Mahlo基数

1. 閉であること：極限順序数 $\gamma<\kappa$ で $L_\kappa\cap\gamma$ が $\gamma$ で非有界なら、$\gamma$ は基数の上限なので基数であり、基数 $\mu<\gamma$ に対して $\mu<\nu<\gamma$ となる極限基数 $\nu$ があるから $\mu^+\leq\nu<\gamma$ である。よって $\gamma$ は非可算な極限基数である。非有界であること：$\beta<\kappa$ に対し、$\mu_0=\max(|\beta|,\aleph_0)^+$、$\mu_{n+1}=\mu_n^+$ とおくと、$\kappa$ が極限基数なので $\mu_n<\kappa$ であり、$\kappa$ の共終数は $\omega$ より大きいので $\nu=\sup_n\mu_n<\kappa$ である。$\nu$ は非可算な極限基数で $\beta<\nu$ である。
2. 強極限基数 の記事の命題「到達不能基数の下の club」による（$\omega$ を除いても閉非有界性は変わらない）。$\square$

1⇒2。 $\kappa$ は到達不能なので非可算な正則基数である。$\kappa$ は強極限なので極限基数でもあり、lem-mc-clubs の $L'_\kappa$ が使える。$C$ を $\kappa$ の任意の閉非有界集合とする。$C\cap L'_\kappa$ は閉非有界集合なので、定常集合 $R_\kappa$ の元 $\lambda$ を含む。$\lambda$ は非可算な正則基数で強極限基数なので到達不能であり、$\lambda\in C\cap I_\kappa$ である。よって $I_\kappa$ は定常である。
2⇒3。 到達不能基数は正則基数なので $I_\kappa\subseteq R_\kappa$ であり、$R_\kappa$ も定常である。よって $\kappa$ は弱Mahlo基数である。強極限性を示す。$\lambda<\kappa$ とする。$\{\gamma:\lambda<\gamma<\kappa\}$ は閉非有界集合なので、到達不能基数 $\mu$ で $\lambda<\mu<\kappa$ となるものがある。$\mu$ は強極限なので $2^\lambda<\mu<\kappa$ である。
3⇒1。 非可算な正則基数で強極限基数であるものは到達不能であり、$R_\kappa$ は定常なので、$\kappa$ は Mahlo 基数である。$\square$

$\kappa=\lambda^+$ が後続基数なら、$\{\gamma:\lambda<\gamma<\kappa\}$ は基数を含まない閉非有界集合なので、$R_\kappa$ は定常でない。よって弱Mahlo基数は極限基数である。一般連続体仮説のもとでは、$\lambda<\kappa$ について $2^\lambda=\lambda^+<\kappa$ となるので $\kappa$ は強極限であり、thm-mc-equivalent の 3 から $\kappa$ は Mahlo 基数である。逆に Mahlo 基数は弱Mahlo基数である。$\square$

極限順序数 $\gamma$ について $X\cap\gamma=\bigcup_{\alpha<\gamma}(X\cap\alpha)$ は始切片の増大和なので、$\operatorname{otp}(X\cap\gamma)=\sup_{\alpha<\gamma}\operatorname{otp}(X\cap\alpha)$ である。また常に $\operatorname{otp}(X\cap\alpha)\leq\alpha$ である。
閉であること：極限順序数 $\gamma<\kappa$ で $F_X\cap\gamma$ が $\gamma$ で非有界なら、$\operatorname{otp}(X\cap\gamma)\geq\sup_{\alpha\in F_X\cap\gamma}\alpha=\gamma$ なので $\gamma\in F_X$ である。
非有界であること：$X$ を小さい順に $x_\xi$（$\xi<\kappa$）と並べる。$\beta<\kappa$ に対し $\beta_0=\beta$、$\beta_{n+1}=x_{\beta_n}+1$ とおく。$\xi\leq\beta_n$ なら $x_\xi\leq x_{\beta_n}<\beta_{n+1}$ なので $\operatorname{otp}(X\cap\beta_{n+1})>\beta_n$ であり、特に $\beta_n<\beta_{n+1}$ である。$\kappa$ の共終数は $\omega$ より大きいので $\gamma=\sup_n\beta_n<\kappa$ であり、$\operatorname{otp}(X\cap\gamma)\geq\sup_n\beta_n=\gamma$ となって $\gamma\in F_X$、$\gamma\geq\beta$ である。
極限点の集合については、閉であることは定義から分かる。$\beta<\kappa$ に対し、$X$ の元 $y_0< y_1<\cdots$ を $\beta< y_0$ となるように取れば、$\sup_ny_n<\kappa$ は $\beta$ より大きい極限点である。$\square$

1. $I_\kappa$ が定常であることは thm-mc-equivalent の 1⇒2 である。定常集合は非有界であり、$\kappa$ は正則なので $|I_\kappa|=\kappa$ である。$I_\kappa$ は $\kappa$ の部分集合なので順序型は $\kappa$ 以下で、濃度 $\kappa$ なので順序型は $\kappa$ に等しい。
2. 1 と lem-mc-fixed より $F_{I_\kappa}$ は閉非有界集合である。定常集合 $I_\kappa$ と閉非有界集合の共通部分なので、$J_\kappa$ は定常である。$\square$

存在：$\mu$ を Mahlo 基数とする。thm-mc-inaccessibles の 2 から $J_\mu$ は空でないので、3 の性質をもつ基数がある。3 の性質をもつ $\alpha$ について $\operatorname{otp}(I_\alpha)=\alpha$ は極限順序数なので $I_\alpha$ は $\alpha$ で非有界であり、2 の性質ももつ。2 の性質をもつ基数の下には到達不能基数がある。よって $\kappa_1<\kappa_2\leq\kappa_3$ がすべて存在する。
Mahlo でないこと：thm-mc-equivalent により、各 $\kappa_i$ について $I_{\kappa_i}$ と交わらない閉非有界集合を作ればよい。

1. $I_{\kappa_1}=\emptyset$ なので定常でない。
2. $I_{\kappa_2}$ は $\kappa_2$ で非有界なので、$\kappa_2$ の正則性から濃度 $\kappa_2$ で、順序型も $\kappa_2$ である。$D$ を $I_{\kappa_2}$ の $\kappa_2$ 未満の極限点全体とすると、lem-mc-fixed より $D$ は閉非有界集合である。$\alpha\in D\cap I_{\kappa_2}$ があれば、$\alpha$ は $I_\alpha$ が非有界な到達不能基数で $\alpha<\kappa_2$ となり、$\kappa_2$ の最小性に反する。よって $D\cap I_{\kappa_2}=\emptyset$ である。
3. lem-mc-fixed より $F=F_{I_{\kappa_3}}$ は $\kappa_3$ の閉非有界集合である。$\alpha\in F\cap I_{\kappa_3}$ があれば、$\operatorname{otp}(I_\alpha)=\operatorname{otp}(I_{\kappa_3}\cap\alpha)=\alpha$ となる到達不能基数 $\alpha<\kappa_3$ があることになり、$\kappa_3$ の最小性に反する。よって $F\cap I_{\kappa_3}=\emptyset$ である。$\square$

$\alpha<\kappa$ なら $\alpha$ の部分集合、$\alpha$ 未満の順序数の冪集合、それらの間の写像はすべて階数が $\kappa$ 未満なので $V_\kappa$ に属する。$\lambda$ の正則性（$\lambda$ 未満の長さの非有界列の有無）、$2^\lambda<\alpha$（$\mathcal P(\lambda)$ から $\alpha$ 未満の順序数への全単射の有無）、$\alpha$ の部分集合が閉非有界・定常であることは、いずれもこれらの集合の間の関係として書ける。$V_\kappa$ は推移的でこれらの集合をすべて含むので、判定は一致する。$\square$