多様体の境界へのレトラクトの非存在

係数 $\mathbb{Z}/2$ を省く。後半は、対の長完全列（相対ホモロジーと長完全列 の記事の定理（対の長完全列））で連続する 2 つの写像 $\partial$ と $i_*$ の合成が $0$ であることによる。
前半を示す。対の長完全列 $H_n(M)\xrightarrow{\ q\ }H_n(M,\partial M)\xrightarrow{\ \partial\ }H_{n-1}(\partial M)$ は完全なので、$[M]$ が $q$ の像に入らないことを示せばよい。$[M]=q(b)$ となる $b\in H_n(M)$ があったとする。
段 1（$b$ を内部へ押し込む）．prop-nr-collar-class の 1 により包含 $\iota\colon\operatorname{Int}M\hookrightarrow M$ はホモトピー同値なので、$b=\iota_*(b')$ となる $b'\in H_n(\operatorname{Int}M)$ がある。$b'$ を代表する輪体 $z$ は有限個の特異単体の和なので、それらの像の和 $\lvert z\rvert$ は $\operatorname{Int}M$ のコンパクト集合であり、ある $t$ について $\lvert z\rvert\subset K_t$ となる。
段 2（境界の近くの点）．$x_0\in\partial M$ をとり、$x:=c(x_0,t/2)$ とおく。$c$ は単射で $c(\partial M\times\{0\})=\partial M$ なので $x\notin\partial M$ であり、$x\in C_t$ なので $x\notin K_t$ である。よって $z$ は $M\setminus\{x\}$ の輪体である。
段 3（矛盾）．包含 $(M,\emptyset)\to(M,\partial M)\to(M,M\setminus\{x\})$ の合成を $\rho_x\colon H_n(M)\to H_n(M\mid x)$ とする（$\partial M\subset M\setminus\{x\}$）。$z$ は $M\setminus\{x\}$ の鎖なので、$\rho_x(b)=[z]$ は $C_n(M\setminus\{x\})$ を法として $0$ であり、$\rho_x(b)=0$ である。一方 $\rho_x(b)$ は $q(b)=[M]$ の $H_n(M\mid x)$ への像であり、prop-nr-collar-class の 2 により $0$ でない。これは矛盾である。

$\partial M=\emptyset$ なら、空でない $M$ から空集合への写像はないので主張は正しい。$\partial M\ne\emptyset$ とすると、$M$ の次元 $n$ は $1$ 以上である。そのような $r$ があったとすると、ホモロジーのホモトピー不変性（特異ホモロジーのホモトピー不変性）により $r_*\circ i_*=(r\circ i)_*=\mathrm{id}$ が $H_{n-1}(\partial M;\mathbb{Z}/2)$ の上で成り立つ。lem-nr-boundary-class により
$$ \partial[M]=r_*\bigl(i_*(\partial[M])\bigr)=r_*(0)=0 $$
となり、$\partial[M]\ne0$ に反する。レトラクション $r$（$r\circ i=\mathrm{id}_{\partial M}$）は特別な場合である。

lem-nr-boundary-class により $(g\circ i)_*(\partial[M])=g_*(i_*\partial[M])=g_*(0)=0$ であり、$\partial[M]\ne0$ なので $(g\circ i)_*$ は単射でない。ホモトピー同値（とくに同相写像）はホモロジーの同型を誘導するので、後半が従う。

$M$ は可縮なので空でなく弧状連結で、$\tilde H_*(M)=0$、$H^0(M;\mathbb{Z})\cong\mathbb{Z}$、$k\ne0$ で $H^k(M;\mathbb{Z})=0$ である。prop-nr-collar-class の 1 により $\operatorname{Int}M$ は $M$ とホモトピー同値なので、連結かつ単連結であり、向き付け可能である（Hat02 Proposition 3.25、p. 234）。よって Lefschetz双対定理 の記事の定理（Lefschetz 双対定理）が $R=\mathbb{Z}$ で使え、
$$ H_{n-k}(M,\partial M;\mathbb{Z})\cong H^k(M;\mathbb{Z})\cong\begin{cases}\mathbb{Z}&(k=0)\\0&(k\ne0)\end{cases} $$
である。$\partial M=\emptyset$ なら左辺の $k=0$ は $H_n(M)=\tilde H_n(M)=0$（$n\ge1$）となって矛盾するので、$\partial M\ne\emptyset$ である。被約ホモロジーの対の長完全列（相対ホモロジーと長完全列 の記事の命題（被約ホモロジーの対の長完全列））の部分
$$ \tilde H_{j+1}(M)\to H_{j+1}(M,\partial M)\to\tilde H_j(\partial M)\to\tilde H_j(M) $$
の両端は $0$ なので、すべての $j$ で $\tilde H_j(\partial M)\cong H_{j+1}(M,\partial M)$ であり、これは $j=n-1$ のとき $\mathbb{Z}$、それ以外で $0$ である。これは $\tilde H_*(S^{n-1})$ と同じであり、被約でないホモロジーも一致する。$n\ge2$ なら $\tilde H_0(\partial M)=0$ なので $\partial M$ は連結であり、$\partial M$ はコンパクトで境界のない連結な $(n-1)$ 次元多様体である。