零因子

1 ならば 2。$ab=0$、$a\neq0$ とする。$b\neq0$ なら $a$ は $0$ 以外の零因子になり 1 に反するので、$b=0$ である。
2 ならば 3。$ab=ac$、$a\neq0$ とすると、分配法則により $a(b-c)=ab-ac=0$ である。2 により $a=0$ または $b-c=0$ であり、$a\neq0$ だから $b=c$ である。
3 ならば 1。$a\neq0$ が零因子だとすると、$ab=0$ となる $b\neq0$ がある。$ab=0=a\cdot0$ に 3 を用いると $b=0$ となり矛盾する。よって $0$ 以外の元は零因子でない。$1\neq0$ なので $A\neq\{0\}$ であり、$0$ は零因子である。したがって零因子は $0$ だけである。

$x^m=0$ となる最小の $m\geq1$ をとる。$m=1$ なら $x=0$ であり、$R\neq\{0\}$ より $1\neq0$ で $0\cdot1=1\cdot0=0$ だから、$x=0$ は左零因子かつ右零因子である。$m\geq2$ なら、最小性から $y:=x^{m-1}\neq0$ であり、
$$ xy=x^m=0,\qquad yx=x^m=0 $$
だから $x$ は左零因子かつ右零因子である。

$a$ が $R$ の左零因子なら、$ac=0$ となる $c\neq0$ があり、$(a,b)(c,0)=(ac,0)=(0,0)$ で $(c,0)\neq(0,0)$ だから、$(a,b)$ は左零因子である。$b$ が左零因子の場合も $(0,d)$ を使って同様である。
逆に $(a,b)(c,d)=(ac,bd)=(0,0)$、$(c,d)\neq(0,0)$ とする。$c\neq0$ なら $ac=0$ から $a$ は $R$ の左零因子であり、$c=0$ なら $d\neq0$ で $bd=0$ から $b$ は $S$ の左零因子である。右零因子については積の順序を逆にして同じ議論をすればよい。

1 または 2 ならば 3。単元は零因子でないので、$A$ が零因子なら $A$ は単元でなく、体上の行列の可逆性の判定（行列式の記事の定理「正則性の判定」の 1 と 2）により $\det A=0$ である。
3 ならば 1。$\det A=0$ なら、同じ定理の 2 と 5 の同値により、$Av=0$ となる $v\in k^n$、$v\neq0$ がある。第 1 列が $v$ で他の列が $0$ の行列を $B$ とすると $B\neq0$ であり、$AB$ の第 1 列は $Av=0$、他の列は $0$ なので $AB=0$ である。よって $A$ は左零因子である。
3 ならば 2。転置行列 $A^\top$ について $\det A^\top=\det A=0$ である（行列式の記事の命題「転置と行列式」）。いま示したことを $A^\top$ に適用すると、$A^\top B=0$ となる $B\neq0$ がある。転置をとると $B^\top A=(A^\top B)^\top=0$ であり、$B^\top\neq0$ だから $A$ は右零因子である。

非零因子どうしの積は非零因子である。実際、$s,t$ が非零因子で $(st)x=0$ なら $s(tx)=0$ から $tx=0$、さらに $x=0$ である。また $a\in Z(A)$、$ab=0$、$b\neq0$ なら、任意の $r\in A$ について $(ra)b=0$ なので $ra\in Z(A)$ である。
$a\in Z(A)$ を 1 つ固定し、
$$ \Sigma_a:=\{I\mid I\text{ は }A\text{ のイデアル},\ a\in I,\ I\subset Z(A)\} $$
を包含関係で半順序集合とみなす。単項イデアル $(a)=\{ra\mid r\in A\}$ は上の考察により $Z(A)$ に含まれるので、$(a)\in\Sigma_a$ であり、$\Sigma_a$ は空でない。$\Sigma_a$ の空でない鎖 $\mathcal C$ に対し、和集合 $J_0=\bigcup_{I\in\mathcal C}I$ はイデアルである（$x,y\in J_0$ は鎖の同じ元に属するので $x-y\in J_0$、また $rx\in J_0$）。$J_0$ は $a$ を含み $Z(A)$ に含まれるので $J_0\in\Sigma_a$ であり、$\mathcal C$ の上界である。空の鎖は $(a)$ を上界にもつ。ここで Zornの補題 を用いると、$\Sigma_a$ は極大元 $\mathfrak p$ をもつ。
$\mathfrak p$ が素イデアルであることを示す。$1$ は零因子でないので $1\notin\mathfrak p$ であり、$\mathfrak p$ は真のイデアルである。$x,y\notin\mathfrak p$ とし、$xy\notin\mathfrak p$ を示す。$\mathfrak p+(x)$ は $\mathfrak p$ を真に含み $a$ を含むので、極大性から $\mathfrak p+(x)\not\subset Z(A)$ であり、非零因子 $s=p_1+rx$（$p_1\in\mathfrak p$、$r\in A$）がとれる。同様に非零因子 $t=p_2+r'y$（$p_2\in\mathfrak p$、$r'\in A$）がとれる。積
$$ st=p_1p_2+p_1r'y+rxp_2+rr'xy $$
は非零因子であり、最初の 3 項は $\mathfrak p$ に属する。もし $xy\in\mathfrak p$ なら $st\in\mathfrak p\subset Z(A)$ となって矛盾する。よって $xy\notin\mathfrak p$ であり、$\mathfrak p$ は $a$ を含み $Z(A)$ に含まれる素イデアルである。
各 $a\in Z(A)$ についてこのような素イデアル $\mathfrak p_a$ を 1 つずつ選べば、$Z(A)=\bigcup_{a\in Z(A)}\mathfrak p_a$ である（右辺の各 $\mathfrak p_a$ は $Z(A)$ に含まれ、$a\in\mathfrak p_a$ である）。