黄金比

1：$\varphi,\psi$ は $x^2-x-1=0$ の 2 根なので、根と係数の関係から $\varphi+\psi=1$、$\varphi\psi=-1$ であり、$\varphi^2=\varphi+1$ を $\varphi$ で割ると $\varphi=1+1/\varphi$ を得る。$\varphi-\psi=\sqrt5$ は定義から、$\psi=-1/\varphi$ は $\varphi\psi=-1$ から従う。
2：$n=1$ では $\varphi=1\cdot\varphi+0$ である。$n$ で成り立つとすると
$$ \varphi^{n+1}=F_n\varphi^2+F_{n-1}\varphi=F_n(\varphi+1)+F_{n-1}\varphi=(F_n+F_{n-1})\varphi+F_n=F_{n+1}\varphi+F_n $$
である。$\psi$ も $\psi^2=\psi+1$ を満たすので同じ計算が成り立つ。
3：$n=0$ では $F_1-\varphi F_0=1=\psi^0$ である。$n$ で成り立つとすると、$\varphi\psi=-1$ より
$$ \psi^{n+1}=\psi F_{n+1}-\psi\varphi F_n=\psi F_{n+1}+F_n=(1-\varphi)F_{n+1}+F_n=F_{n+2}-\varphi F_{n+1} $$
である。$\square$

$\varphi=p/q$（$p,q$ は正の整数）と書けたとし、そのような表し方のうち $q$ が最小のものをとる。$2<\sqrt5<3$ より $1<\varphi<2$ なので $q< p<2q$、すなわち $0< p-q< q$ である。prop-gr-identities の $\frac1\varphi=\varphi-1$ より
$$ \varphi=\frac{1}{\varphi-1}=\frac{1}{\frac pq-1}=\frac{q}{p-q} $$
であり、$\varphi$ は分母 $p-q< q$ の分数でも表せる。これは $q$ の最小性に反する。$\square$

連分数 の記事の連分数展開の手続きを $x_0=\varphi$ に施す。$1<\varphi<2$ より $a_0=1$ であり、$x_1=\frac{1}{\varphi-1}=\varphi$（prop-gr-identities）なので、以後 $x_k=\varphi$、$a_k=1$ がすべての $k$ で続く。$\varphi$ は無理数（thm-gr-irrational）なので、連分数 の記事の定理「無理数の連分数展開」により $\varphi=[1;1,1,\dots]$ である。
収束子の分子・分母は $p_{-1}=1$、$p_0=1$、$q_{-1}=0$、$q_0=1$ と、部分商がすべて $1$ の漸化式 $p_n=p_{n-1}+p_{n-2}$、$q_n=q_{n-1}+q_{n-2}$ で定まる。$(p_{-1},p_0)=(F_1,F_2)$、$(q_{-1},q_0)=(F_0,F_1)$ であり、Fibonacci 数と同じ漸化式を満たすので、帰納法により $p_n=F_{n+2}$、$q_n=F_{n+1}$ である。収束子は $\varphi$ に収束するので、$F_{n+2}/F_{n+1}\to\varphi$ である。$\square$

prop-gr-identities の 3 を $F_n\ge1$ で割ると $\bigl|\frac{F_{n+1}}{F_n}-\varphi\bigr|=\frac{|\psi|^n}{F_n}$ であり、$|\psi|=1/\varphi$ なので最初の等式を得る。同じ命題の 2 から $\varphi^n-\psi^n=\sqrt5F_n$、すなわち $\varphi^n=\sqrt5F_n+\psi^n$ なので 2 つ目の等式を得る。$|\psi|<1$ より $\psi^n/F_n\to0$ なので $F_n^2|\varphi-F_{n+1}/F_n|=1/(\sqrt5+\psi^n/F_n)\to1/\sqrt5$ である。$n$ が偶数なら $\psi^n>0$ なので分母は $\sqrt5F_n^2$ より大きい。$\square$

$(p,q)$ が不等式を満たすとし、$N:=p^2-pq-q^2$ とおく。$t^2-t-1=(t-\varphi)(t-\psi)$ より
$$ N=q^2\Bigl(\frac pq-\varphi\Bigr)\Bigl(\frac pq-\psi\Bigr) $$
である。$\varphi,\psi$ は無理数なので右辺の因数は $0$ でなく、$N$ は $0$ でない整数だから $|N|\ge1$ である。$\frac pq-\psi=\bigl(\frac pq-\varphi\bigr)+\sqrt5$ なので $\bigl|\frac pq-\psi\bigr|<\sqrt5+\frac{1}{cq^2}$ であり、
$$ 1\le|N|< q^2\cdot\frac{1}{cq^2}\Bigl(\sqrt5+\frac{1}{cq^2}\Bigr)=\frac{\sqrt5}{c}+\frac{1}{c^2q^2} $$
となる。これを変形すると $q^2<\dfrac{1}{c(c-\sqrt5)}$ であり、$q$ は有界である。各 $q$ について、$p$ は $|q\varphi-p|<\frac{1}{cq}<1$ を満たす整数なので高々 2 個である。よって解は有限個である。$\square$

三角形 $ABC$ は $AB=BC=1$、$\angle ABC=108^\circ$ の二等辺三角形なので、$\angle BAC=\angle BCA=36^\circ$ である。同様に三角形 $AED$ で $\angle EAD=\angle EDA=36^\circ$、三角形 $CDE$ で $\angle DCE=\angle DEC=36^\circ$ である。三角形 $ABC$ と $AED$ は 2 辺とその間の角が等しいので合同であり、$AC=AD=:d$ である。
凸五角形なので、頂点 $A$ で半直線 $AB,AC,AD,AE$ はこの順に並び、$\angle CAD=108^\circ-36^\circ-36^\circ=36^\circ$ である。三角形 $ACD$ は $AC=AD$ の二等辺三角形なので $\angle ACD=\angle ADC=72^\circ$ である。頂点 $C$ でも半直線 $CB,CA,CE,CD$ がこの順に並び、$\angle ACE=108^\circ-36^\circ-36^\circ=36^\circ$ なので、$CE$ は $\angle ACD$ を 2 等分し、三角形 $ACD$ の辺 $AD$ と内部の点 $F$ で交わる。
三角形 $FCD$ では $\angle FCD=36^\circ$、$\angle FDC=72^\circ$ なので $\angle CFD=72^\circ$ であり、底角が等しいので $CF=CD=1$ である。三角形 $AFC$ では $\angle FAC=\angle FCA=36^\circ$ なので $AF=CF=1$ である。よって $FD=AD-AF=d-1$ である。
三角形 $ACD$ と $CFD$ は角が $36^\circ,72^\circ,72^\circ$ で等しいので相似であり、頂点は $A\leftrightarrow C$、$C\leftrightarrow F$、$D\leftrightarrow D$ と対応する。$36^\circ$ の角の対辺どうし、$72^\circ$ の角 $C$ と $F$ の対辺どうしの比が等しいので
$$ \frac{CD}{FD}=\frac{AD}{CD},\qquad\text{すなわち}\quad\frac{1}{d-1}=d $$
である。よって $d^2-d-1=0$、$d>0$ から $d=\varphi$ である。このとき $FD=\varphi-1=1/\varphi$（prop-gr-identities）であり、$AD:AF=\varphi:1$、$AF:FD=1:(1/\varphi)=\varphi:1$ である。対角線はすべて合同な三角形の底辺なので、どの対角線の長さも $\varphi$ である。$\square$

prf-thm-gr-pentagon の三角形 $AFC$ は $AF=CF=1$、$AC=\varphi$、底角 $36^\circ$ の二等辺三角形である。頂点 $F$ から底辺 $AC$ に下ろした垂線の足は $AC$ の中点 $M$ であり、直角三角形 $AMF$ で $\cos36^\circ=AM/AF=\varphi/2$ である。同様に三角形 $ACD$ は $AC=AD=\varphi$、$CD=1$、底角 $72^\circ$ なので、$CD$ の中点 $N$ について $\cos72^\circ=CN/AC=\frac{1/2}{\varphi}$ である。$1/\varphi=\varphi-1$ から残りの等式を得る。$\square$