半単純環

1：部分集合 $J\subset I$ で、和 $N+\sum_{j\in J}S_j$ が直和 $N\oplus\bigoplus_{j\in J}S_j$ となるもの全体を $\mathcal{F}$ とし、包含で順序を入れる。$\emptyset\in\mathcal{F}$ である。$\mathcal{F}$ の全順序部分集合の合併 $J_0$ も $\mathcal{F}$ に属する。実際、直和であることは有限個の元についての条件であり、$N$ と $S_j$（$j\in J_0$）の元の自明でない関係式に現れる有限個の添字は、全順序部分集合のある 1 つの元に含まれてしまう。Zornの補題により $\mathcal{F}$ の極大元 $J$ がある。$M':=N\oplus\bigoplus_{j\in J}S_j$ とおく。$i\in I$ について、$S_i\cap M'$ は単純加群 $S_i$ の部分加群なので $0$ か $S_i$ である。$0$ なら、$M'+S_i$ は直和 $M'\oplus S_i$ であり（$m'+s=0$、$m'\in M'$、$s\in S_i$ なら $s=-m'\in S_i\cap M'=0$）、$J\cup\{i\}\in\mathcal{F}$ となって $J$ の極大性に反する（$i\notin J$ である。$i\in J$ なら $S_i\subset M'$）。よってすべての $i$ で $S_i\subset M'$ であり、$M=\sum_iS_i\subset M'$、すなわち $M=M'$ である。
2：全射準同型 $\pi\colon M\to Q$ について $Q=\sum_i\pi(S_i)$ であり、$\pi|_{S_i}$ の核は $S_i$ の部分加群なので $0$ か $S_i$ である。したがって $\pi(S_i)$ は $S_i$ と同型な単純加群か $0$ であり、$Q$ は単純な部分加群の和である。部分加群 $N$ については、1 により $M=N\oplus C$（$C:=\bigoplus_{j\in J}S_j$）なので、射影 $M\to N$ は全射であり、$N$ は $M$ の商と同型である。よって $N$ も半単純である。$\square$

$n$ についての帰納法で示す。$n=0$ なら $M=0$ で真の包含はない。$n\ge1$ とし、$M':=S_1\oplus\cdots\oplus S_{n-1}$、$\pi\colon M\to S_n$ を射影とする。$N_{l-1}\subsetneq N_l$ なら、$N_{l-1}\cap M'\subsetneq N_l\cap M'$ または $\pi(N_{l-1})\subsetneq\pi(N_l)$ である。実際、両方が等号なら、$y\in N_l$ について $\pi(y)=\pi(x)$ となる $x\in N_{l-1}$ があり、$y-x\in N_l\cap M'=N_{l-1}\cap M'$ なので $y\in N_{l-1}$ となる。帰納法の仮定により $N_{l-1}\cap M'\subsetneq N_l\cap M'$ となる $l$ は $n-1$ 個以下であり、$\pi(N_l)$ は単純加群 $S_n$ の部分加群なので $0$ か $S_n$ で、真に増えるのは高々 1 回である。よって真の包含は $n$ 個以下である。減少列は番号を逆にすれば増加列になる。$\square$

$x\in I$ について $x=x\cdot1=xe+xf$ であり、$xe\in I$、$xf\in L$ である（$I,L$ は左イデアル）。$x=x+0$ も $I\oplus L$ での分解なので、分解の一意性から $xe=x$、$xf=0$ である。とくに $x=e$ として $e^2=e$ であり、$I=\{xe\mid x\in I\}\subset Re\subset I$ なので $I=Re$ である。$\square$

1 ⇒ 2：左 $R$ 加群 $M$ について、$M$ の元で添字づけた ${}_RR$ の直和 $F:=R^{(M)}$ から $M$ への準同型 $(r_m)_m\mapsto\sum_mr_mm$ は全射である。$R$ は極小左イデアルの和なので、$F$ はその各成分の極小左イデアルの和、すなわち単純な部分加群の和である。lem-semisimple-ring-complement の 2 により商 $M$ は半単純である。
2 ⇒ 3：lem-semisimple-ring-complement の 1 による。
3 ⇒ 4：$M={}_RR$ とすればよい。
4 ⇒ 1：$R$ のすべての極小左イデアルの和を $S$ とする。4 により $R=S\oplus L$ となる左イデアル $L$ がある。$L\neq0$ と仮定し、$0$ でない $x\in L$ をとる。$\operatorname{Ann}(x):=\{r\in R\mid rx=0\}$ は左イデアルで、$1\notin\operatorname{Ann}(x)$ である。$\operatorname{Ann}(x)$ を含む真の左イデアルの全順序部分集合の合併は $1$ を含まない左イデアルなので、Zornの補題により $\operatorname{Ann}(x)$ を含む極大左イデアル $\mathfrak{m}$ がある。$r\mapsto rx$ は同型 $R/\operatorname{Ann}(x)\cong Rx$ を与え、$N:=\mathfrak{m}x$ は $Rx$ の部分加群で $Rx/N\cong R/\mathfrak{m}$ は単純加群である（部分加群の対応による）。4 により $R=N\oplus N'$ となる左イデアル $N'$ がある。$y\in Rx$ を $y=n+n'$（$n\in N$、$n'\in N'$）と分解すると、$N\subset Rx$ なので $n'=y-n\in Rx$ であり、$Rx=N\oplus(N'\cap Rx)$ となる。よって $N'\cap Rx\cong Rx/N$ は単純であり、$L$ に含まれる極小左イデアルである。これは $S\cap L=0$ に反する。したがって $L=0$、$R=S$ であり、$R$ は半単純環である。$\square$

1：lem-semisimple-ring-complement の 1 により $R=\bigoplus_{i\in I}L_i$（$L_i$ は極小左イデアル）と書ける。$1=\sum_{j\in I_0}e_j$（$I_0\subset I$ は有限集合、$e_j\in L_j$）と書くと、任意の $r\in R$ について $r=r\cdot1=\sum_{j\in I_0}re_j\in\bigoplus_{j\in I_0}L_j$ である。$i\notin I_0$ なら $L_i\subset\bigoplus_{j\in I_0}L_j$ と直和であることから $L_i=0$ となるが、$L_i$ は単純なので $0$ でない。よって $I=I_0$ は有限である。
2：1 と lem-semisimple-ring-chain による。
3：$\mathfrak{m}_i:=\bigoplus_{j\neq i}L_j$ とおくと、$R/\mathfrak{m}_i\cong L_i$ は単純なので $\mathfrak{m}_i$ は極大左イデアルである。$\bigcap_{i=1}^n\mathfrak{m}_i=0$ なので $J(R)\subset\bigcap_i\mathfrak{m}_i=0$ である（$n=0$ なら $R=0$ で $J(R)=0$）。$\square$

半単純環が左 Artin環で $J(R)=0$ であることは prop-semisimple-ring-finite である。逆に $R$ を左 Artin環で $J(R)=0$ とする。$R=0$ なら半単純である。$R\neq0$ とし、極大左イデアル $\mathfrak{m}_1$ をとる。$\mathfrak{m}_1\cap\cdots\cap\mathfrak{m}_k\neq0$ である限り、$J(R)=0$ なのでこの共通部分を含まない極大左イデアル $\mathfrak{m}_{k+1}$ があり、$\mathfrak{m}_1\cap\cdots\cap\mathfrak{m}_{k+1}\subsetneq\mathfrak{m}_1\cap\cdots\cap\mathfrak{m}_k$ となる。左 Artin環ではこの真の減少列は無限に続かないので、ある $k$ で $\mathfrak{m}_1\cap\cdots\cap\mathfrak{m}_k=0$ となる。左 $R$ 加群の準同型
$$ R\longrightarrow R/\mathfrak{m}_1\oplus\cdots\oplus R/\mathfrak{m}_k,\qquad r\longmapsto(r+\mathfrak{m}_1,\dots,r+\mathfrak{m}_k) $$
の核は $\mathfrak{m}_1\cap\cdots\cap\mathfrak{m}_k=0$ なので、${}_RR$ は右辺の部分加群と同型である。右辺は単純加群 $R/\mathfrak{m}_i$ の直和なので半単純であり、lem-semisimple-ring-complement の 2 によりその部分加群も半単純である。よって $R$ は半単純環である。$\square$

体の有限直積が半単純環であることは ex-semisimple-ring-product の 2 である。逆に $A$ を可換な半単純環とする。thm-semisimple-ring-artinian により $A$ は Artin環で $\operatorname{Jac}(A)=0$ である。Artin環 の記事の命題「極大イデアルは有限個」により、$A$ の極大イデアルは有限個 $\mathfrak{m}_1,\dots,\mathfrak{m}_r$ であり、$\mathfrak{m}_1\cap\cdots\cap\mathfrak{m}_r=\operatorname{Jac}(A)=0$ である。相異なる極大イデアルは互いに素（$\mathfrak{m}_i+\mathfrak{m}_j=A$）なので、中国剰余定理により $A\cong A/\mathfrak{m}_1\times\cdots\times A/\mathfrak{m}_r$ であり、各 $A/\mathfrak{m}_i$ は体である。$A=0$ なら $r=0$ で空の直積（零環）である。$\square$

$R:=k[G]$、$n:=|G|$ とする。
標数が $n$ を割らない場合：thm-semisimple-ring-characterization の 4 ⇒ 1 により、$R$ の任意の左イデアル $I$ が直和因子であることを示せばよい。$I$ は $R$ の $k$ 部分空間なので、$k$ 線形写像 $p\colon R\to I$ で $I$ 上で恒等写像になるものがある（$I$ の基底を $R$ の基底に延長し、延ばした基底ベクトルを $0$ に送る。$R$ は有限次元）。$n$ は $k$ で可逆なので
$$ q(x):=\frac1n\sum_{g\in G}g\,p(g^{-1}x)\qquad(x\in R) $$
とおける。$q$ は $k$ 線形で、$I$ は左イデアルなので $q(R)\subset I$ である。$x\in I$ なら $g^{-1}x\in I$ なので $p(g^{-1}x)=g^{-1}x$ となり、$q(x)=\frac1n\sum_gx=x$ である。$h\in G$ について、$g=hg'$ と置き換えると
$$ q(hx)=\frac1n\sum_{g\in G}g\,p(g^{-1}hx)=\frac1n\sum_{g'\in G}hg'\,p(g'^{-1}x)=h\,q(x) $$
なので、$q$ は $k$ 線形性と合わせて左 $R$ 加群の準同型である。$L:=\ker q$ は左イデアルであり、$x=q(x)+(x-q(x))$、$q(x-q(x))=q(x)-q(x)=0$（$q(x)\in I$ なので $q(q(x))=q(x)$）から $R=I+L$、$y\in I\cap L$ なら $y=q(y)=0$ から $I\cap L=0$ である。よって $R=I\oplus L$ である。
標数が $n$ を割る場合：$N:=\sum_{g\in G}g\in R$ とおく。$h\in G$ について $hN=N=Nh$ なので、$I:=kN$ は $R$ の両側イデアルで、$N\neq0$ なので $I\neq0$ である。$N^2=\sum_{h\in G}hN=nN=0$ なので、$I$ の任意の 2 元の積は $0$ である。$R$ が半単純環なら、thm-semisimple-ring-characterization の 4 と lem-semisimple-ring-idempotent により $I=Re$、$e^2=e\in I$ となる $e$ があるが、$e=e^2\in I\cdot I=0$ なので $I=R\cdot0=0$ となり矛盾する。よって $R$ は半単純環でない。$\square$