Ricci流

Koszul の公式は計量について 1 次斉次なので、$cg$ の Levi-Civita 接続は $g$ のものと同じである。曲率 $R(X,Y)Z$ は接続だけで決まり、Ricci テンソルはその跡なので変わらない。スカラー曲率は逆行列 $(cg)^{-1}=c^{-1}g^{-1}$ で縮約するので $c^{-1}$ 倍になる（スカラー曲率 の命題「計量の定数倍」）。$\square$

1：$\varphi$ は $(N,\varphi^*g)$ から $(M,g)$ への等長写像なので、曲率は引き戻しで移り $\operatorname{Ric}(\varphi^*g)=\varphi^*\operatorname{Ric}(g)$ である。$\varphi$ は $t$ によらないので $\partial_t\varphi^*g(t)=\varphi^*\partial_tg(t)=-2\varphi^*\operatorname{Ric}(g(t))=-2\operatorname{Ric}(\varphi^*g(t))$ である。

2：連鎖律により $\partial_t\tilde g(t)=\lambda\cdot\lambda^{-1}(\partial_tg)(s+t/\lambda)=-2\operatorname{Ric}(g(s+t/\lambda))$ で、lem-rf-scale-ricci によりこれは $-2\operatorname{Ric}(\tilde g(t))$ に等しい。

3：Ricciテンソル の命題「積多様体のリッチテンソル」により $\operatorname{Ric}(g_1\oplus g_2)=\mathrm{pr}_1^*\operatorname{Ric}(g_1)+\mathrm{pr}_2^*\operatorname{Ric}(g_2)$ なので、両辺を成分ごとに比べればよい。$\square$

lem-rf-scale-ricci により $\operatorname{Ric}(u(t)g_0)=\operatorname{Ric}(g_0)=\lambda g_0$ なので、Ricci 流の方程式は $u'(t)g_0=-2\lambda g_0$、すなわち $u'=-2\lambda$ と同値である。$u(0)=1$ の下でこれは $u(t)=1-2\lambda t$ と同値である。$\square$

$M$ はコンパクトなので流れ $\varphi_t$ は区間の全体で定義される。時間に依存するベクトル場 $Y_t$ の流れについて $\partial_t\varphi_t^*g_0=\varphi_t^*(\mathcal{L}_{Y_t}g_0)$ が成り立つ（$\varphi_{t+h}=\psi_h\circ\varphi_t$ とおくと $\psi_h$ の $h=0$ での速度は $Y_t$ なので、Lie微分 の定義の計算が各時刻で通る）。$Y_t=X/\sigma(t)$ と $\sigma'=-2\lambda$ から$$\partial_tg(t)=\sigma'\varphi_t^*g_0+\sigma\varphi_t^*(\sigma^{-1}\mathcal{L}_Xg_0)=\varphi_t^*(-2\lambda g_0+\mathcal{L}_Xg_0)=\varphi_t^*(-2\operatorname{Ric}(g_0))$$である。prop-rf-symmetry の証明の 1 により $\varphi_t^*\operatorname{Ric}(g_0)=\operatorname{Ric}(\varphi_t^*g_0)$ で、lem-rf-scale-ricci によりこれは $\operatorname{Ric}(\sigma\varphi_t^*g_0)=\operatorname{Ric}(g(t))$ に等しい（MT07 Claim 3.7、p. 66 と同じ計算）。$\square$

局所座標で $dV=\sqrt{\det(g_{ij})}\,dx^1\cdots dx^n$ である。可逆行列の族について $\partial_t\log\det(g_{ij})=g^{ij}\partial_tg_{ij}$ なので、$\partial_t\log\det(g_{ij})=g^{ij}(-2R_{ij})=-2R$、すなわち $\partial_t\sqrt{\det(g_{ij})}=-R\sqrt{\det(g_{ij})}$ である。$M$ がコンパクトなら被積分関数は $(x,t)$ について滑らかなので、1 の分割で座標近傍の積分に分けて積分記号の下で微分できる。$\square$

$x_0$ のまわりの局所座標で、$x_0$ は内部の極小点なので $\partial_kf(x_0)=0$ で、行列 $H=(\partial_i\partial_jf(x_0))$ は半正定値である。$G=(g^{ij}(x_0))$ は正定値なので $G=P^{\mathsf T}P$ と書け、$\Delta f(x_0)=\operatorname{tr}(GH)=\operatorname{tr}(PHP^{\mathsf T})\ge0$ である（$PHP^{\mathsf T}$ は半正定値）。$\square$

$t_1< \min(T,T')$ を固定し、$M\times[0,t_1]$ で考える。$w:=u-\varphi$ とおく。平均値の定理の形 $F(u)-F(\varphi)=c\,w$、$c(x,t):=\int_0^1F'(\varphi+sw)\,ds$ により $\partial_tw\ge\Delta w+c\,w$ で、$c$ は連続である。コンパクト集合 $M\times[0,t_1]$ の上で $\lvert c\rvert\le K$ となる $K>0$ をとる。

$\varepsilon>0$ について $v:=w+\varepsilon e^{2Kt}$ とおく。$m(t):=\min_{x\in M}v(x,t)$ は（$v$ が一様連続なので）連続で、$m(0)\ge\varepsilon>0$ である。$m$ が $[0,t_1]$ のどこかで $0$ 以下になるとし、そのような時刻の最小値を $t_0$ とすると、$t_0>0$、$m(t_0)=0$ で、$t\in[0,t_0)$ では $m(t)>0$ である。$m(t_0)=v(x_0,t_0)$ となる $x_0$ をとると、$t\uparrow t_0$ で $v(x_0,t)>0=v(x_0,t_0)$ なので $\partial_tv(x_0,t_0)\le0$ である。

一方、$x_0$ は $v(\cdot,t_0)$ の、したがって（定数の差しかない）$w(\cdot,t_0)$ の最小点なので、lem-rf-laplacian-min により $\Delta w(x_0,t_0)\ge0$ である。また $(x_0,t_0)$ で $w=-\varepsilon e^{2Kt_0}$ なので $c\,w\ge-K\varepsilon e^{2Kt_0}$ である。よって $(x_0,t_0)$ で$$\partial_tv=\partial_tw+2K\varepsilon e^{2Kt_0}\ge\Delta w+c\,w+2K\varepsilon e^{2Kt_0}\ge K\varepsilon e^{2Kt_0}>0$$となり、矛盾する。したがって $M\times[0,t_1]$ の上で $w>-\varepsilon e^{2Kt}$ である。$\varepsilon\to0$ として $w\ge0$ を得る。$t_1$ は任意なので結論が従う。$\square$

各点で Ricci 作用素は対称なので正規直交基底で対角化でき、固有値を $\lambda_1,\dots,\lambda_n$ とすると $R=\sum_i\lambda_i$、$\lvert\operatorname{Ric}\rvert^2=\sum_i\lambda_i^2$ である。Cauchy–Schwarz の不等式により $R^2\le n\sum_i\lambda_i^2$、すなわち $\lvert\operatorname{Ric}\rvert^2\ge R^2/n$ である。よってスカラー曲率の発展方程式から $\partial_tR\ge\Delta R+F(R)$、$F(r):=\frac2nr^2$ である。

1：$\varphi(t):=a/(1-\frac{2a}{n}t)$ は $\varphi(0)=a$、$\varphi'=\frac{2a^2/n}{(1-2at/n)^2}=\frac2n\varphi^2$ を満たし、$a>0$ なら $[0,\frac n{2a})$ の上で、$a\le0$ なら $[0,\infty)$ の上で定義される。$R(\cdot,0)\ge a=\varphi(0)$ なので、lem-rf-comparison から 1 が従う。

2：$0\le s< T$ を固定する。prop-rf-symmetry の 2（$\lambda=1$）により $g(s+t)$（$t\in[0,T-s)$）も Ricci 流なので、1 をこれに当てると、$b:=R_{\min}(s)$ について $t\ge s$ で $R(\cdot,t)\ge b/(1-\frac{2b}{n}(t-s))$ である。ここで $b>0$ のときは、1 だけから従う 3 を $g(s+t)$ に当てると $T-s\le\frac n{2b}$ なので、右辺は $t\in[s,T)$ のすべてで定義される。$b>0$ なら分母は $(0,1]$ にあり右辺は $b$ 以上、$b=0$ なら右辺は $0$、$b< 0$ なら分母は $1$ 以上で右辺は $b$ 以上である。よって $R_{\min}(t)\ge R_{\min}(s)$ である。

3：$a>0$ で $T>\frac n{2a}$ とすると、$R$ はコンパクト集合 $M\times[0,\frac n{2a}]$ の上で連続なので有界である。一方 1 により $t\uparrow\frac n{2a}$ で $R_{\min}(t)\ge\varphi(t)\to\infty$ となり、矛盾する。$\square$

1：点 $x$ と局所座標を固定すると、各成分は $\partial_tg_{ij}(x,t)=-2K(x,t)g_{ij}(x,t)$ という $t$ についての線形の常微分方程式を満たす。右辺の $h_{ij}(t):=\exp(-2\int_0^tK(x,s)ds)\,g_{ij}(x,0)$ も同じ方程式と同じ初期値をもつので、解の一意性から一致する。

2：prop-rf-volume と $R=2K$ により $A'(t)=-2\int_MK\,dA_{g(t)}$ である。各 $g(t)$ は同じ向き付けられた閉曲面の上の計量なので、Gauss–Bonnetの定理 の定理「Gauss–Bonnet の定理（境界なし）」により $\int_MK\,dA_{g(t)}=2\pi\chi$ で、$A'(t)=-4\pi\chi$ である。積分して 2 を得る。

3：$t\in[0,T)$ で $A(t)>0$ なので、2 から $T\le A(0)/(4\pi\chi)$ である。$\chi=2$ は種数 $0$ の場合である。$\square$