ファイバー束のEuler標数
概要
ファイバー束のEuler標数（Euler characteristic of fiber bundles）とは、ファイバー束の全空間 $E$ の Euler 標数がファイバー $F$ と底 $B$ の Euler 標数の積 $\chi(E)=\chi(F)\chi(B)$ になるという公式である。閉多様体の間の全射な沈め込みで底が連結なら成り立ち、束のねじれ（モノドロミー）は影響しない。証明は底とファイバーの Morse 関数を組み合わせて全空間の Morse 関数を作り、臨界点を数える。底が連結でなければ成分ごとの和になり、有限の良い被覆による de Rham コホモロジーのスペクトル系列からも同じ公式が得られる。
前提知識: ファイバー束, Ehresmannの補題, Euler標数, Morse理論, Morse関数とCW複体のホモトピー型
直積 $F\times B$ の Euler 標数は $\chi(F)\chi(B)$ であり、$n$ 重被覆の全空間の Euler 標数は底の $n$ 倍である（Euler標数 の定理「直積と和集合の Euler 標数」と定理「被覆と Euler 標数」）。どちらも ファイバー束 の特別な場合で、前者はねじれのない束、後者はファイバーが $n$ 点の束である。一般のファイバー束でも、全空間の Euler 標数はファイバーと底の Euler 標数の積になる：
$$
\chi(E)=\chi(F)\,\chi(B).
$$
Klein の壺は円周の上の円周束で、直積のトーラスとは同相でないが、どちらも Euler 標数は $0\cdot0=0$ である。束のねじれ（貼り合わせの写像）は Euler 標数には現れない。
この記事では、閉多様体の間の全射な沈め込みについてこの公式を Morse 関数で証明する。底の Morse 関数とファイバーの Morse 関数を組み合わせて全空間の Morse 関数を作ると、臨界点は「底の臨界点」と「その上のファイバーの臨界点」の組になり、指数は和になる。交代和をとれば積の公式が出る。底が連結でないときは成分ごとの和になる。さらに、有限の良い被覆による de Rham コホモロジーのスペクトル系列から、ファイバーがコンパクトでない束でも同じ公式が出ることを述べる。
設定と記号
この記事では、多様体は Hausdorff かつ第 2 可算、「滑らか」は $C^\infty$ 級を指し、閉多様体は境界のないコンパクトな多様体である。空間 $X$ の Euler 標数 $\chi(X)$ は Euler標数 の定義「ホモロジーによる Euler 標数」による。閉多様体は有限 CW 複体とホモトピー同値なので（Morse関数とCW複体のホモトピー型 の系「コンパクトな多様体のホモトピー型」）、$\chi$ が定まり、任意の体 $\mathbb{k}$ について $\chi(X)=\sum_k(-1)^k\dim_{\mathbb{k}}H_k(X;\mathbb{k})$ である（Euler標数 の定理「体係数の Euler 標数」）。$0$ 次元の閉多様体は有限集合で、$\chi$ は点の個数である。
$\pi\colon E\to B$ を閉多様体の間の全射な 沈め込み とする。$E$ はコンパクトなので $\pi$ は固有であり、Ehresmannの補題 の定理「Ehresmann の補題」により $\pi$ は局所自明なファイバー束である：各 $q\in B$ に、$\mathbb{R}^m$（$m=\dim B$）と微分同相な任意の座標近傍 $V\ni q$ について、微分同相写像 $\Phi\colon V\times\pi^{-1}(q)\to\pi^{-1}(V)$ で $\pi\circ\Phi=\mathrm{pr}_1$ となるものがある。$B$ の同じ連結成分の上のファイバーは互いに微分同相で（同記事の系「ファイバーの微分同相型の一定性」）、各ファイバー $\pi^{-1}(q)$ は閉多様体である。逆に、閉多様体を底とし閉多様体をファイバーとする滑らかなファイバー束の射影は、全射な沈め込みで全空間はコンパクトである。
Morse関数 の臨界点の個数との関係は Morse理論 の定理「Morse の不等式」の 4 による：$n\ge1$ 次元の閉多様体 $M$ の上の Morse 関数が指数 $\lambda$ の臨界点を $c_\lambda$ 個もつなら $\chi(M)=\sum_\lambda(-1)^\lambda c_\lambda$ である。$0$ 次元の多様体の上の関数では、すべての点を指数 $0$ の非退化臨界点とみなすと、この式は点の個数の式になる。
積の形の Morse 関数
$\pi\colon E\to B$ を閉多様体の間の全射な沈め込みとし、$h$ を $B$ の上の Morse 関数、その臨界点を $q_1,\dots,q_r$、指数を $\mu_1,\dots,\mu_r$ とする。各 $j$ について、ファイバー $F_j:=\pi^{-1}(q_j)$ の上の Morse 関数 $g_j$ をとる。このとき $E$ の上の Morse 関数 $f$ で、臨界点がちょうど $g_j$ の臨界点 $z\in F_j$（$j=1,\dots,r$）であり、その指数が $\mu_j+\operatorname{ind}_{g_j}(z)$ であるものがある。
段 1（局所自明化）．$q_j$ のまわりの座標近傍 $U_j$ で $\mathbb{R}^m$ と微分同相なものを、閉包が互いに交わらず、$U_j$ が $h$ の臨界点を $q_j$ のほかに含まないようにとる。Ehresmann の補題により微分同相写像 $\Phi_j\colon U_j\times F_j\to\pi^{-1}(U_j)$ で $\pi\circ\Phi_j=\mathrm{pr}_1$ となるものがあり、$\Phi_j(q_j,\cdot)$ は $F_j$ の微分同相写像なので、$\Phi_j$ を $\Phi_j\circ(\mathrm{id}\times\Phi_j(q_j,\cdot)^{-1})$ に取り替えて $\Phi_j(q_j,z)=z$ としてよい。$q_j$ の開近傍 $W_j$ で閉包が $U_j$ の中でコンパクトなものと、$W_j$ の上で $1$、台が $U_j$ の中でコンパクトな滑らかな関数 $\rho_j\colon B\to[0,1]$ をとる（隆起関数）。
段 2（関数）．$\pi^{-1}(U_j)$ の上で $G_j(\Phi_j(b,z)):=\rho_j(b)\,g_j(z)$、その外で $G_j:=0$ とおく。$G_j$ は閉集合 $\pi^{-1}(\operatorname{supp}\rho_j)$ の外で $0$ なので、$E$ の上の滑らかな関数である。$\delta>0$ について
$$
f_\delta:=h\circ\pi+\delta\sum_{j=1}^rG_j
$$
とおく。
段 3（$W_j$ の上）．$\pi^{-1}(W_j)$ を $\Phi_j$ で $W_j\times F_j$ と同一視すると、$f_\delta(b,z)=h(b)+\delta g_j(z)$ である。微分は $T_bB\oplus T_zF_j$ の上の $dh_b+\delta\,dg_j(z)$ なので、臨界点は $b=q_j$（$W_j$ の中の $h$ の臨界点）かつ $z$ が $g_j$ の臨界点となる点である。そこでの Hesse 形式は $h$ の Hesse 形式と $g_j$ の Hesse 形式の $\delta$ 倍を対角に並べたもので、非退化であり、それぞれを対角化して並べると負の成分の個数は $\mu_j+\operatorname{ind}_{g_j}(z)$ である（Morse関数 の補題「指数と対角化」）。$\Phi_j(q_j,z)=z$ なので、この点は $F_j$ の点 $z$ そのものである。
段 4（$W_j$ の外）．$K:=E\setminus\bigcup_j\pi^{-1}(W_j)$ はコンパクトである。$x\in K$ では $\pi(x)$ は $h$ の臨界点でなく、$d\pi_x$ は全射なので $d(h\circ\pi)_x=dh_{\pi(x)}\circ d\pi_x\ne0$ であり、$h\circ\pi$ は $K$ の中に臨界点をもたない。Morse関数の存在 の補題「臨界点のないコンパクト集合」を $h\circ\pi$ と $G_1,\dots,G_r$ に使うと、$\delta>0$ が十分小さければ $f_\delta$ は $K$ の中に臨界点をもたない。
段 3・段 4 から、十分小さい $\delta$ について $f:=f_\delta$ が求めるものである。$\square$
$\dim F_j=0$ のときは $g_j$ は任意の関数でよく、$F_j$ のすべての点が指数 $\mu_j$ の臨界点になる。
主定理
$\pi\colon E\to B$ を閉多様体の間の全射な沈め込みとし、$B$ は連結であるとする。このとき $\pi$ はファイバー束で、そのファイバー $F$（どの点の上でも微分同相な閉多様体）について
$$
\chi(E)=\chi(F)\,\chi(B)
$$
が成り立つ。ファイバー束の貼り合わせ（モノドロミー）が自明でなくてもよい。
Morse関数の存在 の定理「コンパクトな多様体での開稠密性」により、$B$ の上の Morse 関数 $h$ と $F$ の上の Morse 関数 $g$ がある（次元 $0$ なら任意の関数）。$h$ の臨界点を $q_1,\dots,q_r$、指数を $\mu_1,\dots,\mu_r$ とし、微分同相写像 $\theta_j\colon F\to F_j=\pi^{-1}(q_j)$ をとって $g_j:=g\circ\theta_j^{-1}$ とおく。$g_j$ は $F_j$ の上の Morse 関数で、臨界点は $\theta_j$ で $g$ の臨界点と指数を保って対応する。lem-efb-morse の Morse 関数 $f$ について、指数 $\lambda$ の臨界点の個数を $c_\lambda(f)$ と書くと
$$
\chi(E)=\sum_\lambda(-1)^\lambda c_\lambda(f)=\sum_{j=1}^r\ \sum_{z\in\operatorname{Crit}g}(-1)^{\mu_j+\operatorname{ind}_g(z)}=\Bigl(\sum_{j=1}^r(-1)^{\mu_j}\Bigr)\Bigl(\sum_{z\in\operatorname{Crit}g}(-1)^{\operatorname{ind}_g(z)}\Bigr)=\chi(B)\,\chi(F)
$$
である。1 つ目と最後の等号は Morse理論 の定理「Morse の不等式」の 4（次元 $0$ では点の個数）を $E$、$B$、$F$ に使った。$\square$
lem-efb-morse の Morse 関数の臨界点は、底の臨界点 $q_j$ の真上のファイバー $F_j$ の中だけにある。束のねじれは $F_j$ どうしをどう貼り合わせるかの情報だが、臨界点を数えるときには各 $F_j$ を 1 つずつ見るだけなので、貼り合わせは数に影響しない。コホモロジーの言葉では、ねじれは $H^q(F)$ への底の基本群の作用（局所係数）として現れ、全空間のコホモロジー群そのものは変えうるが、次元の交代和は変えない（prop-efb-leray）。
$B$ が連結でなければ、成分ごとにファイバーが違ってよい。同じ証明で、$h$ の臨界点を成分ごとに分けて数えると次が得られる。
$\pi\colon E\to B$ を閉多様体の間の全射な沈め込みとし、$B$ の連結成分を $B_1,\dots,B_s$、$B_\alpha$ の上のファイバーを $F_\alpha$ とする。このとき
$$
\chi(E)=\sum_{\alpha=1}^s\chi(F_\alpha)\,\chi(B_\alpha)
$$
である。
$E$ は $\pi^{-1}(B_\alpha)$（開かつ閉）の非交和で、$\pi^{-1}(B_\alpha)\to B_\alpha$ は連結な閉多様体を底とする全射な沈め込みである。非交和の Euler 標数は和であり（ホモロジーが直和になる）、各成分に thm-efb-main を使えばよい。$\square$
例
- Hopf ファイブレーション：$S^{2n+1}\to\mathbb{CP}^n$ はファイバー $S^1$ の束である（複素射影空間 の命題「複素射影空間のホモトピー群」の 1。局所自明化は座標近傍ごとの滑らかな式で与えられる。$n=1$ は Hopfファイブレーション）。$\chi(S^{2n+1})=0=\chi(S^1)\chi(\mathbb{CP}^n)$ である。
- Klein の壺：$[0,1]\times S^1$ の両端を $(0,w)\sim(1,\bar w)$ で貼った Klein の壺は、第 1 成分で $S^1$ の上の円周束になり、$\chi=0\cdot0=0$ である。直積でない束でも積の公式が成り立つ。
- 被覆：ファイバーが $n$ 点なら $\chi(E)=n\,\chi(B)$ で、Euler標数 の定理「被覆と Euler 標数」の閉多様体の場合を含む。
- 円周の上の束：$B=S^1$ なら $\chi(E)=\chi(F)\cdot0=0$ である。したがって $S^2$、$\mathbb{CP}^n$、種数 $g\ne1$ の向き付け可能な閉曲面（$\chi=2-2g\ne0$）は、どれも $S^1$ の上の（連結とは限らないファイバーの）滑らかなファイバー束の全空間にならない。
- Stiefel 多様体：$2\le k\le n$ について、最初のベクトルへの射影 $p\colon V_k(\mathbb{R}^n)\to S^{n-1}$ はファイバーが $V_{k-1}(\mathbb{R}^{n-1})$ のファイバー束である（Stiefel多様体 の定理「最初のベクトルへの射影」）。$V_1(\mathbb{R}^m)=S^{m-1}$ なので、thm-efb-main と $k$ に関する帰納法で $\chi(V_k(\mathbb{R}^n))=\chi(S^{n-1})\chi(S^{n-2})\cdots\chi(S^{n-k})$ である（途中の底 $S^{n-1},\dots,S^{n-k+1}$ はどれも連結）。$k\ge2$ なら $n-1$ と $n-2$ の一方は奇数で、その球面の Euler 標数は $0$ なので $\chi(V_k(\mathbb{R}^n))=0$ である。とくに $\chi(O(n))=\chi(V_n(\mathbb{R}^n))=0$（$n\ge2$）である。複素の場合も、底 $S^{2n-1}$ の Euler 標数が $0$ なので $\chi(V_k(\mathbb{C}^n))=0$（$k\ge1$）、とくに $\chi(U(n))=0$ である。
- 旗多様体：$\mathbb{C}^n$ の完全旗の多様体 $\operatorname{Fl}_n$ は射影束の塔 $\operatorname{Fl}_n=X_{n-1}\to X_{n-2}\to\dots\to X_1=\mathbb{CP}^{n-1}$ で、$X_{j+1}\to X_j$ のファイバーは $\mathbb{CP}^{n-j-1}$ である（旗多様体 の定理「射影束の塔としての旗多様体」）。$\chi(\mathbb{CP}^{m})=m+1$ で、途中の底 $X_j$ はどれも連結（連結な底の上の連結なファイバーの束の全空間は連結）なので、thm-efb-main を繰り返し使うと $\chi(\operatorname{Fl}_n)=n(n-1)\cdots2=n!$ である。
沈め込みであることの確かめ
1：$V_k(\mathbb{R}^n)$ は $(\mathbb{R}^n)^k$ の閉部分多様体（Stiefel多様体 の命題「多様体の構造」）で、$p$ は第 1 成分への線形射影の制限なので滑らかである。直交群 $O(n)$ は $V_k(\mathbb{R}^n)$ と $S^{n-1}$ に左から作用し、$p(gA)=g\,p(A)$ である。$x=p(A)$ での $S^{n-1}$ の接ベクトルは、$O(n)$ の滑らかな曲線 $g(t)$（$g(0)=I$）による $\frac{d}{dt}g(t)x|_{t=0}$ の形に書け（$x$ に垂直な $v$ には、$x$ と $v$ の張る平面の回転をとる）、それは曲線 $g(t)A$ の像の速度なので、$dp_A$ は全射である。$\mathbb{C}$ の場合はユニタリ群で同じである。2：複素ベクトル束の射影化は、ベクトル束の局所自明化から局所自明な滑らかなファイバー束になるので、射影は全射な沈め込みである。
例 4 のように、$\chi(E)\ne0$ なら $E$ は、どの連結成分の Euler 標数も $0$ の閉多様体（円周、トーラス、奇数次元の閉多様体など）を底とする滑らかなファイバー束にも、そのような閉多様体をすべてのファイバーとする滑らかなファイバー束にもならない（cor-efb-components）。奇数次元の閉多様体の Euler 標数が $0$ であることは ハンドル分解 の系「奇数次元の閉多様体の Euler 標数」にある。
良い被覆による別証明
底がコンパクトなら、ファイバーがコンパクトでなくても、de Rham コホモロジーの次元が有限なら同じ公式が成り立つ。証明は、底の有限の良い被覆を引き戻した全空間の被覆の Čech–de Rham 複体（Čech–de Rham複体）のスペクトル系列による。ここでは $\chi_{dR}(X):=\sum_q(-1)^q\dim H^q_{dR}(X)$ と書く。
$\pi\colon E\to B$ を閉多様体 $B$ の上の滑らかなファイバー束、そのファイバー $F$ を多様体（コンパクトでなくてよい）とし、$H^\bullet_{dR}(F)$ は全体で有限次元であるとする。$B$ の有限の良い被覆 $\mathfrak U$ で、各開集合の上で $\pi$ が自明になるものをとり、$p+1$ 個の相異なる開集合の空でない交わりの個数を $\beta_p$ と書く。このとき $H^\bullet_{dR}(E)$ は有限次元で
$$
\chi_{dR}(E)=\sum_{p,q}(-1)^{p+q}\beta_p\dim H^q_{dR}(F)=\chi_{dR}(F)\,\chi_{dR}(B)
$$
である。モノドロミーは自明でなくてよい。
要点：全空間の被覆 $\pi^{-1}\mathfrak U$ の Čech–de Rham 複体を $p$ の向きに filtration したスペクトル系列の $E_1$ 項は $\prod H^q_{dR}(\pi^{-1}U_{\alpha_0\cdots\alpha_p})$ で、各因子は $H^q_{dR}(F)$ と同型なので次元は $\beta_p\dim H^q_{dR}(F)$ である。有限次元のスペクトル系列では Euler 標数が各頁で変わらない。
証明を開く
被覆の存在：閉多様体には有限の良い被覆があり、良い被覆は任意の開被覆を細分するようにとれる（BT82 Theorem 5.1、p. 42、Corollary 5.2、p. 43）。$\pi$ を自明にする開被覆を細分する良い被覆をとり、コンパクト性から有限個を選べば、良い被覆の部分被覆も良い被覆なので条件をみたす。
$E_1$ 項：空でない交わり $U_I:=U_{\alpha_0\cdots\alpha_p}$ は $\mathbb{R}^m$ と微分同相で、$\pi^{-1}(U_I)\cong U_I\times F$ は $F$ とホモトピー同値なので、$H^q_{dR}(\pi^{-1}U_I)\cong H^q_{dR}(F)$ である（de Rhamの定理 の系「de Rham コホモロジーの位相不変性」）。$K^{p,q}:=C^p(\pi^{-1}\mathfrak U,\Omega^q)$ を $E$ の被覆 $\pi^{-1}\mathfrak U$ の Čech–de Rham 複体とすると、全複体のコホモロジーは $H^\bullet_{dR}(E)$ に同型である（Čech–de Rham複体 の定理「de Rham と Čech の同型」の 1）。$K$ を $p$ について filtration したスペクトル系列は $H(\operatorname{Tot}K)$ に収束し、$E_1^{p,q}=\prod_{\alpha_0<\cdots<\alpha_p}H^q_{dR}(\pi^{-1}U_{\alpha_0\cdots\alpha_p})$ で、$d_r$ は $E_r^{p,q}\to E_r^{p+r,q-r+1}$、$H^n(\operatorname{Tot}K)$ には $E_\infty^{p,n-p}$ を順に商とする有限の filtration がある（BT82 Theorem 14.14、p. 165。ファイバー束への適用は §14 の「The Spectral Sequence of a Fiber Bundle」、p. 169）。
数え上げ：$\dim E_1^{p,q}=\beta_p\dim H^q_{dR}(F)$ は有限で、$0\le p< \lvert\mathfrak U\rvert$ と $H^q_{dR}(F)\ne0$ となる有限個の $q$ でしか $0$ でない。$\chi(E_r):=\sum(-1)^{p+q}\dim E_r^{p,q}$ とおくと、$d_r$ は全次数 $p+q$ を $1$ 上げるので、有限次元の複体 $(E_r,d_r)$ のコホモロジー $E_{r+1}$ について $\chi(E_{r+1})=\chi(E_r)$ である。$r$ が大きければ $d_r=0$ で $E_r=E_\infty$ であり、filtration の商の次元の和から $\dim H^n_{dR}(E)=\sum_p\dim E_\infty^{p,n-p}$、したがって $\chi_{dR}(E)=\chi(E_\infty)=\chi(E_1)$ で、1 つ目の等号を得る。$\pi=\mathrm{id}_B$（$F$ は 1 点）に同じことを使うと $\chi_{dR}(B)=\sum_p(-1)^p\beta_p$ なので、2 つ目の等号を得る。$U_I$ の間の制限写像 $H^q_{dR}(\pi^{-1}U_I)\to H^q_{dR}(\pi^{-1}U_J)$ は自明でないことがあるが、次元の数え上げには影響しない。
証明の最後の段落の等式 $\chi_{dR}(B)=\sum_p(-1)^p\beta_p$ は、$B$ のコンパクト性を使わず、有限の良い被覆をもつ任意の多様体 $B$ とその有限の良い被覆で同じ証明により成り立つ。$F$ がコンパクトなら、$\chi_{dR}$ は実係数の Euler 標数で（de Rhamの定理 の定理「de Rham の定理」）、thm-efb-main の別証明になる。$F$ がコンパクトでない例として、閉多様体 $B$ の上のベクトル束 $E$ では $F=\mathbb{R}^k$ で $\chi_{dR}(E)=\chi_{dR}(B)$ である（$E$ は零切断へ縮むので、直接にも分かる）。
反例：条件を外すと崩れる例
| 外す条件 | 反例 | 成り立たなくなること |
|---|---|---|
| $B$ が連結 | $B=\{a,b\}$、$E=\{u,v,w\}$、$\pi(u)=a$、$\pi(v)=\pi(w)=b$ | $\chi(E)=\chi(F)\chi(B)$（$F$ はどれか 1 つのファイバー） |
| $E$ がコンパクト | $E=T^2\setminus\{\mathrm{pt}\}$、$\pi\colon E\to S^1$ は第 1 成分への射影 | $\chi(E)=\chi(F)\chi(B)$ |
| $\pi$ が沈め込み | Riemann 球面 $\hat{\mathbb{C}}$ の写像 $z\mapsto z^2$（$F$ は $0$、$\infty$ 以外の点の上の 2 点のファイバー） | $\chi(E)=\chi(F)\chi(B)$ |
| 良い被覆が有限 | $B=\mathbb{R}$、$U_j=(j-1,j+1)$（$j\in\mathbb{Z}$） | $\chi_{dR}(B)=\sum_p(-1)^p\beta_p$ |
| 良い被覆が有限 | $S^1$ の 3 つの弧に、入れ子の小さな弧を無限個加えた良い被覆 | $\chi_{dR}(B)=\sum_p(-1)^p\beta_p$ |
1 行目は cor-efb-components の和の形なら成り立ち、積の形ではファイバーの選び方によらず成り立たない。2・3 行目は束の局所自明性が崩れる例、4・5 行目は良い被覆の交わりの数え上げが無限になる例である。
確かめを開く
1 行目：$0$ 次元の閉多様体の間の全射は沈め込みである。$\chi(E)=3$、$\chi(B)=2$ で、ファイバーは 1 点か 2 点なので $\chi(F)\chi(B)$ は $2$ か $4$ である。成分ごとの和は $1\cdot1+2\cdot1=3$ で一致する。
2 行目：$T^2=S^1\times S^1$ から 1 点 $(1,1)$ を除く。射影は開集合への制限なので全射な沈め込みで、$B=S^1$ は連結な閉多様体である。ファイバーは $\theta\ne1$ で $S^1$、$\theta=1$ で $S^1\setminus\{1\}\cong\mathbb{R}$ と、微分同相型が変わる。$E$ は 2 つの円周の一点和とホモトピー同値なので $\chi(E)=1-2=-1$ だが、$\chi(B)=0$ なのでどちらのファイバーでも積は $0$ である。
3 行目：$z\mapsto z^2$ は $\hat{\mathbb{C}}\cong S^2$ の全射で、$0$ と $\infty$ では微分が $0$ なので沈め込みでない。それ以外の点のファイバーは 2 点で、$F$ をこの 2 点のファイバーとすると $\chi(S^2)=2\ne2\cdot2$ である（$0$ と $\infty$ の上のファイバーは 1 点で、こちらをとると積は $1\cdot2=2$ となり、たまたま一致する）。差は分岐点の寄与で、Riemann–Hurwitzの公式 が補正を与える。
4 行目：$U_j\cap U_{j+1}=(j,j+1)$ で 3 つ以上の交わりは空なので、良い被覆で局所有限だが、$\beta_0$ と $\beta_1$ はどちらも無限で $\beta_0-\beta_1$ が定まらない（$\chi(\mathbb{R})=1$）。
5 行目：$S^1$ を中心角 $0,\frac{2\pi}3,\frac{4\pi}3$、半幅が $\frac\pi3$ より少し大きい 3 つの弧で覆い、1 つ目の弧の、ほかの弧と交わらない部分に入れ子の弧 $W_1\supset W_2\supset\cdots$ を加える。空でない有限個の交わりはどれも弧なので良い被覆だが、$W_m$ のどの $p+1$ 個も交わるので、すべての $p$ で $\beta_p$ は無限である。
補足
- Serre スペクトル系列との関係：ファイバー束はファイブレーションなので、Serreスペクトル系列 の $E_2$ 項は局所係数のコホモロジー $H^p(B;\mathcal{H}^q(F))$ である。prop-efb-leray の $E_2$ 項も、被覆の上の局所定数な前層 $U\mapsto H^q_{dR}(\pi^{-1}U)$ の Čech コホモロジーで、同じ役割をもつ。
- 分岐のある写像：3 行目のように分岐点があると積の公式は崩れるが、分岐点ごとの補正を入れた式が Riemann–Hurwitzの公式 である。
- 文献：Morse 関数による証明は Hir76 Ch. 6 §3 の Exercise 9（p. 166）のヒントの方針（底の Morse 関数を全空間へ引き戻して使う）による。スペクトル系列による証明は BT82 §14 の Exercise 14.37（p. 182）の方針による。
関連項目
- 前提: ファイバー束, Ehresmannの補題, Euler標数, Morse理論, Morse関数とCW複体のホモトピー型
- 比較: Künnethの公式, 被覆空間, Riemann–Hurwitzの公式
- 直後に読む: Serreスペクトル系列, Čech–de Rham複体
- 発展: Gysin列, Poincaré–Hopfの定理
参考文献
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