Hodge分解

Kähler 計量 $h$ を固定し、thm-hodge-decomposition-harmonic と thm-hodge-decomposition-kahler を用いる。
（a）$\mathcal{H}^k(X)=\bigoplus_{p+q=k}\mathcal{H}^{p,q}(X)$。実際、$\alpha\in\mathcal{H}^k(X)$ を型ごとに $\alpha=\sum_{p+q=k}\alpha^{p,q}$ と分ける。$\Delta_d$ は型を保つので $\Delta_d\alpha=\sum_{p+q=k}\Delta_d\alpha^{p,q}$ が $\Delta_d\alpha=0$ の型分解であり、$\Delta_d\alpha^{p,q}\in A^{p,q}(X)$ だから各 $\Delta_d\alpha^{p,q}=0$、すなわち $\alpha^{p,q}\in\mathcal{H}^{p,q}(X)$ である。逆の包含 $\bigoplus\mathcal{H}^{p,q}(X)\subset\mathcal{H}^k(X)$ は明らかで、和が直和であることは $A^k(X)=\bigoplus A^{p,q}(X)$ による。
（b）$\mathcal{H}^{p,q}(X)\to H^{p,q}(X)$、$\alpha\mapsto[\alpha]$ は同型。調和形式は閉形式（$\Delta_d\alpha=0$ なら $0=\langle\Delta_d\alpha,\alpha\rangle=\|d\alpha\|^2+\|d^*\alpha\|^2$）なので、写像は定義され、thm-hodge-decomposition-harmonic により単射である。全射を示す。$\alpha\in A^{p,q}(X)$ を閉形式とする。$\mathrm{id}=H+\Delta_dG$ から
$$ \alpha=H\alpha+\Delta_dG\alpha=H\alpha+dd^*G\alpha+d^*dG\alpha=H\alpha+d(d^*G\alpha) $$
である。ここで $dG\alpha=Gd\alpha=0$ を使った。したがって $[\alpha]=[H\alpha]$ である。残るのは $H\alpha\in A^{p,q}(X)$ である。一般の $\beta\in A^k(X)$ について、$\beta=H\beta+\Delta_dG\beta$ の型 $(p',q')$ 成分をとると $\beta^{p',q'}=(H\beta)^{p',q'}+\Delta_d(G\beta)^{p',q'}$ で、$(H\beta)^{p',q'}$ は（a）により調和、$\Delta_d(G\beta)^{p',q'}$ は $\mathcal{H}^k(X)^\perp=\Delta_dA^k(X)$ に属するから、直交分解の一意性により $(H\beta)^{p',q'}=H(\beta^{p',q'})$、すなわち $H$ は型を保つ。よって $H\alpha\in\mathcal{H}^{p,q}(X)$ であり、全射が示された。これで 4 と、$H^{p,q}(X)$ の有限次元性が従う。
（c）分解 1。thm-hodge-decomposition-harmonic の同型 $\mathcal{H}^k(X)\cong H^k(X,\mathbb{C})$ に（a）と（b）を合わせると、$H^k(X,\mathbb{C})=\bigoplus_{p+q=k}[\mathcal{H}^{p,q}(X)]=\bigoplus_{p+q=k}H^{p,q}(X)$ である。和が直和であることは、$\bigoplus\mathcal{H}^{p,q}(X)=\mathcal{H}^k(X)\to H^k(X,\mathbb{C})$ が単射であることによる。
（d）対称性 2。複素共役は $A^{p,q}(X)$ を $A^{q,p}(X)$ に写し、$\Delta_d$ が実作用素なので $\mathcal{H}^{p,q}(X)$ を $\mathcal{H}^{q,p}(X)$ に写す反線形全単射である。$\overline{[\alpha]}=[\bar\alpha]$ だから $\overline{H^{p,q}(X)}=H^{q,p}(X)$ である。
（e）Dolbeault の同型 3。任意の複素多様体で、$\bar\partial$ に関する Poincaré の補題（Poincaréの補題）により $0\to\Omega^p_X\to A^{p,0}_X\xrightarrow{\bar\partial}A^{p,1}_X\xrightarrow{\bar\partial}\cdots$ は $\Omega^p_X$ の分解であり、$A^{p,q}_X$ は $C^\infty$ 関数の層上の加群層ゆえ細層なので、層コホモロジー $H^q(X,\Omega^p_X)$ は大域切断の複体のコホモロジー $H^{p,q}_{\bar\partial}(X)=\ker\bar\partial/\operatorname{im}\bar\partial$（Dolbeaultコホモロジー）に同型である。次に、$\Delta_{\bar\partial}$ についても thm-hodge-decomposition-harmonic と同じ形の表現定理が成り立ち（Huy05 第 3 章 §3.2、GH78 第 0 章 §6）、$H^{p,q}_{\bar\partial}(X)$ は $\Delta_{\bar\partial}$ 調和な $(p,q)$ 形式の空間 $\mathcal{H}^{p,q}_{\bar\partial}(X)$ に同型である。Kähler なら $\Delta_{\bar\partial}=\frac12\Delta_d$ だから $\mathcal{H}^{p,q}_{\bar\partial}(X)=\mathcal{H}^{p,q}(X)$ であり、（b）と合わせて $H^q(X,\Omega^p_X)\cong H^{p,q}_{\bar\partial}(X)\cong\mathcal{H}^{p,q}(X)\cong H^{p,q}(X)$ を得る。

$\dim H^k=\sum_p\dim\operatorname{gr}^p_FH^k=\sum_{p+q=k}\dim E_\infty^{p,q}$ は、有限フィルトレーションの各段の短完全列（短完全列）$0\to F^{p+1}\to F^p\to\operatorname{gr}^p\to0$ で次元が加法的であることによる。次に $E_{r+1}^{p,q}=\ker(d_r|_{E_r^{p,q}})/\operatorname{im}(d_r\colon E_r^{p-r,q+r-1}\to E_r^{p,q})$ だから
$$ \dim E_{r+1}^{p,q}=\dim E_r^{p,q}-\operatorname{rank}\bigl(d_r|_{E_r^{p,q}}\bigr)-\operatorname{rank}\bigl(d_r\colon E_r^{p-r,q+r-1}\to E_r^{p,q}\bigr)\le\dim E_r^{p,q} $$
である。$E_1^{p,q}$ は有限個の $(p,q)$ でしか $0$ でないので、$r>n+1$ では $d_r$ の始域か終域が $0$ となり $E_r=E_\infty$ である。よって $\dim E_\infty^{p,q}\le\dim E_1^{p,q}$ で、不等式が従う。上の等式をすべての $(p,q)$ について加えると、$d_r$ の各成分のランクは「始域側」と「終域側」で 1 回ずつ数えられるので
$$ \sum_{p,q}\bigl(\dim E_1^{p,q}-\dim E_\infty^{p,q}\bigr)=2\sum_{r\ge1}\operatorname{rank}(d_r) $$
である。左辺が $0$ であること、すなわちすべての $k$ で等号が成り立つことは、右辺が $0$、すなわちすべての $d_r$ が $0$ であることと同値である。

thm-hodge-decomposition-main の 1 と 3 により $\dim H^k(X,\mathbb{C})=\sum_{p+q=k}h^{p,q}(X)=\sum_{p+q=k}\dim H^q(X,\Omega^p_X)=\sum_{p+q=k}\dim E_1^{p,q}$ であり、これはすべての $k$ で成り立つので、prop-hodge-decomposition-spectral-inequality により退化する。フィルトレーションについては、スペクトル系列の構成から $F^pH^k(X,\mathbb{C})$ は $H^k(F^pA^\bullet(X))\to H^k(A^\bullet(X))$ の像、すなわち $F^pA^k(X)$ に属する閉形式で代表される類の全体である。型 $(p',k-p')$（$p'\ge p$）の調和形式は $F^pA^k(X)$ に属する閉形式だから、$\bigoplus_{p'\ge p}H^{p',k-p'}(X)\subset F^pH^k(X,\mathbb{C})$ である。一方、退化により $\dim F^pH^k(X,\mathbb{C})=\sum_{p'\ge p}\dim E_\infty^{p',k-p'}=\sum_{p'\ge p}\dim E_1^{p',k-p'}=\sum_{p'\ge p}h^{p',k-p'}(X)$ で、これは左辺の次元に等しい。包含と次元の一致から等号が従う。

1 は thm-hodge-decomposition-main の 1 で次元を数えたもの、2 は同定理の 2（反線形全単射は次元を保つ）による。$k=2m+1$ なら $b_k=\sum_{p+q=k}h^{p,q}=2\sum_{p\le m}h^{p,k-p}$ で偶数である。
3。$\alpha\mapsto\overline{*\alpha}$ を考える。$*$ は $A^{p,q}(X)$ を $A^{n-q,n-p}(X)$ に写し、複素共役はそれを $A^{n-p,n-q}(X)$ に写す。$*$ と複素共役はともに $\Delta_d$ と可換なので、この写像は $\mathcal{H}^{p,q}(X)\to\mathcal{H}^{n-p,n-q}(X)$ を定める。反線形であり、$**=(-1)^{k(2n-k)}=(-1)^k$（$k$ 次形式上）から 2 回合成すると $\pm\mathrm{id}$ になるので全単射である。したがって $h^{p,q}=\dim\mathcal{H}^{p,q}(X)=\dim\mathcal{H}^{n-p,n-q}(X)=h^{n-p,n-q}$。
4。各点で $(1,0)$ 形式のユニタリ余標構 $\theta_1,\dots,\theta_n$（$\omega=\frac{i}{2}\sum_j\theta_j\wedge\bar\theta_j$）をとり、$\theta_j=\xi_j+i\eta_j$（$\xi_j,\eta_j$ は実形式）と書く。$\frac{i}{2}\theta_j\wedge\bar\theta_j=\frac{i}{2}(\xi_j+i\eta_j)\wedge(\xi_j-i\eta_j)=\frac{i}{2}\cdot(-2i)\,\xi_j\wedge\eta_j=\xi_j\wedge\eta_j$ であり、2 次形式どうしは可換なので
$$ \frac{\omega^n}{n!}=\prod_{j=1}^n\bigl(\xi_j\wedge\eta_j\bigr)=\xi_1\wedge\eta_1\wedge\cdots\wedge\xi_n\wedge\eta_n $$
は Riemann 計量 $g$ の体積形式（標準的な向きに関するもの）である。よって $\int_X\omega^n=n!\operatorname{vol}(X)>0$。もし $\omega^p=d\eta$ と書けたとすると、$d\omega=0$ から $\omega^n=\omega^p\wedge\omega^{n-p}=d(\eta\wedge\omega^{n-p})$ となり、Stokes の定理（Stokesの定理）により $\int_X\omega^n=0$ となって矛盾する。したがって $[\omega]^p=[\omega^p]\ne0$ である。$\omega^p$ は型 $(p,p)$ の閉形式だから $[\omega]^p\in H^{p,p}(X)$ であり、$h^{p,p}\ge1$、ゆえに $b_{2p}\ge1$ である。