等差数列位相

$c$ が共通部分に属するとする。上の注意により $S(a,b)=S(c,b)$、$S(a',b')=S(c,b')$ なので、共通部分は $c+(b\mathbb Z\cap b'\mathbb Z)$ である。整数が $b$ と $b'$ の両方で割り切れることと、最小公倍数 $\operatorname{lcm}(b,b')$ で割り切れることは同値なので、$b\mathbb Z\cap b'\mathbb Z=\operatorname{lcm}(b,b')\mathbb Z$ であり、共通部分は $S(c,\operatorname{lcm}(b,b'))$ に等しい。

1：空集合は条件を自明に満たし、$\mathbb Z=S(a,1)$ も満たす。開集合の族の和集合の点 $a$ はある成員 $U$ に属し、$S(a,b)\subset U$ となる $b$ がある。二つの開集合 $U,V$ の共通部分の点 $a$ について $S(a,b)\subset U$、$S(a,b')\subset V$ とすると、$S(a,bb')\subset S(a,b)\cap S(a,b')\subset U\cap V$ である。$c\in S(a,b)$ なら $S(c,b)=S(a,b)$ なので $S(a,b)$ は開であり、開集合の定義から $\{S(a,b)\}$ は開基である。
2：空でない開集合は点 $a$ とともに無限集合 $S(a,b)$ を含む。一点集合は開でないので、孤立点はない。
3：$S(a,b)$ の補集合は $S(a+1,b)\cup\cdots\cup S(a+b-1,b)$ で開なので、$S(a,b)$ は閉である。
4：$b>|x-y|\ge1$ なら $b$ は $x-y$ を割り切らないので、$S(x,b)$ と $S(y,b)$ は $b\mathbb Z$ の異なる剰余類であり、交わらない。3 と合わせて、$X$ は開かつ閉な集合からなる開基をもつ Hausdorff 空間である。

$d(x,y)=0$ と $x=y$ は同値であり、$v(-t)=v(t)$ から $d$ は対称である。強三角不等式を示す。$x=y$ または $y=z$ なら明らかなので、$s:=x-y\neq0$、$t:=y-z\neq0$ とし、$k:=\min\{v(s),v(t)\}$ とおく。$k\le v(s)$ なので $k!\mid s$、同様に $k!\mid t$ であり、$k!\mid s+t=x-z$ である。$x=z$ なら $d(x,z)=0$ で不等式は成り立つ。$x\ne z$ なら $v(x-z)\ge k$ なので
$$ d(x,z)=2^{-v(x-z)}\le2^{-k}=\max\{d(x,y),d(y,z)\} $$
である。強三角不等式から通常の三角不等式も従うので、$d$ は距離である。
開球：$y\ne x$ について、$d(x,y)<2^{-r}$ は $v(x-y)\ge r+1$、すなわち $(r+1)!\mid x-y$ と同値である。$y=x$ も $S(x,(r+1)!)$ に属するので、$B(x,2^{-r})=S(x,(r+1)!)$ である。
位相の一致：$U$ が $d$ について開とする。$x\in U$ に対し $B(x,\varepsilon)\subset U$ となる $\varepsilon>0$ があり、$2^{-r}<\varepsilon$ となる $r\ge1$ をとると $S(x,(r+1)!)=B(x,2^{-r})\subset U$ なので、$U$ は等差数列位相で開である。逆に $U$ が等差数列位相で開とし、$x\in U$、$S(x,b)\subset U$ とする。$b$ は $(b+1)!$ を割り切るので $S(x,(b+1)!)\subset S(x,b)$ であり、$B(x,2^{-b})=S(x,(b+1)!)\subset U$ となる。よって $U$ は $d$ について開である。

要点：各点 $x$ について、$S(x,r!)$ が $\mathcal U$ のある成員に含まれる最小の $r$ を選ぶ。選んだ二つの剰余類は、交われば一方が他方を含み、最小性から一致するので、互いに交わらない。

1：$m>n$ なら $x_m-x_n=(n+1)!+\cdots+m!$ は $(n+1)!$ で割り切れるので、$d(x_m,x_n)\le2^{-(n+1)}$ である。
2：$y\in\mathbb Z$ を固定する。$N\ge3$ を $(N-1)!>|y|$ となるようにとる。$n\ge2$ について $1!+\cdots+(n-1)!\le(n-1)\cdot(n-1)!< n!$ なので、$n\ge1$ で $n!\le x_n<2\cdot n!$ である。$n=N-1$ に使うと
$$ 0<(N-1)!-|y|\le x_{N-1}-y<2\cdot(N-1)!+|y|<3\cdot(N-1)!\le N! $$
であり、$N!$ は $x_{N-1}-y$ を割り切らない。$n\ge N$ なら $x_n-x_{N-1}=N!+\cdots+n!$ は $N!$ で割り切れるので、$n\ge N-1$ のすべてについて $x_n-y$ は $N!$ で割り切れず、$x_n\notin S(y,N!)$ である。よって $S(y,N!)\cap A\subset\{x_1,\dots,x_{N-2}\}$ は有限集合である。この有限集合から $y$ を除いたものは閉集合なので（$X$ は Hausdorff）、それを $S(y,N!)$ から除くと、$A$ と $y$ 以外で交わらない $y$ の開近傍が得られる。したがって $y$ は $A$ の集積点でない。$(x_n)$ が $y$ に収束するなら $n\ge N-1$ の $x_n$ が $S(y,N!)$ に入るはずなので、収束しない。
3：2 により $A$ は集積点をもたないので、$A$ の部分集合はすべて閉であり、$A$ は無限個の点からなる閉かつ離散な部分集合である。可算コンパクト空間の閉かつ離散な部分集合は有限なので（可算コンパクト空間 の命題「閉離散部分集合は有限」）、$X$ は可算コンパクトでない。コンパクト空間は可算コンパクトなので、$X$ はコンパクトでもない。1 と 2 から、$(x_n)$ は収束しない Cauchy 列であり、$d$ は完備でない。

要点：$\varphi$ による開基の逆像は合同式の解の集合で、空か等差数列なので開であり、$\varphi(S(c,m))=S(a+bc,bm)$ なので $\varphi$ は開写像である。コンパクトな近傍 $K$ があれば、$K$ の中の閉集合 $S(y,b)$ がコンパクトになるが、それは $X$ と同相なので prop-apt-noncompact に反する。

部分集合 $C$ が相異なる 2 点 $x,y$ を含むとする。prop-apt-basic の 4 の $S(x,b)$ は開かつ閉で、$x$ を含み $y$ を含まないので、$C=(C\cap S(x,b))\cup(C\setminus S(x,b))$ は $C$ を空でない二つの開集合に分け、$C$ は連結でない。連結な空間の連続像は連結なので一点である。局所連結なら各点が連結な開近傍をもつが、それは一点集合で、prop-apt-basic の 2 に反する。

$X$ は空でない可算な距離化可能空間で（thm-apt-metric）、孤立点をもたない（prop-apt-basic の 2）。空でない可算な距離化可能空間で孤立点をもたないものは $\mathbb Q$ と同相である（有理数空間 の定理「Sierpiński の定理」）。

要点：連結な空間からの写像は定数なので（prop-apt-components）、球面からの写像と特異単体はすべて定数であり、特異鎖複体は各点の鎖複体の直和になる。恒等写像から定数写像へのホモトピーがあると、各点の軌道が定数なので恒等写像自身が定数になり、矛盾する。

閉包は、集合とその集積点全体との和集合である。
(a) $P\cup\{1,-1\}$ に属さない $y$ は $P$ の閉包に入らない。このような $y$ は $0$ であるか、$|y|\ge2$ で正の素数でない。どちらの場合も $y$ を割り切る素数 $p$ がとれ（$y=0$ なら $p=2$）、$y\ne p$ である。$m:=|p-y|\ge1$ とおくと、$S(y,pm)\subset S(y,p)=p\mathbb Z$ に属する素数は $p$ だけであり、$pm\ge2m>|p-y|$ なので $pm$ は $p-y$ を割り切らず、$p\notin S(y,pm)$ である。よって $S(y,pm)$ は $P$ と交わらない $y$ の近傍である。
(b) 素数 $p$ の近傍 $S(p,p)=p\mathbb Z$ と $P$ の共通部分は $\{p\}$ なので、$p$ は $P$ の中で孤立しており、$P$ の集積点でない。
(c) $\varepsilon\in\{1,-1\}$ と $b\ge1$ について、$\varepsilon$ と $b$ は互いに素なので、Dirichletの算術級数定理 により $q\equiv\varepsilon\pmod b$ となる素数 $q$ が（無限に）存在する。$q\in S(\varepsilon,b)\cap P$ かつ $q\ne\varepsilon$ なので、$\varepsilon$ のどの近傍も $\varepsilon$ 以外の $P$ の点を含み、$\varepsilon$ は $P$ の集積点である。(a)(b)(c) から 1 が従う。
2：$P_3\subset P$ なので、1 により $P_3$ の集積点は $\pm1$ に限られる。$S(1,4)$ は $4$ で割って $3$ 余る数を含まないので、$1$ は $P_3$ の集積点でない。$-1$ については、$b\ge1$ に対し $M:=\operatorname{lcm}(4,b)$ とおく。$-1$ と $M$ は互いに素なので、Dirichlet の算術級数定理により $q\equiv-1\pmod M$ となる素数 $q$ がある。$4\mid M$ なので $q\equiv-1\equiv3\pmod 4$、$b\mid M$ なので $q\in S(-1,b)$ であり、$q\in P_3$、$q\ne-1$ である。よって $-1$ は $P_3$ の集積点である。

要点：1 は thm-apt-metric と同じ計算、2 は $p^k$ が $q$ で割り切れないこと、3 は公差の素因数分解による $S(a,b)=\bigcap_iS(a,p_i^{e_i})$、4 は Sierpiński の定理による。