穴あきアフィン平面

素イデアル $\mathfrak{p}$ が $x$ と $y$ をともに含めば $\mathfrak{o}\subset\mathfrak{p}$ であり、$\mathfrak{o}$ は極大なので $\mathfrak{p}=\mathfrak{o}$ である。よって $\mathfrak{p}\ne\mathfrak{o}$ であることは、$x\notin\mathfrak{p}$ または $y\notin\mathfrak{p}$ であることと同値であり、$U=D(x)\cup D(y)$ である。素イデアルについて $xy\notin\mathfrak{p}$ は $x\notin\mathfrak{p}$ かつ $y\notin\mathfrak{p}$ と同値なので $D(x)\cap D(y)=D(xy)$ である。最後の主張は アフィンスキーム の記事の命題「基本開集合はアフィン」による。$\square$

prop-punctured-affine-plane-cover の被覆 $U=D(x)\cup D(y)$ に 層コホモロジー の記事の命題「Mayer–Vietoris完全列」を $\mathcal{F}=\mathcal{O}_U$ で使うと、完全列
$$ 0\to\Gamma(U,\mathcal{O}_U)\xrightarrow{\ \rho\ }\Gamma(D(x),\mathcal{O})\oplus\Gamma(D(y),\mathcal{O})\xrightarrow{\ \sigma\ }\Gamma(D(xy),\mathcal{O})\to H^1(U,\mathcal{O}_U)\to H^1(D(x),\mathcal{O})\oplus H^1(D(y),\mathcal{O}) $$
が得られる。ここで $\rho(s)=(s|_{D(x)},s|_{D(y)})$、$\sigma(a,b)=b|_{D(xy)}-a|_{D(xy)}$ であり、完全列は $H^0=\Gamma$ から始まる。アフィンスキーム の記事の定理「基本開集合の上の切断」により $\Gamma(D(f),\mathcal{O})=A_f$ であり、制限写像は局所化の写像、すなわち $k(x,y)$ の中の包含である。$\mathcal{O}$ の $D(x)\cong\operatorname{Spec}A_x$ への制限はアフィンスキームの構造層なので準連接層であり、準連接層 の記事の系「アフィンスキーム上の 1 次コホモロジーの消滅」により $H^1(D(x),\mathcal{O})=H^1(D(y),\mathcal{O})=0$ である。したがって
$$ 0\to\Gamma(U,\mathcal{O}_U)\xrightarrow{\ \rho\ }A_x\oplus A_y\xrightarrow{\ \sigma\ }A_{xy}\to H^1(U,\mathcal{O}_U)\to0,\qquad\sigma(a,b)=b-a $$
は完全である。
2：$\sigma$ の像は $A_x+A_y$ なので $H^1(U,\mathcal{O}_U)\cong A_{xy}/(A_x+A_y)$ である。上の基底の記述により、$A_x+A_y$ は「$j\ge0$ または $i\ge0$」をみたす $x^iy^j$ で張られる。したがって商は、残りの $x^iy^j$（$i\le-1$ かつ $j\le-1$）の類を基底にもつ。この添字の集合は無限集合である。
1：$\ker\sigma=\{(a,a)\mid a\in A_x\cap A_y\}$ であり、$A_x\cap A_y$ は「$j\ge0$ かつ $i\ge0$」をみたす $x^iy^j$ で張られるので $A$ に等しい。合成 $\rho\circ r\colon A\to A_x\oplus A_y$ は、制限の推移性により $a\mapsto(a,a)$ であり、$A$ から $\ker\sigma=\operatorname{im}\rho$ への全単射である。$\rho$ は単射なので、$r$ は全単射である。$r$ は制限写像なので環準同型であり、環の同型である。
3：完全列の続き
$$ H^{n-1}(D(xy),\mathcal{O})\to H^n(U,\mathcal{O}_U)\to H^n(D(x),\mathcal{O})\oplus H^n(D(y),\mathcal{O}) $$
において、$n\ge2$ なら両端は 準連接層 の記事の定理「アフィンスキーム上の消滅定理」（Har77 III 定理 3.5、p. 215。$A_x$、$A_y$、$A_{xy}$ は Noether 環であり、Noether 環のスペクトルの場合の証明は同記事にある）により $0$ なので、$H^n(U,\mathcal{O}_U)=0$ である。$\square$

$A_x$ と $A_y$ は $A$ 部分加群なので、商は $A$ 加群である。$a\in A$ 倍は $\mathcal{O}_U$ の自己準同型であり、Mayer–Vietoris 完全列は脆弱分解（標準分解）の切断の短完全列から作られて層の射と可換なので、thm-punctured-affine-plane-cohomology の 2 の同型は $A$ 線形である。よって $H^1(U,\mathcal{O}_U)$ の $A$ 加群の構造（$\Gamma(U,\mathcal{O}_U)=A$ による）は、この商の構造と一致する。$[x^iy^j]$（$i,j\le-1$）に $x$ を掛けると $x^{i+1}y^j$ であり、$i+1=0$ なら $A_y$ に入るので類は $0$ である。よって元 $\sum c_{ij}[x^iy^j]$ は、$m$ を現れる $-i$、$-j$ の最大値より大きくとれば $\mathfrak{o}^{2m}$ で消える（$\mathfrak{o}^{2m}$ は $x^ay^b$（$a+b=2m$）で生成され、$a\ge m$ か $b\ge m$）。$\xi=\sum c_{ij}[x^iy^j]$ が $x\xi=y\xi=0$ をみたすとき、$x\xi=\sum c_{ij}[x^{i+1}y^j]$ の基底展開から $i\le-2$ の係数はすべて $0$、同様に $j\le-2$ の係数も $0$ なので、$\xi=c_{-1,-1}[x^{-1}y^{-1}]$ である。逆にこの元は $x$、$y$ で消える。$\square$

スキーム の記事の命題「アフィンスキームへの射と大域切断」の自然な全単射 $\rho$ により、$\operatorname{Hom}(U,Z)\cong\operatorname{Hom}(B,\Gamma(U,\mathcal{O}_U))$、$\operatorname{Hom}(X,Z)\cong\operatorname{Hom}(B,A)$ であり、自然性から $\tilde h\mapsto\tilde h\circ j$ は $\varphi\mapsto r\circ\varphi$ に対応する。thm-punctured-affine-plane-cohomology の 1 により $r$ は同型なので、これは全単射である。単元については、$\Gamma(U,\mathcal{O}_U)^\times$ は $r$ により $A^\times$ と同一視され、多項式環 $k[x,y]$ の単元は $0$ でない定数だけである（次数を比べる）。$\square$

コホモロジーによる理由。 $U$ がアフィンなら、構造層 $\mathcal{O}_U$ は準連接層なので 準連接層 の記事の系「アフィンスキーム上の 1 次コホモロジーの消滅」により $H^1(U,\mathcal{O}_U)=0$ のはずだが、thm-punctured-affine-plane-cohomology の 2 により $H^1(U,\mathcal{O}_U)\ne0$ である。
大域切断による理由。 $U$ がアフィンなら、スキーム の記事の系「標準射とアフィン性の判定」により、標準射 $c\colon U\to\operatorname{Spec}\Gamma(U,\mathcal{O}_U)$ は同型である。thm-punctured-affine-plane-cohomology の 1 により $\Gamma(U,\mathcal{O}_U)=A$ であり、$c$ は大域切断の写像が $r$ である射、すなわち包含射 $U\to X$ と一致する（スキーム の記事の命題「アフィンスキームへの射と大域切断」の一意性）。包含射は原点を像にもたないので同型でなく、矛盾する（同じ議論は 開部分スキーム の記事の命題「原点を除いたアフィン空間」にある）。
準コンパクト性は、$U$ が 2 つの準コンパクトな開集合 $D(x)$、$D(y)$ の和であることによる。$\square$