事では、Euler 系を定義し、原型である円単数についてノルム関係式と Kolyvagin 微分の性質を完全に証明する。加藤の構成と主定理は主張と証明の筋を述べる。主定理の一般の証明はこの記事では証明しない。

Euler 系の定義

$T$ を $G_{\mathbb{Q}}:=\operatorname{Gal}(\bar{\mathbb{Q}}/\mathbb{Q})$ の連続な作用をもつ有限階数自由 $\mathbb{Z}_p$ 加群で、有限個の素数の外で不分岐なものとする。$V:=T\otimes\mathbb{Q}_p$、$T^*:=\operatorname{Hom}(T,\mathbb{Z}_p(1))$、$W^*:=V^*/T^*$ とおく。$\mathbb{Q}_\infty$ を $\mathbb{Q}$ の円分 $\mathbb{Z}_p$ 拡大、$\mathbb{Q}_n$ をその $p^n$ 次の中間体とする（円分Z_p拡大）。$N$ を、$p$ と $T$ の分岐する素数で割り切れる正の整数とし、$\mathcal{R}$ を $N$ と素な平方因子のない正整数の集合とする。$T$ が不分岐な素数 $q$ について $\mathrm{Fr}_q$ を Frobenius、$P_q(x):=\det(1-\mathrm{Fr}_qx\mid T)$ とする。

第 1 の式の Euler 因子が名前の由来である。文献によって関係式の形や添字の集合には差があり、$P_q$ を $T^*$ の側の多項式で書く流儀もある（PR98 §1.5、§2.1）。$c=0$ も定義をみたすので、定義だけでは内容がない。内容は $c$ が $0$ でないことと $L$ 値との関係から来る。
Selmer 群 $S(\mathbb{Q},W^*)$ を、$p$ の外で不分岐な類の条件と、$p$ での部分空間 $H^1_S(\mathbb{Q}_p,V^*)$ を局所条件として定める（Rub98 §1）。$H^1_S$ は各 $\mathbb{Q}_n$ の $p$ の上の素点でも与えられ、$V$ と $V^*$ の部分空間は局所双対で互いに直交補空間で、制限と余制限で保たれるとする。$H^1_{/S}(\mathbb{Q}_p,T)$ を $p$ での商、$\mathrm{loc}_p\colon H^1(\mathbb{Q},T)\to H^1_{/S}(\mathbb{Q}_p,T)$ を局所化とする。

この定理の証明は Kato、Perrin-Riou、Rubin が独立に与えた（Rub98 序文）。この記事では証明しない。次の節の Kolyvagin 微分が証明の出発点である。

原型：円単数

$m\ge2$ について 1 の原始 $m$ 乗根 $\zeta_m$ を、$\zeta_{mn}^n=\zeta_m$ となるように選ぶ。$F_m:=\mathbb{Q}(\zeta_m)$ とし（円分体）、$\ell\nmid m$ の素数 $\ell$ について $\mathrm{Fr}_\ell\in\operatorname{Gal}(F_m/\mathbb{Q})$ を $\zeta_m\mapsto\zeta_m^\ell$ とする。

$T=\mathbb{Z}_p(1)$ なら $\mathrm{Fr}_q$ は $q$ 倍で作用し、$P_q(x)=1-qx$、$P_q(q^{-1}\mathrm{Fr}_q^{-1})=1-\mathrm{Fr}_q^{-1}$ である。したがって Kummer 写像 $F^\times\to H^1(F,\mathbb{Z}_p(1))$ による $1-\zeta_m$ の類は def-es と同じ形の関係式をみたす（PR98 §1.5.1 は添字の $m$ の範囲を調整した定義のもとでこれを Euler 系の例とする）。prop-es-norm の因子は、$\zeta(s)$ の Euler 因子 $(1-q^{-s})^{-1}$ の逆数の $s=0$ での形を、Galois 作用つきにしたものと読める。

Kolyvagin 微分

Euler 系の力は、ノルム関係式を $p^n$ 乗の差まで押し込むと、下の体に降りた類が作れることにある。$p$ を素数、$n\ge1$、$m\ge2$ とし、$\ell$ を $\ell\equiv1\pmod{mp^n}$ となる素数とする。$F:=F_m$、$L:=F_{m\ell}=F(\zeta_\ell)$ とし（$\zeta_\ell:=$ 下の $\zeta_{m\ell}$ の $\mu_\ell$ 成分）、$g$ を法 $\ell$ の原始根、$\sigma\in\operatorname{Gal}(L/F)$ を $\zeta_\ell\mapsto\zeta_\ell^g$ となる生成元とする。$u:=1-\zeta_{m\ell}$ とし、群環の元 $D:=\sum_{i=0}^{\ell-2}i\sigma^i$ で $\alpha:=u^D\in L^\times$ とおく。$\ell$ は $F$ で完全分解するので、$\ell$ の上の素イデアル $\lambda$ について $\mathcal{O}_F/\lambda=\mathbb{F}_\ell$ である。$\chi\colon\mathbb{F}_\ell^\times\to\mu_{p^n}(\mathbb{F}_\ell)$、$\chi(x):=x^{(\ell-1)/p^n}$ とする。$\chi(g)$ は位数 $p^n$ の元である。

thm-es-derivative は、Euler 系から作った類 $\kappa$ が「$\ell$ の外では位数が $p^n$ で割り切れ、$\ell$ での位数は $p^n$ を法として $1-\zeta_m$ の $\ell$ での還元で決まる」ことを示している。$\kappa$ の Kummer 類と Selmer 群の元を大域双対で対にすると、Selmer 群の元の局所成分に制約がつく。これを繰り返すのが Kolyvagin の方法である。

加藤の構成

Siegel 単数

$N\ge3$ について、$Y(N)$ を $\mathbb{Q}$ 上のレベル $N$ の モジュラー曲線（カスプを除く）とする。$(\alpha,\beta)\in(N^{-1}\mathbb{Z}/\mathbb{Z})^2\setminus\{(0,0)\}$ に対して Siegel 単数 $g_{\alpha,\beta}\in\mathcal{O}(Y(N))^\times\otimes\mathbb{Q}$ がある。これは $Y(N)$ の上の単数（に有理数の指数をつけたもの）で、零点と極はカスプにだけある（Kat04 §1）。$\mathfrak{H}$ に引き戻すと、$0\le a< N$、$q=e^{2\pi i\tau}$、$\zeta_N=e^{2\pi i/N}$ について
$$ g_{a/N,b/N}=q^w\prod_{n\ge0}\bigl(1-q^nq^{a/N}\zeta_N^b\bigr)\prod_{n>0}\bigl(1-q^nq^{-a/N}\zeta_N^{-b}\bigr),\qquad w=\frac1{12}-\frac a{2N}+\frac12\Bigl(\frac aN\Bigr)^2 $$
である（Kat04 1.9、p. 124）。さらに分配関係式 $g_{\alpha,\beta}=\prod_{a\alpha'=\alpha,\,a\beta'=\beta}g_{\alpha',\beta'}$ が成り立つ（Kat04 Lemma 1.7、p. 123）。指数の分母を消すために整数 $c$ で補正した ${}_cg_{\alpha,\beta}\in\mathcal{O}(Y(N))^\times$ も使う。

ゼータ元

$M,N\ge2$、$M+N\ge5$ とする。$Y(M,N)$ を、楕円曲線 $E$ と $Me_1=0$、$Ne_2=0$ となる点の組 $(e_1,e_2)$ で $\mathbb{Z}/M\times\mathbb{Z}/N\to E$ が単射なものを分類するモジュラー曲線とする（Kat04 2.1）。

Beilinson は、これらの元の 代数的K理論 のレギュレーターが $L$ 関数の $s=0$ での微分に結びつくことを示した。加藤の定式化では次のとおりである（Kat04 Theorem 2.6、p. 127）：$Z_{M,N}(s)$ を $H^1(Y(M,N)(\mathbb{C}),\mathbb{C})$ に作用する作用素値のゼータ関数とする。$\operatorname{prime}(M)\subset\operatorname{prime}(N)$ のとき
$$ \mathrm{reg}_{M,N}(z_{M,N})=\lim_{s\to0}\frac1s\,Z_{M,N}(s)\cdot2\pi i\cdot(\delta_{M,N})^- $$
である。$\delta_{M,N}$ は特別なホモロジー類から定まる元である。この定理はこの記事では証明しない。

この証明はこの記事では与えない。右辺の因子は、$Z_{M,N}(s)$ の $\ell$ での Euler 因子の逆数の $s=0$ での値である（Kat04 2.5、p. 127）。prop-es-norm の $1-\mathrm{Fr}_\ell^{-1}$ が $\zeta$ の Euler 因子から来たのと同じ構造である。

$p$ 進ゼータ元と相互法則

$f=\sum a_nq^n$ を $S_k(X_1(N))\otimes\mathbb{C}$ の重さ $k\ge2$ の正規化された新形式、$F:=\mathbb{Q}(a_n;n\ge1)$、$\lambda$ を $p$ の上の $F$ の素点、$V_{F_\lambda}(f)$ を $f$ の 2 次元の $\lambda$ 進 Galois表現、$V_{\mathcal{O}_\lambda}(f)$ をその中の格子とする（Kat04 8.3）。Soulé の円分元の方法のモジュラー曲線版により、ゼータ元の Chern 類から $p$ 進ゼータ元
$$ {}_{c,d}z^{(p)}_m(f,r,r',\xi,S)\in H^1\bigl(\mathbb{Z}[1/p,\zeta_m],V_{\mathcal{O}_\lambda}(f)(k-r)\bigr) $$
が作られる（Kat04 8.1、(8.1.3)）。これが 加藤の Euler 系 である。
この元の $L$ 値との関係は $p$ 進 Hodge 理論を通して得られる。$S(f)$ を $f$ の生成する尖点形式の空間（Kat04 の記号）、$\exp^*_f$ を双対指数写像とする。

岩澤理論の形では次のとおりである。$G_n:=\operatorname{Gal}(\mathbb{Q}(\zeta_{p^n})/\mathbb{Q})$ とし、$\mathbf{H}^1(V):=\varprojlim_nH^1(\mathbb{Z}[\zeta_{p^n},1/p],T)\otimes\mathbb{Q}$ とする。$V_F(f)$ をモジュラー曲線の Betti コホモロジーの商で $V_F(f)\otimes_FF_\lambda=V_{F_\lambda}(f)$ となる $2$ 次元の $F$ ベクトル空間、$\gamma^\pm$ を $\gamma$ の複素共役の固有値 $\pm1$ の成分とする。$F_\lambda$ 線形写像 $V_{F_\lambda}(f)\to\mathbf{H}^1(V_{F_\lambda}(f))$、$\gamma\mapsto\mathbf{z}^{(p)}_\gamma$ がただ 1 つあって、$1\le r\le k-1$、$\gamma\in V_F(f)$ について、捻りと $\exp^*$ と周期写像 $\mathrm{per}_f$ を通した像を $G_n$ の指標 $\chi$ で足し合わせると $(2\pi i)^{k-r-1}L_{\{p\}}(f^*,\chi,r)\gamma^\pm$（$\pm=(-1)^{k-r-1}\chi(-1)$）になる（Kat04 Theorem 12.5 (1)、p. 221）。$L_{\{p\}}$ は $p$ の Euler 因子を除いた $L$ 関数である。
楕円曲線の場合に書くと次のようになる。$p$ が奇素数で、$E/\mathbb{Q}$ がモジュラーで $p$ で良い通常還元または乗法的還元をもつなら、Euler 系 $c$ と、$p$ によらない正の整数 $r_E$ があって、$\exp^*_{\omega_E}(\mathrm{loc}_p(c_{\mathbb{Q}}))=r_EL_{Np}(E,1)/\Omega_E$ が成り立つ（Rub98 Theorem 7.1、Corollary 7.2）。ここで $L_{Np}$ は $Np$ の Euler 因子を除いた $L$ 関数、$\Omega_E$ は周期である。

主定理

$\mathrm{Sel}(K,T)$ は局所条件 $H^1_f$ で定まる Selmer 群である（Bloch–加藤予想(玉河数予想)、Kat04 14.1）。$J_1(N)$ の商のアーベル多様体の場合に書くと次を得る。

$J_0(N)$ で $K=\mathbb{Q}$ の場合は Kolyvagin–Logachev、虚数乗法の場合は Rubin が先に得ている（Kat04 p. 236）。加藤の証明は Heegner 点を使わない（Rub98 §8）。

逆向きの不等式を含む等式は Mazur–Greenberg の主予想である（Kat04 Conjecture 17.6）。また $E/\mathbb{Q}$ が $\mathbb{Q}_p$ 上で Tate 曲線でなければ、$p$ 進 $L$ 関数の位数が階数を抑える：$\operatorname{rank}E(\mathbb{Q})\le\operatorname{ord}_{s=1}L_{p\text{-adic},\alpha}(f)$（Kat04 Theorem 18.4、p. 281）。

虚数乗法をもつ $E$ では $\tau$ の条件がみたされないので（Rub98 Remark 8.5）、thm-es-bound はそのままでは使えない。この場合は Kat04 §15 で別に扱う。

他の Euler 系との比較

反例

Euler 系の議論の条件は、外すと結論が破れる。

また、cor-es-elliptic は $Ш(E/\mathbb{Q})$ の有限性を述べるだけで、$Ш(E/\mathbb{Q})=0$ は主張しない。

関連項目

• 前提: Galoisコホモロジー, Selmer群, モジュラー曲線, p進Hodge理論
• 比較: 岩澤主予想, 円分体, Milnor K群
• 応用: Birch–Swinnerton-Dyer予想, Bloch–加藤予想(玉河数予想), Tate–Shafarevich群
• 発展: モジュラー性定理, p進L関数