基本局所化子

(FS1)(FS2) は同型射の性質から従う。$ri=1$ で $F(i)F(r)$ が同型なら、$F(i)$ は左逆 $F(r)$ と右逆 $F(r)(F(i)F(r))^{-1}$ をもつので同型であり、$F(r)=F(i)^{-1}$ も同型である。$\square$

1. (LB) により $B/b\to e$ は $\mathcal W$ に属する。$A/b\to e$ は $u/b$ と $B/b\to e$ の合成なので、(FS2) により $u/b\in\mathcal W$ と $A/b\to e\in\mathcal W$ は同値である。

2. 1 と (LC′) による。3. $A\to e$ は $u$ と $B\to e$ の合成で、2 により両方とも $\mathcal W$ に属する。$\square$

射影 $\mathrm{pr}_2\colon A\times B\to B$ と $b\in B$ について、$(A\times B)/b$ の対象 $((a,x),p\colon x\to b)$ は組 $(a,(x,p))$ と同じで、$(A\times B)/b\cong A\times(B/b)$ である。第 1 射影 $q\colon A\times(B/b)\to A$ と $a\in A$ について $(A\times(B/b))/a\cong(A/a)\times(B/b)$ であり、これは終対象 $((a,1_a),(b,1_b))$ をもつので (LB) により非球面的である。よって $q$ は非球面的で $\mathcal W$ に属し（prop-bl-aspherical-functor）、$A\to e$ も $\mathcal W$ に属するので、合成 $A\times(B/b)\to e$ は $\mathcal W$ に属する。すなわち $(A\times B)/b$ は非球面的で、$\mathrm{pr}_2$ は非球面的である。後半は $B$ も非球面的なとき $A\times B\to B\to e$ を考えればよい。$\square$

1. $u\colon A\to B$ の右随伴を $g$ とすると、自然な全単射 $\operatorname{Hom}_B(u(a),b)\cong\operatorname{Hom}_A(a,g(b))$ により、$A/b$ は恒等関手に関するスライス圏 $A/g(b)$ と同型であり、後者は終対象 $(g(b),1)$ をもつ。よって $u$ は非球面的で、prop-bl-aspherical-functor により $\mathcal W$ に属する。圏同値は右随伴をもつ。

2. 終対象の場合は (LB) である。$A$ が始対象 $0$ をもつとき、$0$ を選ぶ関手 $s\colon e\to A$ は $p\colon A\to e$ の左随伴である（$\operatorname{Hom}_A(0,a)$ も $\operatorname{Hom}_e(\ast,\ast)$ も 1 点）。1 により $s\in\mathcal W$、$ps=1_e$ なので (FS2) により $p\in\mathcal W$ である。$\square$

1 は thm-bl-op を $A\to e$ に当てればよい。2：$v\dashv u$（$u\colon A\to B$）なら $\operatorname{Hom}_{A^{\mathrm{op}}}(a,v(b))\cong\operatorname{Hom}_{B^{\mathrm{op}}}(u(a),b)$ なので $u^{\mathrm{op}}\dashv v^{\mathrm{op}}$ であり、$u^{\mathrm{op}}$ は右随伴をもつから $\mathcal W$ に属する（prop-bl-adjoint）。thm-bl-op により $u\in\mathcal W$ である。$\square$

(LA)：空圏を $0$、空でない圏を $1$ に送ると関手 $\mathbf{Cat}\to[1]$ が定まり、$\mathcal W_{\mathrm{gr}}$ はこれで恒等射に写る射の類なので lem-bl-iso-preimage により弱飽和である。(LB)：終対象をもつ圏は空でない。(LC)：$v=wu$ で、すべての $c$ について $u/c\in\mathcal W_{\mathrm{gr}}$ とする。$A\ne\emptyset$ なら $B\ne\emptyset$ で $u\in\mathcal W_{\mathrm{gr}}$ である。$A=\emptyset$ ならすべての $A/c$ が空なので、すべての $B/c$ が空である。$B$ に対象 $b$ があれば $(b,1_{w(b)})\in B/w(b)$ となり矛盾するから $B=\emptyset$、$u=1_\emptyset$ である。$\square$

(LA) は lem-bl-iso-preimage、(LB) は終対象をもつ圏が空でなく連結であることによる。(LC)：$c\to c'$ は $A/c\to A/c'$（$p$ に後から合成）を誘導し、$\varphi_c\colon\pi_0(A/c)\to\pi_0(A)$、$[(a,p)]\mapsto[a]$ は余極限からの写像 $\varphi$ を定める。$[a]=\varphi_{v(a)}[(a,1)]$ なので $\varphi$ は全射である。余極限の中で $(a,p)\in A/c$ の類は $(a,1_{v(a)})\in A/v(a)$ の類に等しい（$p$ による移行）。$A$ の射 $f\colon a\to a'$ について、$(a,1_{v(a)})$ を $v(f)$ で移した $(a,v(f))$ は $A/v(a')$ の中で $f$ により $(a',1)$ と結ばれる。よって $A$ の同じ連結成分の対象から来る元は余極限の中で等しく、$\varphi$ は単射である。$B$ についても同じで、この同一視は $u$ と両立するから、すべての $\pi_0(u/c)$ が全単射なら $\pi_0(u)$ も全単射である。$\square$

$j_\varepsilon\colon A\to I\times A$、$a\mapsto(i_\varepsilon,a)$ とおく。prop-bl-product により射影 $\mathrm{pr}_2\colon I\times A\to A$ は $\mathcal W$ に属し、$\mathrm{pr}_2j_\varepsilon=1_A$ なので (FS2) により $j_\varepsilon\in\mathcal W$ である。$f=hj_0$、$g=hj_1$ だから $f\in\mathcal W\iff h\in\mathcal W\iff g\in\mathcal W$ である。自然変換 $\alpha\colon f\Rightarrow g$ は、$I=[1]$（終対象 $1$ をもつので非球面的）として $h(0,a)=f(a)$、$h(1,a)=g(a)$、$h(0\to1,\varphi\colon a\to a')=\alpha_{a'}\circ f(\varphi)$ で定まる関手 $h$ を与える。$\square$

族 $(\mathcal W_j)$ の交わりを $\mathcal W$ とする。(FS1)(LB) の射はどの $\mathcal W_j$ にも属する。(FS2)(FS3)(LC) で仮定の射がすべて $\mathcal W$ に属すれば、各 $\mathcal W_j$ に属するので結論の射も各 $\mathcal W_j$ に、したがって $\mathcal W$ に属する。$\operatorname{Fl}(\mathbf{Cat})$ は $S$ を含む基本局所化子なので、交わりをとる族は空でない。$\square$

$\emptyset$ が非球面的なら、prop-bl-product により任意の $C$ について $\emptyset=\emptyset\times C\to C$ が $\mathcal W$ に属する。$\emptyset\to e$ も属するので (FS2) により $C\to e\in\mathcal W$、すなわちすべての小圏が非球面的である。任意の $u\colon A\to B$ について $A\to e=(B\to e)\circ u$ なので $u\in\mathcal W$ である。逆は明らかである。$\square$