Mahlo基数
概要
Mahlo基数（Mahlo cardinal）とは、到達不能基数のうち、その下にある正則基数全体が定常集合をなすものをいう。定常性は、正則基数が任意の閉非有界集合と交わるという条件で、単に非有界に存在することより強い。Mahlo基数の下にある到達不能基数も定常集合をなす。
Mahlo基数とは
Mahlo基数（Mahlo cardinal、マーロ基数）とは、到達不能基数のうち、その下にある正則基数の集合が定常となる基数である。これは「小さい正則基数がいくらでもある」より強く、正則基数がどの閉非有界集合とも交わることを要求する（Jec03 Chapter 8, “Mahlo Cardinals”）。
定義
以下では ZFC を前提とする。$\kappa$ を非可算な到達不能基数とし、
$$ R_\kappa=\{\alpha<\kappa:\alpha\text{ は正則基数}\} $$
とおく。ここで基数 $\alpha$ が正則であるとは、その共終数が $\alpha$ に等しいことである。
$R_\kappa$ が $\kappa$ の定常部分集合であるとき、$\kappa$ を Mahlo基数という。
集合 $S\subseteq\kappa$ が定常であるとは、$\kappa$ の任意の閉非有界集合 $C$ に対し $S\cap C\ne\varnothing$ となることである。「閉」は、$\kappa$ 未満の極限点を含むことをいう。従って Mahlo 性は
$$ \forall C\subseteq\kappa\, \bigl(C\text{ が閉非有界}\Longrightarrow \exists\alpha\in C\;(\alpha\text{ は正則基数})\bigr) $$
とも表せる。
定常性が必要な理由
定常集合は非有界だが、非有界集合が必ず定常とは限らない。たとえば $\kappa$ が到達不能基数なら、$\kappa$ 未満の後続基数は非有界であり、すべて正則である。しかし、$\kappa$ 未満の極限基数全体は閉非有界なので、後続基数の集合とは交わらない。したがって、後続基数がいくらでも存在するという事実だけから Mahlo 性は出ない。
むしろ Mahlo 性は、正則基数が極限基数からなる閉非有界集合とも交わることを要求する。到達不能基数 $\kappa$ の下では、強極限基数の集合も閉非有界である。そのため次の性質が従う（Jec03 Chapter 8, p. 95）。
$\kappa$ が Mahlo基数なら、$\kappa$ 未満の到達不能基数全体も $\kappa$ で定常である。
実際、任意の閉非有界集合を強極限基数からなる閉非有界集合と交わらせる。Mahlo 性により、その共通部分に正則基数がある。そこに得られる正則な強極限基数は到達不能である。特に Mahlo基数の下には到達不能基数が非有界に存在し、Mahlo 性は到達不能性より強い条件である。
注意
- 「正則基数が非有界に多い」と「正則基数が定常に多い」は異なる。後者はすべての閉非有界集合との交わりを要求する。
- 本項の定義には $\kappa$ 自身が到達不能であるという条件を含める。強極限性を $\kappa$ に課さない類似の概念は弱 Mahlo基数と呼ばれる（Jec03 Chapter 8, p. 96）。
関連項目
参考文献
Mathpediaは寄付と、参考文献の書籍リンク（Amazonアソシエイト）の紹介料で運営されています。 支援について ／ 寄付する
