遺伝環

1 なら、左イデアルは自由左加群 ${}_RR$ の部分加群なので射影的であり、2 を得る。
2 から1が従うことは遺伝環の標準的なイデアル判定法である。要点は、自由加群の基底を整列して部分加群を座標ごとに濾過すると、各段の商が左イデアルと同型になり、2 により射影的なので各短完全列が分裂することである。その結果、自由加群の任意の部分加群は左イデアルの直和と同型になり、射影的である。射影加群は自由加群の直和因子だから、その部分加群にも同じ結論を適用できる。無限基底を含む完全な議論は Lam99 §4 を参照。
1 なら、任意の左加群 $M$ に対して自由加群からの全射 $F\twoheadrightarrow M$ をとると、核 $K$ は射影加群 $F$ の部分加群なので射影的である。したがって
$$ 0\longrightarrow K\longrightarrow F\longrightarrow M\longrightarrow0 $$
は長さ1以下の射影分解であり、3 が従う。
逆に3を仮定し、射影加群 $P$ の部分加群 $N$ をとる。短完全列
$$ 0\longrightarrow N\longrightarrow P\longrightarrow P/N\longrightarrow0 $$
に対する次元移動により、任意の左加群 $L$ について
$$ \operatorname{Ext}^1_R(N,L)\cong \operatorname{Ext}^2_R(P/N,L)=0 $$
となる。すべての $L$ に対して $\operatorname{Ext}^1_R(N,L)=0$ であることは $N$ の射影性と同値なので、1 を得る。

$I=(a_1,\dots,a_n)$ を $V$ の有限生成イデアルとする。付値整域では任意の二つの主イデアルが包含関係で比較できるので、有限個の主イデアル $(a_i)$ のうち包含関係で最大のもの $(a_j)$ が存在する。すると
$$ I=(a_1)+\cdots+(a_n)=(a_j) $$
である。$I=0$ なら射影的であり、$I\neq0$ なら $V$ は整域なので写像 $V\to(a_j)$、$r\mapsto ra_j$ は同型である。よってすべての有限生成イデアルは射影的であり、半遺伝性のイデアル判定から $V$ は半遺伝環である。

全射 $\pi:R\to I$、$r\mapsto r\varepsilon$ の核は $I$ である。もし $I$ が射影的なら $\pi$ は分裂し、$I$ は ${}_RR$ の直和因子になる。単位的環の左イデアルが ${}_RR$ の直和因子なら、ある冪等元 $e$ によって $I=Re$ と書ける。
ところが $R$ の冪等元を $e=a+b\varepsilon$ と書くと、$e^2=e$ から $a^2=a$ かつ $(2a-1)b=0$ を得る。体では $a=0$ または $1$ であり、どちらの場合も $2a-1$ は $-1$ または $1$ なので $b=0$ である。従って冪等元は $0,1$ だけである。しかし $I$ は零イデアルでも $R$ 全体でもないから、直和因子にはなれない。よって $I$ は射影的でなく、イデアル判定法により $R$ は遺伝環でない。