Tate–Shafarevich群

$\mathbb Q$ 上の曲線
$$ C\colon\ 2y^2=x^4-17 $$
（の滑らかな射影モデル）は、$\mathbb R$ とすべての $\mathbb Q_p$ の上で点をもつが、$\mathbb Q$ 上の点をもたない。$C$ は種数 1 の曲線で、その Jacobi多様体は楕円曲線 $E\colon y^2=x^3+17x$ であり、$C$ は $E$ の主等質空間として $Ш(E/\mathbb Q)$ の位数 2 の元を表す（Sil09 第 X 章 §6。Lind（1940 年）と Reichardt（1942 年）による）。
満たす性質：すべての完備化の上で点をもつ。満たさない性質：$\mathbb Q$ 上の点をもたない。破る含意：「局所的に点をもてば大域的に点をもつ」（種数 1 の曲線についての Hasse 原理）。
局所点の存在の証明。$x$ を $\mathbb R$ で十分大きくとれば $y$ が取れる。$p=2$ では $x=11$ とすると $x^4-17=14624=2\cdot16\cdot457$ で、$457\equiv1\pmod 8$ だから $457$ は $\mathbb Z_2$ で平方であり（Henselの補題）、$y=4\sqrt{457}\in\mathbb Z_2$ が取れる。$p=17$ では無限遠の座標 $x'=1/x$、$y'=y/x^2$ を使うと $C$ は $2y'^2=1-17x'^4$ と書け、$x'=0$ とすると $y'^2=1/2$ となる。$6^2=36\equiv2\pmod{17}$ だから $2$ は $\mathbb Z_{17}$ で平方であり、$y'\in\mathbb Z_{17}$ が取れる。$p\nmid 34$ では、$x^4-17$ の判別式 $-2^8\cdot17^3$ と $2$ が $p$ で単元だから、$C$ の射影モデルは $\mathbb Z_p$ 上滑らかで、その特殊ファイバーは $\mathbb F_p$ 上の種数 1 の滑らかな射影曲線である。有限体上の種数 1 の滑らかな射影曲線は有理点をもつ（Lang の定理、Ser97 第 III 章 §2）ので、それを Hensel の補題で $\mathbb Z_p$ 点に持ち上げればよい。
$\mathbb Q$ 上の点が無いことの証明。無限遠の 2 点は $2y'^2=1$ を満たすので $\mathbb Q$ 有理点ではない。$(x,y)\in C(\mathbb Q)$ があったとして矛盾を導く。$x=a/c$（$a,c\in\mathbb Z$、$\gcd(a,c)=1$、$c\ge1$）と書くと $2(yc^2)^2=a^4-17c^4\in\mathbb Z$ である。$yc^2=b/d$ を既約分数とすると $2b^2=d^2(a^4-17c^4)$ から $d^2\mid2$、よって $d=1$ で、$b\in\mathbb Z$ が
$$ 2b^2=a^4-17c^4 $$
を満たす。

1. $17\nmid a$ かつ $17\nmid b$ である。$17\mid b$ なら $17\mid a^4$、よって $17\mid a$ で、$17^2\mid 2b^2$ かつ $17^4\mid a^4$ から $17^2\mid17c^4$、すなわち $17\mid c$ となり $\gcd(a,c)=1$ に反する。$17\mid a$ なら $17\mid2b^2$ から $17\mid b$ となり、同じ矛盾に帰着する。
2. $b$ を割る奇素数 $p$ はすべて $17$ を法とする平方剰余である。実際 $p\mid b$ なら $a^4\equiv17c^4\pmod p$ である。$p\mid c$ なら $p\mid a$ となって矛盾するので $c$ は $p$ を法として可逆で、$17\equiv(a/c)^4\pmod p$ は $p$ を法とする $0$ でない平方である（$p\ne17$）。$17\equiv1\pmod4$ だから平方剰余の相互法則により $\bigl(\tfrac{p}{17}\bigr)=\bigl(\tfrac{17}{p}\bigr)=1$ である。
3. $\bigl(\tfrac{-1}{17}\bigr)=1$（$17\equiv1\pmod4$）、$\bigl(\tfrac{2}{17}\bigr)=1$（$6^2\equiv2$）だから、2 と合わせて $b=\pm2^k\prod p_i^{e_i}$ は $17$ を法とする $0$ でない平方である。$b\equiv w^2\pmod{17}$、$w\not\equiv0$ と書く。
4. $a^4\equiv2b^2\equiv2w^4\pmod{17}$ だから、$2\equiv(a/w)^4$ は $17$ を法とする 4 乗である。しかし $\mathbb F_{17}^\times$ は位数 16 の巡回群で、4 乗の全体は位数 4 の部分群 $\{1,\,2^4,\,3^4,\,6^4\}=\{1,16,13,4\}$ であり、$2$ を含まない。これは矛盾である。

Selmer は、平面 3 次曲線 $3x^3+4y^3+5z^3=0$ がすべての $\mathbb Q_p$ と $\mathbb R$ の上で点をもつのに $\mathbb Q$ 上の点をもたないことを示した（Sel51）。この曲線は種数 1 で、そのヤコビアンは $x^3+y^3+60z^3=0$ で定まる楕円曲線 $E$ であり、$Ш(E/\mathbb Q)$ の位数 3 の元を表す。この例と ex-sha-lind-reichardt が、Tate–Shafarevich 群が自明でないことを示す最初の例である。

$E$ を $\mathbb Q$ 上の楕円曲線とし、$L(E,s)$ をその L関数とする。$L(E,s)$ の $s=1$ での零の位数が 1 以下なら、$Ш(E/\mathbb Q)$ は有限である（Kolyvagin、Kol88。虚数乗法をもつ $E$ については Rubin、Rub87）。たとえば $L(E,1)\ne0$ なら $E(\mathbb Q)$ も有限で、このとき Birch–Swinnerton-Dyer予想の公式は $\#Ш(E/\mathbb Q)$ を $L(E,1)$ と $E$ の局所不変量で表す。零の位数が 2 以上の楕円曲線については、$Ш(E/\mathbb Q)$ が有限であることは 1 つの例についても証明されていない（本記事の執筆時点、2026 年）。

Tate–Shafarevich 群の定義では、すべての素点での制限を取る必要がある。$G_{\mathbb Q}$ 加群 $M=\mu_8$（1 の 8 乗根）について、$16\in\mathbb Q^\times$ は $\mathbb R$ とすべての奇素数 $p$ について $\mathbb Q_p$ で 8 乗であるが、$\mathbb Q_2$ でも $\mathbb Q$ でも 8 乗ではない。
証明。恒等式 $x^8-16=(x^2-2)(x^2+2)(x^2-2x+2)(x^2+2x+2)$ が成り立つ（$(x^2-2)(x^2+2)=x^4-4$、$(x^2-2x+2)(x^2+2x+2)=(x^2+2)^2-4x^2=x^4+4$）。$\mathbb R$ では $x=\sqrt2$ が根である。奇素数 $p$ について、Legendre記号の積 $\bigl(\tfrac{2}{p}\bigr)\bigl(\tfrac{-2}{p}\bigr)\bigl(\tfrac{-1}{p}\bigr)=\bigl(\tfrac{2}{p}\bigr)^2\bigl(\tfrac{-1}{p}\bigr)^2=1$ だから、$2,-2,-1$ のうち少なくとも 1 つは $p$ を法とする平方である。$2\equiv u^2$ なら $x^2-2$ は $\mathbb F_p$ 上で単根 $u$ をもち（導関数 $2u\ne0$）、$-2\equiv u^2$ なら $x^2+2$ が、$-1\equiv i^2$ なら $x^2-2x+2=(x-1)^2+1$ が単根 $1+i$（導関数 $2i\ne0$）をもつ。いずれも Hensel の補題により $\mathbb Z_p$ の根に持ち上がるので、$16$ は $\mathbb Q_p$ で 8 乗である。一方 $\alpha^8=16$ となる $\alpha\in\mathbb Q_2$ があれば $8v_2(\alpha)=4$ となって矛盾するので、$16$ は $\mathbb Q_2$ で 8 乗ではなく、したがって $\mathbb Q$ でも 8 乗ではない。
Kummer完全列の Galois コホモロジー版により $H^1(k,\mu_8)\cong k^\times/k^{\times8}$（$k=\mathbb Q,\mathbb Q_v$。Galoisコホモロジーの記事の命題）であり、この同型は連結準同型で与えられ、制限写像は連結準同型と可換だから、制限写像はこの同型のもとで自然な写像 $\mathbb Q^\times/\mathbb Q^{\times8}\to\mathbb Q_v^\times/\mathbb Q_v^{\times8}$ に対応する（Ser97 第 I 章 §2）。よって $16$ の類 $[16]\in H^1(\mathbb Q,\mu_8)$ は $0$ でなく、$v\ne2$ のすべての素点で $\mathrm{res}_v[16]=0$ だが $\mathrm{res}_2[16]\ne0$ である。
満たす性質：素点 $2$ を除くすべての素点で局所的に自明である。満たさない性質：$Ш^1(\mathbb Q,\mu_8)$ に属さない。破る含意：「有限個の素点を除いた制限写像の核は $Ш^1$ に等しい」。この現象は Grunwald–Wang の定理の例外（$2$ と $8$ 乗の場合）に当たる（AT68 第 X 章）。