反映原理(集合論)
概要
反映原理(集合論)（reflection principle）とは、任意の有限個の論理式について、それらが集合全体のクラス $V$ と累積階層の段階 $V_\beta$ とで同じ真偽をもつような $\beta$ がいくらでも大きくとれるという ZF の定理の図式である。そのような $\beta$ のクラスは閉かつ非有界である。ZF のどの有限個の公理にも推移的なモデル $V_\beta$ があることを与え、そこから ZF が有限個の公理では書けないことが従う。置換公理を除いた体系 $\mathrm{Z}$ の上では置換公理と同値になる。
集合全体のクラス $V$ は集合ではなく、ZF の中で「$V$ で成り立つ」ことを一つの論理式で表すことはできない。それでも、有限個の論理式だけに注目すれば、それらが $V$ で成り立つかどうかは、累積階層のある段階 $V_\beta$ の中だけを見ても変わらない。しかもそのような $\beta$ はいくらでも大きくとれる。これが集合論の 反映原理（reflection principle）であり、ZF の定理の図式として証明できるので 反映定理 ともよばれる。「$V$ で成り立つことは、すでにある集合の中に映っている」という主張である。
反映原理は、ZF のどの有限個の公理にも推移的な集合のモデル $V_\beta$ があることを与える。そこから、ZF が有限個の公理では書けないこと（有限公理化できないこと）がすぐに従う。強制法などで可算な推移的モデルを使うときの出発点でもある。また置換公理と深く結びついていて、置換公理を除いた体系 Z の上では反映原理と置換公理は同値になる（But21 §12.6–§12.7、pp. 169–174）。
この記事では、反映原理を Tarski–Vaught 型の判定法から完全に証明し、それを満たす段階のクラスが閉かつ非有界であることを示す。帰結として、ZF の有限部分のモデルの存在と、ZF が有限公理化できないことを証明する。
設定
集合論の言語は $\in$ と $=$ だけをもつ一階言語とし、論理式は原子論理式 $x\in y$、$x=y$ から $\lnot$、$\land$、$\exists$ で作ったものとする。$\lor$、$\to$、$\forall$ はこれらの略記とみなす（Kun80 Ch. IV §7、p. 136 の流儀）。論理式 $\varphi$ とクラス $M$ について、$\varphi$ の量化をすべて $M$ に制限した $\varphi^M$ を $\varphi$ の $M$ への 相対化 といい、$M\subset N$ のとき、$M$ の元への代入についてつねに $\varphi^M\leftrightarrow\varphi^N$ が成り立つことを、$\varphi$ が $M,N$ の間で絶対的 であるという（絶対性(集合論) の定義「絶対性」）。$N=V$ のときは単に $M$ に対して絶対的という。
累積階層 $V_\alpha$ は 正則性公理 の記事の節「階数と累積階層」のとおり、超限再帰で $V_0=\emptyset$、$V_{\alpha+1}=\mathcal P(V_\alpha)$、極限順序数 $\lambda$ では $V_\lambda=\bigcup_{\alpha<\lambda}V_\alpha$ と定める。ZF では、$\alpha\le\beta$ なら $V_\alpha\subset V_\beta$、各 $V_\alpha$ は推移的であり、すべての集合はある $V_\alpha$ に属する（同記事の定理「正則性と累積階層」）。
図式としての読み方 「すべての論理式について …」という主張は、ZF の中の一つの文ではなく、メタの立場で論理式ごとに一つずつ ZF の定理が得られるという意味である（定理の 図式）。以下の定理も、論理式の有限の列 $\varphi_1,\dots,\varphi_n$ ごとに一つの ZF の定理を述べる。
Tarski–Vaught 型の判定法
論理式の列 $\varphi_1,\dots,\varphi_n$ が 部分論理式で閉じている とは、列の論理式の部分論理式がすべて列に現れることをいう。どの有限の列も、部分論理式を付け加えて、部分論理式で閉じた有限の列に広げられる。部分論理式で閉じた列の各 $\varphi_i$ は、原子論理式か、列のある $\varphi_j,\varphi_k$ により $\lnot\varphi_j$、$\varphi_j\land\varphi_k$、$\exists x\,\varphi_j$ のいずれかの形である。
$M\subset N$ をクラスとし、$\varphi_1,\dots,\varphi_n$ を部分論理式で閉じた列とする。次の 2 つは同値である。
- $\varphi_1,\dots,\varphi_n$ はどれも $M,N$ の間で絶対的である。
- 列の論理式 $\varphi_i$ が $\exists x\,\varphi_j(x,y_1,\dots,y_l)$ の形（$\varphi_j$ の自由変数を表示した）のときはつねに、すべての $y_1,\dots,y_l\in M$ について
$$ \exists x\in N\ \varphi_j^N(x,\vec y)\ \Longrightarrow\ \exists x\in M\ \varphi_j^N(x,\vec y). $$
2 は「$N$ の中に証人があるなら、$M$ の中にも（$N$ で判定して）証人がある」という閉包の条件で、$N$ での真偽だけで書かれている。
1⇒2：$\vec y\in M$ とし、$\exists x\in N\ \varphi_j^N(x,\vec y)$、すなわち $\varphi_i^N(\vec y)$ が成り立つとする。$\varphi_i$ の絶対性により $\varphi_i^M(\vec y)$、すなわち $\exists x\in M\ \varphi_j^M(x,\vec y)$ であり、その $x\in M$ について $\varphi_j$ の絶対性から $\varphi_j^N(x,\vec y)$ が成り立つ。
2⇒1：列の論理式の長さについての帰納法で、各 $\varphi_i$ が絶対的であることを示す。原子論理式は量化を含まないので $\varphi_i^M$ と $\varphi_i^N$ は同じ式であり、絶対的である。$\varphi_i$ が $\lnot\varphi_j$ や $\varphi_j\land\varphi_k$ なら、より短い $\varphi_j,\varphi_k$ の絶対性から従う。$\varphi_i=\exists x\,\varphi_j(x,\vec y)$ のときは、$\vec y\in M$ について
$$
\varphi_i^M(\vec y)\iff\exists x\in M\ \varphi_j^M(x,\vec y)\iff\exists x\in M\ \varphi_j^N(x,\vec y)\iff\exists x\in N\ \varphi_j^N(x,\vec y)\iff\varphi_i^N(\vec y)
$$
である。1 つ目と 4 つ目は相対化の定義、2 つ目は $\varphi_j$ の絶対性（$x,\vec y\in M$）、3 つ目の右向きは $M\subset N$、左向きは 2 による。$\square$
この判定法は Kun80 Ch. IV Lemma 7.3（p. 136）で、モデル理論の初等部分構造の判定法（Tarski–Vaught の判定法）を、クラス $M\subset N$ と有限個の論理式の場合に述べたものである。
反映原理
Kun80 にならい、$V_\alpha$ の性質のうち実際に使うものだけを仮定した形で述べる。
クラス $Z$ と、各順序数 $\alpha$ に集合 $Z(\alpha)$ を対応させるクラス関数が、次を満たすとする。
(i) $\alpha<\beta$ ならば $Z(\alpha)\subset Z(\beta)$。
(ii) 極限順序数 $\gamma$ について $Z(\gamma)=\bigcup_{\alpha<\gamma}Z(\alpha)$。
(iii) $Z=\bigcup_{\alpha\in\mathrm{Ord}}Z(\alpha)$。
このとき、任意の論理式 $\varphi_1,\dots,\varphi_n$ について、ZF で次が証明できる。
- （非有界性）すべての順序数 $\alpha$ に対し、極限順序数 $\beta>\alpha$ で、$\varphi_1,\dots,\varphi_n$ がどれも $Z(\beta),Z$ の間で絶対的になるものがある。
- （閉性）$\varphi_1,\dots,\varphi_n$ が部分論理式で閉じているとき、それらが $Z(\beta),Z$ の間で絶対的になる $\beta$ のクラスを $C$ とすると、$C$ の元からなる空でない集合 $S$ の上限 $\sup S$ も $C$ に属する。
とくに $Z=V$、$Z(\alpha)=V_\alpha$ とすると、任意の論理式 $\varphi_1,\dots,\varphi_n$ について
$$ \mathrm{ZF}\vdash\forall\alpha\,\exists\beta>\alpha\ (\varphi_1,\dots,\varphi_n\ \text{はどれも}\ V_\beta\ \text{に対して絶対的}). $$
列を広げても主張は弱くならないので、$\varphi_1,\dots,\varphi_n$ は部分論理式で閉じているとしてよい。lem-refl-tv の 2 を $M=Z(\beta)$、$N=Z$ について満たす $\beta$ を作る。そのために、証人がどの段階で見つかるかを測る関数を作り、その値で閉じた段階を $\omega$ 回の反復で求める。
証人の段階 $\varphi_i$ が $\exists x\,\varphi_j(x,y_1,\dots,y_l)$ の形のとき、$y_1,\dots,y_l\in Z$ に対して、$\exists x\in Z\ \varphi_j^Z(x,\vec y)$ が成り立たなければ $G_i(\vec y):=0$、成り立てば、$\exists x\in Z(\eta)\ \varphi_j^Z(x,\vec y)$ となる最小の順序数 $\eta$ を $G_i(\vec y)$ とする（(iii) により、そのような $\eta$ がある）。さらに順序数 $\xi$ に対し
$$
F_i(\xi):=\sup\{G_i(\vec y)\mid y_1,\dots,y_l\in Z(\xi)\}
$$
とおく。$Z(\xi)$ は集合なので、置換公理により右辺の集合があり、上限がとれる。$\varphi_i$ が存在量化の形でないときは $F_i(\xi):=0$ とする。(i) により $\xi<\xi'$ なら $Z(\xi)\subset Z(\xi')$ なので、$F_i(\xi)\le F_i(\xi')$ である。
$\omega$ 回の反復 $\alpha$ を固定し、$\beta_0:=\alpha$、$\beta_{p+1}:=\max\{\beta_p+1,F_1(\beta_p),\dots,F_n(\beta_p)\}$ と再帰的に定め、$\beta:=\sup_{p\in\omega}\beta_p$ とおく。$\beta_0<\beta_1<\cdots$ なので、$\beta$ は $\alpha$ より大きい極限順序数である。
判定法の条件 $\varphi_i=\exists x\,\varphi_j(x,\vec y)$ とし、$y_1,\dots,y_l\in Z(\beta)$ が $\exists x\in Z\ \varphi_j^Z(x,\vec y)$ を満たすとする。(ii) により各 $y_k$ はある $Z(\beta_{p_k})$ に属し、(i) により $p:=\max_k p_k$ について $\vec y\in Z(\beta_p)$ である。$G_i(\vec y)\le F_i(\beta_p)\le\beta_{p+1}<\beta$ なので、$\exists x\in Z(G_i(\vec y))\ \varphi_j^Z(x,\vec y)$ の証人 $x$ は (i) により $Z(\beta)$ に属する。これは lem-refl-tv の 2 であり、1 が示された。
閉性 $S\subset C$ を空でない集合とし、$\lambda:=\sup S$ とする。$\lambda\in S$ なら明らかなので、$\lambda\notin S$ とすると $\lambda$ は極限順序数で、(ii) により $Z(\lambda)=\bigcup_{\beta\in S}Z(\beta)$ である。lem-refl-tv の 2 を $M=Z(\lambda)$ について確かめる。$\vec y\in Z(\lambda)$ とすると、(i) により $\vec y\in Z(\beta)$ となる $\beta\in S$ がある。$\exists x\in Z\ \varphi_j^Z(x,\vec y)$、すなわち $\varphi_i^Z(\vec y)$ なら、$\beta\in C$ から $\varphi_i^{Z(\beta)}(\vec y)$、すなわち $\exists x\in Z(\beta)\ \varphi_j^{Z(\beta)}(x,\vec y)$ であり、その $x$ について $\varphi_j$ の絶対性から $\varphi_j^Z(x,\vec y)$ である。$x\in Z(\beta)\subset Z(\lambda)$ なので条件が成り立ち、判定法により $\lambda\in C$ である。
最後の主張は、$Z(\alpha)=V_\alpha$ が (i)〜(iii) を満たすこと（設定の節）による。$\square$
非有界性の証明は Kun80 Ch. IV Theorem 7.4・7.5（pp. 136–137）の証明で、But21 Theorem 12.2・Lemma 12.3（pp. 169–172）も同じ方針で証明している。閉性の証明は、判定法の条件が上限で保たれることを使うこの記事の議論である。置換公理は $F_i$ を定めるところで、$\omega$ 回の反復の上限をとるところとともに本質的に使われる（ex-refl-counterexamples の 3 行目）。
論理式 $\varphi(x):=\exists y\ \forall z\,(z\in y\leftrightarrow z\subset x)$（「$x$ の冪集合がある」）を考える。$\varphi$ が $V_\beta$ に対して絶対的になる $\beta$ は、ちょうど $0$ と極限順序数である。
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$V$ では冪集合公理により $\varphi(x)$ はつねに成り立つ。$x\in V_\beta$ なら、$x$ の部分集合はすべて $V_\beta$ に属する（$x\subset V_\gamma$ となる $\gamma<\beta$ があり、$x$ の部分集合も $V_\gamma$ の部分集合で、$V_{\gamma+1}\subset V_\beta$ に属する。正則性公理 の補題「段階の中の元」）。$V_\beta$ は推移的なので、$y\in V_\beta$ について $\forall z\in V_\beta\,(z\in y\leftrightarrow z\subset x)$ は $y=\mathcal P(x)$ と同値である。よって $\varphi^{V_\beta}(x)$ は $\mathcal P(x)\in V_\beta$ と同値である。
$\beta=0$ なら $V_0$ に元がないので絶対性は自明である。$\beta$ が極限なら、$x\subset V_\gamma$（$\gamma<\beta$）から $\mathcal P(x)\subset V_{\gamma+1}$、$\mathcal P(x)\in V_{\gamma+2}\subset V_\beta$ なので絶対的である。$\beta=\gamma+1$ なら $x:=V_\gamma\in V_\beta$ について $\mathcal P(x)=V_{\gamma+1}=V_\beta\notin V_\beta$ なので、$\varphi^{V_\beta}(x)$ は偽で、絶対的でない。
この例では、反映する段階のクラスは極限順序数の全体（と $0$）で、確かに閉かつ非有界だが、すべての順序数ではない。より多くの論理式を同時に反映させると、条件を満たす $\beta$ はまばらになる。
帰結
ZF の有限部分のモデル
文 $\sigma$ について、$\sigma$ が $V_\beta$ に対して絶対的であることは $\sigma\leftrightarrow\sigma^{V_\beta}$ を意味する。したがって thm-refl-main を文に使うと、次が得られる。
$S$ を ZF を含む公理の集まり、$\sigma_1,\dots,\sigma_n$ を $S$ の公理とする。このとき
$$
S\vdash\forall\alpha\,\exists\beta>\alpha\ \bigl(\sigma_1^{V_\beta}\land\cdots\land\sigma_n^{V_\beta}\bigr).
$$
とくに ZFC は、ZFC のどの有限個の公理についても、それらを満たす推移的な集合 $V_\beta$ があることを証明する。
thm-refl-main を文 $\sigma_1,\dots,\sigma_n$ に使うと、$\mathrm{ZF}\vdash\forall\alpha\,\exists\beta>\alpha\,\bigwedge_i(\sigma_i\leftrightarrow\sigma_i^{V_\beta})$ である。$S$ は ZF を含み、各 $\sigma_i$ を証明するので、主張が従う。$\square$
選択公理を含む有限個の公理を満たす $V_\beta$ を得るには、$V$ で選択公理が成り立つこと、すなわち ZFC から議論する。ZF の中で反映原理が与えるのは、$V_\beta$ で選択公理が成り立つことと $V$ で成り立つことの同値までである（Kun80 p. 138）。
有限公理化できないこと
$S$ を ZF を含む公理の集まりとし、$\sigma_1,\dots,\sigma_n$ を $S$ の公理とする。$\sigma_1,\dots,\sigma_n$ から $S$ のすべての公理が証明できるならば、$S$ は矛盾する。とくに、ZF と ZFC は、無矛盾ならば、有限個の公理からなるどの体系とも同値でない。
$S$ の中で議論して矛盾を導く。$\sigma:=\sigma_1\land\cdots\land\sigma_n$ とおく。cor-refl-models により $\sigma^{V_\beta}$ となる $\beta>0$ があるので、そのような $\beta>0$ のうち最小のものを $\beta$ とする（$V_\beta$ は空でない）。$S$ の定理 $\exists\alpha>0\,\sigma^{V_\alpha}$ を $V_\beta$ に相対化したものが成り立つことを示し、$\beta$ の最小性に矛盾させる。
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$\sigma$ から $S$ のどの公理 $\tau$ も証明できるので、証明の相対化（絶対性(集合論) の節「定義」の最後の段落。相対化する集合が空でないことを使う）により $\sigma^{V_\beta}$ から $\tau^{V_\beta}$ が従う。すなわち $V_\beta$ は $S$ の各公理を満たす推移的な集合である。とくに $V_\beta$ は ZF の各公理を満たす推移的なモデルなので、$\alpha\in V_\beta$ について $V_\beta$ の中で計算した累積階層の段階は $V_\alpha\cap V_\beta$ に等しい（Kun80 Ch. IV Lemma 5.8(b)、p. 130。実際に使うのは、$\sigma$ から証明できる ZF の有限個の公理だけである）。$V_\alpha\subset V_\beta$ なので、これは $V_\alpha$ に等しい。
一方、$S$ は cor-refl-models の $\alpha=0$ の場合として $\exists\alpha>0\,\sigma^{V_\alpha}$ を証明し、これも $\sigma$ から証明できるので、相対化した $(\exists\alpha>0\,\sigma^{V_\alpha})^{V_\beta}$ が成り立つ。前段により、これは「$\sigma^{V_\alpha}$ となる $\alpha\in V_\beta$ で $\alpha>0$ のものがある」ことを意味する。$V_\beta$ に属する順序数はちょうど $\beta$ 未満の順序数なので（ZFC公理系 の累積階層の段落）、$0<\alpha<\beta$ で $\sigma^{V_\alpha}$ となり、$\beta$ の最小性に反する。$\square$
この定理と証明は Kun80 Ch. IV Corollary 7.7（p. 138）による。But21 Theorem 12.6（p. 174）は同じ結果を Montague（1961 年）に帰している。これに対し、クラスを対象に含む NBG 集合論は有限個の公理で書ける（NBG集合論）。
cor-refl-models の $V_\beta$ は集合なので、ZF の中で構造 $(V_\beta,\in)$ について「$\sigma_1\land\cdots\land\sigma_n$ が真である」ことを形式化でき、相対化による真偽と一致する（Kun80 Ch. IV Lemma 10.1、p. 144）。モデルをもつ文の集合は無矛盾であることも ZF の中で形式化できる（同頁の完全性定理の形式化）ので、ZF は、ZF の有限個の公理からなる各体系の無矛盾性を証明する（この形式化の細部はこの記事では証明しない）。他方、Gödelの不完全性定理 により、ZF は無矛盾ならば ZF 全体の無矛盾性を証明しない。これは thm-refl-not-finite の別の見方を与える。
可算な推移的モデル
選択公理のもとでは、反映させる集合を可算にとれる。任意の論理式 $\varphi_1,\dots,\varphi_n$ と集合 $X\subset V$ について、$X\subset A$、$|A|\le\max(\omega,|X|)$ で、$\varphi_1,\dots,\varphi_n$ が $A,V$ の間で絶対的になる集合 $A$ がある（Kun80 Ch. IV Theorem 7.8、p. 139。この記事では証明しない）。証明は、thm-refl-main で得た $V_\beta$ の中で、存在量化の証人を選ぶ関数で閉じた部分集合をとるもので、Löwenheim–Skolemの定理 の下向きの議論と同じである。$A$ は一般に推移的でないが、外延性の公理を反映させておけば Mostowskiの崩壊定理 で推移的な集合に同型に移せる。こうして、ZFC のどの有限個の公理にも可算な推移的モデルがあることが ZFC で証明でき、強制法による無矛盾性の証明の出発点になる。
置換公理との関係
反映原理の証明では、$F_i$ を定めるところと $\omega$ 回の反復の上限をとるところで置換公理を使った。逆に、置換公理を除いた体系 Z に、反映原理を弱めた形（任意の論理式 $\varphi$ について、$\varphi$ のパラメータを元にもつ推移的な集合 $S$ で $\varphi\leftrightarrow\varphi^S$ となるものがある）を加えると、置換公理の各例が証明できる（But21 Theorem 12.5、pp. 173–174。この記事では証明しない）。この意味で、Z の上で反映原理は置換公理と同値であり、ZF は「Z と反映原理」と言い換えられる（But21 §12.6、p. 170）。反映原理は「集合の階層は、どの一つの性質でもその高さを押さえられないほど高い」という考えを表しており、置換公理を正当化する一つの根拠とみなされている（同頁）。
反例：条件を外すと成り立たない
| 外す条件 | 反例 | 成り立たなくなること |
|---|---|---|
| 有限個の論理式（すべての公理を同時に反映させる） | ZF の全公理 | 「$V_\beta$ が ZF のすべての公理を満たす $\beta$ がある」は ZF で証明できない（ZF が無矛盾なら） |
| thm-refl-main の (ii)（極限での連続性） | $Z=V$、$Z(\alpha)=V_{\alpha+1}$ と ex-refl-powerset の $\varphi$ | 反映する $\beta$ が一つもない |
| 置換公理（Z で考える） | Z のモデル $V_{\omega+\omega}$ | Z は反映原理（の弱い形）を証明しない |
1 行目と 3 行目は引用による。2 行目は直接確かめる。
各行の確かめを開く
1 行目：そのような $\beta$ があれば、rem-refl-consistency と同じ議論で ZF の無矛盾性が ZF の中で示されてしまい、Gödelの不完全性定理 に反する（Kun80 Ch. IV §10、pp. 144–145）。有限個ずつなら反映できるが、それらを一つの $\beta$ にまとめることはできない。
2 行目：$Z(\alpha)=V_{\alpha+1}$ は (i) と (iii) を満たすが、極限順序数 $\gamma$ について $\bigcup_{\alpha<\gamma}V_{\alpha+1}=V_\gamma\ne V_{\gamma+1}$ なので (ii) を満たさない。どの $\beta$ についても $Z(\beta)=V_{\beta+1}$ は推移的で、$x\in V_{\beta+1}$ の部分集合は $V_\beta$ の部分集合なので $V_{\beta+1}$ に属する。したがって ex-refl-powerset と同じく、$\varphi^{Z(\beta)}(x)$ は $\mathcal P(x)\in V_{\beta+1}$ と同値である。$x:=V_\beta\in V_{\beta+1}$ をとると $\mathcal P(x)=V_{\beta+1}\notin V_{\beta+1}$ なので、$\varphi$ は $Z(\beta),V$ の間で絶対的でない。証明の中では、(ii) は $\omega$ 回の反復で得た段階が、それ以前の段階の和になることに使われていた。
3 行目：ZF の中で、$V_{\omega+\omega}$ は Z の各公理を満たすが、順序数 $\omega+\omega$ を元にもたない（But21 §12.2、p. 162）。一方、Z と反映原理の弱い形からは置換公理が証明でき（But21 Theorem 12.5、pp. 173–174）、ZF では $\omega+\omega$ が存在する。したがって反映原理の弱い形は $V_{\omega+\omega}$ で成り立たず、Z からは証明できない。
歴史
反映原理は Lévy（1960 年）と Montague（1961 年）による。Montague は ZF の中で反映原理を証明して ZF が有限公理化できないことを示し、Lévy は Z の上で反映原理から置換公理が従うことを示した（But21 pp. 170、172、174）。
Kripke–Platek集合論 の定理「$\Sigma$ 反映原理」は名前が似ているが別の原理で、KP の公理から、$\Sigma$ 論理式の真偽が一つの集合の中で確かめられることを述べる。この記事の反映原理は、ZF の置換公理を使って、任意の論理式を累積階層の段階に映す。
関連項目
- 前提: ZFC公理系, 絶対性(集合論), 正則性公理
- 比較: Kripke–Platek集合論, NBG集合論, Löwenheim–Skolemの定理
- 発展: 内部モデル, 到達不能基数, Mostowskiの崩壊定理
参考文献
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