群環

積は $R$ 双線形なので分配法則が成り立つ。結合法則を示す。$(xy)z$ と $x(yz)$ はどちらも $x,y,z$ のそれぞれについて $R$ 線形であるから（$R$ が可換なので、係数はどの位置にあっても前に出せる）、$x=ag$、$y=bh$、$z=ck$（$a,b,c\in R$、$g,h,k\in G$）の場合に示せば十分である。このとき
$$ \bigl((ag)(bh)\bigr)(ck)=(ab)c\,(gh)k,\qquad (ag)\bigl((bh)(ck)\bigr)=a(bc)\,g(hk) $$
であり、$R$ と $G$ の結合法則により両者は等しい。$1_G$ が単位元であることは $1_G\cdot g=g=g\cdot1_G$ を双線形に延ばせばよい。
1：$r\mapsto r\cdot1_G$ は加法と積を保ち（$(r1_G)(s1_G)=rs\,1_G$）、$r\cdot1_G=0$ なら基底 $1_G$ の係数 $r$ が $0$ なので単射である。$x=\sum_ga_gg$ に対し $(r1_G)x=\sum_gra_gg=\sum_ga_gr\,g=x(r1_G)$ なので、像は中心に含まれる。
2：$g\cdot g^{-1}=1_G=g^{-1}\cdot g$ なので $g$ は単元である。$g\mapsto g$ は $g\cdot h=gh$ より準同型であり、$R\neq0$ なら相異なる $g,h$ は相異なる基底の元なので $R[G]$ で異なる。
3：$G$ がアーベル群なら、基底の元どうしが可換 $gh=hg$ で、積は双線形なので $R[G]$ は可換である。逆に $R[G]$ が可換なら、$g,h\in G$ について $gh=hg$ が $R[G]$ で成り立ち、$R\neq0$ なので 2 により $G$ でも $gh=hg$ である。

$x=\sum_ga_gg\in I_G$ なら $\sum_ga_g=0$ なので $x=\sum_ga_gg-\bigl(\sum_ga_g\bigr)1=\sum_{g\neq1}a_g(g-1)$ であり、族 $(g-1)_{g\neq1}$ は $I_G$ を生成する。$\varepsilon(g-1)=0$ なので各 $g-1$ は $I_G$ に属する。$\sum_{g\neq1}c_g(g-1)=0$（有限台）とすると、左辺の基底 $g\neq1$ の係数は $c_g$ なので、すべての $c_g=0$ である。よって一次独立である。

$\Phi$ を上の式で定めると、$\Phi$ は加法を保ち、$\Phi(1)=\varphi_0(1)\rho(1)=1$ である。$a,b\in R$、$g,h\in G$ について、$\varphi_0(b)$ が $A$ の中心にあることを使うと
$$ \Phi\bigl((ag)(bh)\bigr)=\varphi_0(ab)\rho(gh)=\varphi_0(a)\varphi_0(b)\rho(g)\rho(h)=\varphi_0(a)\rho(g)\varphi_0(b)\rho(h)=\Phi(ag)\Phi(bh) $$
である。$R[G]$ の積は $ag$ の形の元どうしの積を双加法的に延ばしたものであり、$\Phi$ は加法を保つので、$\Phi$ は積を保つ。$\Phi(r\cdot1)=\varphi_0(r)$ なので $R$ 代数の準同型である。一意性：$R$ 代数の準同型 $\Psi$ が $\Psi(g)=\rho(g)$ を満たせば、$\Psi(ag)=\Psi(a\cdot1)\Psi(g)=\varphi_0(a)\rho(g)$ であり、$\Psi$ は加法を保つので $\Psi=\Phi$ である。

$M$ を左 $R[G]$ 加群とする。$R$ の元は $R[G]$ の中心にあるので、$g(am)=(ga)m=(ag)m=a(gm)$（$a\in R$）であり、$m\mapsto gm$ は $R$ 線形である。$g^{-1}$ の作用がその逆写像であり、$(gh)m=g(hm)$ なので、$g\mapsto(m\mapsto gm)$ は群準同型 $G\to\operatorname{Aut}_R(M)$ である。
逆に、$R$ 加群 $M$ と表現 $\rho\colon G\to\operatorname{Aut}_R(M)$ が与えられたとする。$A:=\operatorname{End}_R(M)$（$R$ 線形写像の環）は、$a\in R$ を $a$ 倍写像に送ることで $R$ 代数である（$R$ が可換なので $a$ 倍写像は $R$ 線形であり、どの $R$ 線形写像とも可換）。$\operatorname{Aut}_R(M)=A^\times$ なので、prop-group-ring-universal により環準同型 $\Phi\colon R[G]\to\operatorname{End}_R(M)$ で $\Phi(g)=\rho(g)$、$\Phi(a)=a$ 倍 となるものがただ 1 つある。$\operatorname{End}_R(M)$ はアーベル群 $M$ の加法的自己準同型の環 $\operatorname{End}_{\mathbb{Z}}(M)$ の部分環であり、単位元を保つ環準同型 $R[G]\to\operatorname{End}_{\mathbb{Z}}(M)$ は $M$ 上の左 $R[G]$ 加群の構造と同じものである（加群 の記事の命題「作用と構造準同型の対応」）。こうして得た $R[G]$ 加群の構造は、$R$ への制限がもとの $R$ 加群の構造、$G$ への制限が $\rho$ である。逆に $R[G]$ 加群から作った $R$ 加群の構造と表現にこの構成を施すと、$\Phi$ の一意性によりもとの構造に戻る。よって 2 つの構成は互いに逆である。
最後に、$R$ 線形写像 $f\colon M\to N$ が $R[G]$ 加群の準同型であることは、すべての $x=\sum a_gg$ について $f(xm)=xf(m)$ であることであり、$f$ の $R$ 線形性により、すべての $g\in G$ について $f(gm)=gf(m)$ であることと同値である。

$z=\sum_{x\in G}a_xx\in R[G]$ とする。$R[G]$ は $R$ 上 $G$ で張られ、$R$ の元はもともと中心にあるので、$z$ が中心にあることは、すべての $g\in G$ について $gz=zg$、すなわち $gzg^{-1}=z$ であることと同値である。
$$ gzg^{-1}=\sum_{x\in G}a_x\,gxg^{-1}=\sum_{y\in G}a_{g^{-1}yg}\,y $$
（$y=gxg^{-1}$ と置き換えた）なので、$gzg^{-1}=z$ は、すべての $y$ について $a_{g^{-1}yg}=a_y$ であることと同値である。これがすべての $g$ で成り立つことは、係数 $a_y$ が $y$ の共役類の上で一定であることにほかならない。よって $z$ が中心にあることは、$z=\sum_{j=1}^hc_jz_{K_j}$（$c_j$ は $K_j$ 上の係数の値）と書けることと同値である。共役類は互いに交わらないので、類和 $z_{K_j}$ は異なる基底の元の和であり、$\sum_jc_jz_{K_j}=0$ なら各 $c_j=0$ である。よって類和は中心の基底である。

$\mathbb{C}$ 代数の同型は中心を中心に移し、$\mathbb{C}$ 線形なので中心の次元を保つ。prop-group-ring-center により $\mathbb{C}[G]$ の中心の次元は $h$ である。一方、直積 $\prod_iM_{n_i}(\mathbb{C})$ の中心は各成分の中心の直積である（成分ごとに可換性を調べればよい）。$M_n(\mathbb{C})$ の中心はスカラー行列 $\mathbb{C}I$ である。実際、$A=(a_{pq})$ が行列単位 $E_{ij}$（$(i,j)$ 成分だけが $1$）と可換なら、$AE_{ij}$ は第 $j$ 列が $A$ の第 $i$ 列で他が $0$ の行列、$E_{ij}A$ は第 $i$ 行が $A$ の第 $j$ 行で他が $0$ の行列であり、両者の $(p,j)$ 成分（$p\neq i$）と $(i,j)$ 成分を比べると $a_{pi}=0$（$p\neq i$）と $a_{ii}=a_{jj}$ を得る。逆にスカラー行列はすべての行列と可換である。よって右辺の中心は $\mathbb{C}^r$ で次元 $r$ であり、$r=h$ である。